按圖索驥，追根溯源

桂小兵

摘要：高中階段平面解析幾何教學是教學的一個階段性難點，在高考中的考查要求也比較高。解析幾何的特點是數與形的完美結合，學生可以用代數方法解決幾何問題，亦可以將代數問題幾何化，其中解題思路的拓展是解題中的重要環節。我們可以通過分析幾何元素之間的關系來拓展思路，通過點的產生、點的變化、線的移動等來分析變化過程，幫助學生拓展解題思路。

關鍵詞：平面解析幾何? 解題思路拓展? 幾何元素? 解題素養

偉大的數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出，在解題活動中，首先分析清楚已知元素和未知元素，并找到已知元素與未知元素之間的關聯。當然，有時候二者的關聯性并不明顯，得不到二者的直接關聯。這時，我們需要引入一些輔助元素，或預設一些輔助問題，來溝通這些量之間的聯系，從而得到一個求解問題的可行計劃。這里的數泛指已知元素，如幾何中的點、線等。解析幾何解題時，求解計劃的擬定是非常重要的，它是思路拓展的最終結果，這也就意味著，已知元素與未知元素的聯系分析至關重要。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》亦指出，在平面解析幾何教學中，通過指引學生認真作圖，分析幾何圖形特點，分析點的產生、點的變化、線的移動的運動過程，形成解決解析幾何問題的思路。當然，在思路形成的過程中，會產生多種想法，要通過運算來看看哪一種想法更便捷。同時，教師在教學現場，可以利用信息技術工具，向學生展示圖形中點、線運動關聯性，充分體會變化過程中的相互依賴、相互影響，體會參數的變化對整個曲線問題的影響，使學生理解它們之間的聯系，并利用這些聯系形成解題思路，拓展解題思路。

下面結合三個典型例題談談高中平面解析幾何解題思路的拓展教學。

一、一線而連，按圖索驥

典型例題1：已知拋物線C：x2=-4y，過焦點F作一條斜率不為0的直線l與拋物線C交于兩個不同的點，記為M、N。連接OM、ON，直線y=-1分別與直線OM、ON交于A點和B點。

求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點。

解題思路拓展分析：

（1）教師利用幾何畫板軟件，在課堂上分析關系并作出圖形，從而演示點的產生及相互動態聯系。在作圖時，要利用幾何畫板重點演示：直線斜率變化時，首先引起M、N點發生變化，從而引起直線OM、ON隨之發生移動變化，最終引起A、B兩點發生移動變化，此時以AB為直徑的圓自然亦在移動。演示過程要簡潔明了，相互影響與變化過程要清晰直觀。動點M、N的運動變化受直線的位置影響，這個影響可以用直線MN的斜率k來刻畫，改變k的取值，直線MN的位置就會發生變化，M、N兩點就會相應的發生移動。

（2）A、B點是由直線OM、ON與y=-1相交得到的，故M、N點移動時，A、B點也會隨之變化。反過來說，當k確定時，直線MN確定，M、N兩點也確定了，直線OM、ON與y=-1相交的點A、B也就隨之確定了。因而運動的根源在于直線MN的相對位置變化，直線MN的位置變化成為線索，且可以用斜率k來刻畫。從坐標運算的相互關系來說，點M、N、A、B都與參數k有關，則它們都可以用k來刻畫，即可以表達為關于k的表達式。

（3）引導學生利用k表達圖形中的基本元素點、線。設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立方程

lMN：y=kx-1x2=-4y，得x2+4kx-4=0。

所以x1+x2=-4k，x1x2=-4。（M、N點坐標與k的關系）

直線OM：y=-14x1x與y=-1聯立得A4x1，-1，同理可得B4x2，-1。

由于動點A、B兩點坐標的移動受點M、N運動影響，傳遞下去，自然與k相關。

下面用圓的直徑式方程表達以AB為直徑的圓的方程。

x-4x1x-4x2+（y+1）2=0，

化簡可得x2-4x1+4x2x+16x1x2+（y+1）2=0，

將x1+x2=-4k，x1x2=-4代入化簡，可得x2-4kx-4+（y+1）2=0，

再令x=0，解得y=1或-3，即圓過y軸上的兩個定點（0，1）和（0，-3）。

在整個求解過程中，k的變化是整個圖形運動變化的起源，順著這條脈絡走下去，結合A、B點的產生過程，用k表達它們的代數關系，思路一線而連，連貫自然。

二、多點串聯，尋根探源

典型例題2：設橢圓C：x24+y23=1的右焦點為F。橢圓右頂點為A，在橢圓上任取一點B（B不為左、右頂點），連接AB，記為l，直線l1垂直于直線l，并交直線l于點M，交y軸于點H。若BF⊥HF，且MO≥MA，求直線l的斜率的取值范圍。

解題思路拓展分析：

（1）教學過程中，先讓學生作出圖形的形狀，發現有不少學生無法畫出后面的M、H兩點及相關直線，同時這也反映了學生沒有把握幾何圖形的特點，沒有追根溯源。

（2）利用幾何畫板給出一種參考作圖順序：作出AB，連接BF，過F作FH⊥FB交y軸于H點，再過H點作HM⊥AB交AB于M。從這個作圖順序中可以看出，當B點確定好以后，BF就確定了，H點就確定了，繼續往下，HM也就確定，因為要與AB直線垂直，所以M點確定了。

（3）利用幾何畫板移動直線位置，B點變化，點H、M也就隨之變化，這便是運動的追根溯源，解題過程從圖形的運動聯系角度來表達就可以了。教師在演示作圖時，要強調通過作圖順序發現運動規律，并用動點動態變化展示相互之間的影響。

用直線l的斜率k來表示B點坐標，聯立直線AB：y=k（x-2）與橢圓x24+y23=1，消去y，得到方程（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0。

所以A點橫坐標與B點橫坐標為上述方程的兩個根。

2·xB=16k2-123+4k2，

所以xB=8k2-63+4k2，則yB=-12k3+4k2，此時B點坐標用參數k表達。

接著表達直線HF：kBF=-12k4k2-9，則kHF=4k2-912k，

lHF：y=4k2-912k（x-1），所以yH=9-4k212k，

再用k表達直線HM：y-9-4k212k=-1kx，直線l與l1，所以xM=9+20k212k2+12，

要使得MO≥MA，則xM=9+20k212k2+12≥1，解得k≥64或k≤-64。

在對B、H、M三個點的分析串聯過程中，k是整個過程中的線索，直線的斜率變化是圖形變化的起因。在實際教學時采用幾何畫板動態演示變化過程，能夠進一步加深學生的解題印象。

三、一脈相連，兵分兩路

典型例題3：設橢圓C：x24+y23=1，P1，32點為橢圓上一點，M、N為橢圓上異于P點的兩個動點，且kPM+kPN=0，連接MN，記MN斜率為k.求證：k=12。

解題思路拓展分析：

（1）教學過程中，首先設計一個繪圖展示活動，學生認真審題，利用題干信息，繪制出本題的圖像，并清晰地介紹自己的作圖思路。在活動過程中，學生之間可以相互交流、分享，培養其作圖能力和準確表達信息的能力。

（2）師生親密合作，教師利用剛剛的作圖展示活動結果，并借助幾何畫板，繪制本題的動態展示課件。作圖時，要體現出直線PM與直線PN的對稱性，即二者斜率互為相反數。作圖時，先作出動點M，利用對稱性映射到直線PN，并找到動點N，即最終呈現出的效果是，當M點發生移動時，N點隨之發生移動，二者密切聯系，且一一對應。此時，教師可以指出引起M點移動的關鍵，是直線PM的位置，可以用直線PM的斜率k來刻畫。當k確定時，M點確定，結合點M、N一一對應性，N點亦確定，最終MN的斜率也就與k相關。這里的輔助元素k便體現了一脈相承。

（3）教師設計活動，兵分兩路。引入輔助元素直線PM的斜率k。

一方面，從M點的產生角度，用k來表達M點坐標。直線PM：y-32=k（x-1）與橢圓x24+y23=1聯立，得到關于P點、M點坐標的一元二次方程：

（3+4k2）x2+8k32-kx+4k2-12k-3=0，

所以xP·xM=4k2-12k-33+4k2，即xM=4k2-12k-33+4k2，yM=k（xM-1）+32。

另一方面，從運算的類比性角度，用k來表達N點坐標。教師在指出運算的類比性之前，讓學生先借助M點的求解過程，表達出N點坐標。學生會經歷相同的過程，直線PN：y-32=-k（x-1）與橢圓x24+y23=1聯立，得到關于P點、N點坐標的一元二次方程：

（3+4k2）x2-8k32+kx+4k2+12k-3=0，

所以xP·xN=4k2+12k-33+4k2，即xN=4k2+12k-33+4k2，yN=-k（xN-1）+32。

教師利用此時的最佳的時機，介紹運算的類比性，學生恍然大悟，定然會印象深刻。

（4）合二為一，直指目標。整理兵分兩路的結果，用k表達MN的斜率：

kMN=yM-yNxM-xN=k（xM+xN-2）xM-xN=k8k2-63+4k2-2-24k3+4k2=12。

教師利用輔助元素k，充分發揮題目的示范作用，在解題活動中，有助于學生形成多維角度的思維溝通和交流。此外，它揭示了解析幾何解題的元素關聯性，通過解題實際體驗，理解代數運算的類比性。

數學解題探索是一件有趣又奇妙的事情。解析幾何既有代數運算特征，又有幾何圖形特征，對數學能力要求較高。在分析動態變化問題時，要學會追根溯源，從開始到結束，對全局變化有一個清楚的認識，逐步形成良好的解題素養。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]G·波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2017.