基于Backstepping的非線性無人船航向控制算法

魏 瓊， 周 剛， 金 鵬， 張金姣， 胡新宇

(湖北工業大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

無人船在海洋航行時受到風、浪、流的影響，出現軌跡偏離的情況，因此一個具有抗干擾能力的航向控制器是至關重要的[1]。目前，無人船航向控制算法主要有傳統PID、模糊PID自適應控制、神經網絡控制和其他一些基于專家經驗智能算法的結合算法等[2]。但是這些算法與無人船航向控制器的設計結合時大都采用Nomoto線性無人船模型[3]。由于無人船裝載狀態、外界干擾等時常發生變化，線性模型已經不能精確描述系統的動態響應特性[4]。針對上述問題，本文在具有非線性特性的船舶運動模型中考慮了相關參數和外部干擾的不確定性，設計了非線性Backstepping自適應控制算法，并使用Lyapunov函數進性論證，仿真驗證該算法合理可行。

1 無人船和干擾模型設計

由于無人船裝載狀態、外界干擾等時常發生變化，僅線性無人船Nomoto模型已經不能準確地描述系統的動態響應特性，所以應采用無人船非線性Norrbin模型。

1.1 無人船模型設計

Norrbin模型[5]可表示為：

(1)

(2)

其中，θ1=-1/T，θ2=-α/T，b=K/T。假設外界干擾是有界的[7-8]，因此|ω|≤Φ，Φ為常數。

本設計選取無人船相關參數[9]如表1所示。

表1 無人船相關參數

1.2 干擾模型設計

為了使仿真效果更符合實際情況，在仿真中加入風浪流的干擾。通過查閱文獻可知，海流對無人船的干擾為一恒值，對船體模型影響較小可不考慮。而風浪對無人船的干擾可以通過白噪聲和一個二階波浪傳遞函數實現[10]：

(3)

(4)

圖 1 干擾信號

2 無人船航向控制算法

2.1 控制算法方案選擇

傳統PID控制算法多應用在線性Nomoto船體模型中，而將其應用到非線性Norrbin模型中發現超調量較大。模糊PID控制算法也大多用在線性Nomoto無人船模型中，相比傳統PID控制算法具有更好的控制效果，但將其應用到非線性Norrbin無人船模型中時，超調量和穩定時間欠佳，抗干擾性能也較差。針對無人船航向控制系統模型存在模型參數和外界干擾不確定性的特點，也為了解決傳統PID控制算法和模糊PID控制算法應用在非線性無人船模型抗干擾能力差、超調量和穩定時間欠佳的問題，本文提出了一種基于Backstepping的非線性無人船自適應航向控制算法。

2.2 控制算法設計

定理 對于一個由微分方程(2)表征的系統，通過構造一個正定的Lyapunov函數(7)，使該函數對時間的全導數負定(式(7))或半負定(式(10))，證明該系統的漸近穩定性。

證明 該航向控制算法穩定性證明過程由兩步組成。

第一步 設定偏差變量

e1=x1-xd

(5)

e2=x2-Λ

(6)

其中：Λ為虛擬鎮定函數，ξ為引入的積分項。構造無人船模型(5)(6)的第一個Lyapunov函數[12]

(7)

則V1對時間的導數

(8)

取虛擬鎮定函數

(9)

其中，c1為大于0的待設定系數。將式(9)帶入式(8) 可得

(10)

第二步 設定無人船模型全系統的Lyapunov函數

(11)

綜上可得，無人船模型全系統Lyapunov函數對時間的導數

(12)

設定

F(x)=[x2x23]

(13)

(14)

將式(13)、(14)帶入式(12)可得

(15)

設定θ的自適應控制率

(16)

設定舵角的控制律

(17)

(18)

將式(17)代入式(14)得

(19)

查閱資料可得

|γ|-1γ=sgn(γ)=sgn(b)

(20)

設定γ的控制律

(21)

將式(16)、(17)和(21)代入式(15)，并利用不等式x2+y2≥2xy可得

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由上式可得

(27)

可知V2是呈指數形式衰減的，同時

(28)

因此，閉環系統的解是一致且最終有界的，且c1,c2,k1,k2,ρ,r1,r2,ε均為大于0的待設計參數。

3 仿真分析

通過查閱無人船船體參數[9]，計算可得Norrbin船舶非線性模型參數，其中K=8.2369，T=14.66，α=30°。

取定設計參數為c1=0.8,c2=5,k1=10,k2=10,ρ=10,r1=2,r2=2,ε=0.45,θ10=-0.012,θ20=-0.045。為了避免仿真結果的偶然性，實驗設定了三組預期航向角，分別為30°，45°，60°，分別在Matlab里進行非線性Backstepping自適應航向控制算法、PID控制算法、模糊PID控制算法的航向控制仿真，結果如圖2-7所示。

圖 2 30°時航向控制算法對應的航向角變化

圖 3 30°時航向控制算法對應的舵角變化

圖 4 45°時航向控制算法對應的航向角變化

圖 5 45°時航向控制算法對應的舵角變化

圖 6 60°時航向控制算法對應的航向角變化

圖 7 60°時航向控制算法對應的舵角變化

從圖2-圖7的仿真結果可得表2。

表2 仿真數據

由表2仿真結果可知：

1)在初始航向角為30°時，PID航向控制算法較其他兩種算法超調量高15%;非線性Backstepping自適應航向控制算法的航向角穩定時間較其他兩種算法至少減少61 s，且該航向控制算法較其他兩種算法在舵角超調量上減少5；同時該航向控制算法在航向角穩定時間上僅為8 s。

2)在初始航向角為45°時，PID航向控制算法較其他兩種算法超調量高25%;非線性Backstepping自適應航向控制算法在航向角穩定時間上較優，僅為11 s，且該航向控制算法較其他兩種算法在舵角超調量上減少9；同時該航向控制算法在航向角穩定時間上僅為11 s。

3)在初始航向角為60°時，PID航向控制算法較非線性Backstepping自適應航向控制算法超調量高34%;非線性Backstepping自適應航向控制算法的航向角穩定時間較其他兩種算法至少減少60 s，且該航向控制算法較其他兩種算法在舵角超調量上減少14；同時該航向控制算法在航向角穩定時間上僅為11 s。

由上述數據分析可知，該非線性Backstepping自適應航向控制算法較其他兩種航向控制算法具有較好的保持性能和動態品質。該航向控制算法不因初始航向角的不同而有過大的超調量。同時在參數變動及外來干擾的影響下，該控制系統具有較小的超調量和較短的穩定時間，說明該系統具有良好的抗干擾性能[13]。

4 結論

本文針對無人船航向控制Norrbin非線性系統，設計了一種基于非線性無人船的Backstepping自適應控制算法，借助Lyapunov函數驗證了該算法可以使系統為最終一致且有界，并將該航向控制算法與PID航向控制算法和模糊PID航向控制算法進行對比，得出該控制算法在無人船非線性模型航向控制方面相比PID控制算法和模糊PID控制算法具有更好的抗干擾性能。