基于大通訊時滯的二階多智能體系統的一致性分析

晉守博 魏章志 李耀紅

(宿州學院數學與統計學院 宿州 234000)

1 引言

多智能體系統廣泛應用于生物學、計算機、管理學和工程學等方面，如鳥群的飛行、蟻群的協同合作、魚群的巡游和無人機群表演等[1,2]，這些現象都可以利用多智能體系統構造數學模型解決。本文將研究定向通信拓撲下2階多智能體系統的一致性與魯棒性，該問題的關鍵點是設計通信協議，并在該協議下分析隨著時間的變化，所有智能體是否能夠達到相同的狀態。自從一致性的定義在文獻[3]中被提出后,許多學者從不同的方面開始陸續關注該問題。最近，文獻[4,5]的成果將多智能體系統的一致性問題的研究推向了一個新的階段，隨后文獻[2]討論了相關問題的理論框架，并給出了一致性算法。另外，蔣國平等人[6]從不同方面介紹了一致性問題的相關研究成果，并且指出仍然有許多難題需要學者去解決,關于一致性問題的進一步研究可參考文獻[7,8]。

一般情況下，多智能體系統常用微分方程組描述系統的變化規律，既有低階的情況也有高階的情況，往往隨著階數的增高，系統會變得更加復雜。一階多智能體系統對應著一組一階微分方程組，這種系統結構相對簡單，主要是反映智能體位置的變化規律，目前已經有很多這方面的研究成果；2階多智能體系統雖然結構復雜，但是能夠同時描述智能體位置和速度的變化情況，而且2階系統現實意義更強。針對2階多智能體系統，文獻[9,10]分析了實現一致的充要條件，文獻[11]討論了有限時間一致性問題，文獻[12]在隨機擾動下研究了系統的一致性。另外，ZHENG等人在文獻[13]中討論了混合階多智能體系統的一致性。本文將考慮如式(1)2階多智能體系統

為了降低時滯對系統式(1)的影響，需要設計新的一致性協議，首先將輸入變量中的xi(t-τ)和 vi(tτ)替 換為xi(t-τ +β)和 vi(t-τ +β)， 此時常數β 無法直接控制，為了能夠控制該參數，再利用xi(t-τ +β)≈r1xi(t-τ)+r2β x˙i(t-τ)和 vi(t-τ+β)≈r1vi(t-τ)+r2β v˙i(t-τ)，可得到具有時滯狀態導數反饋的一致性協議

該協議中 β ≥0表示時滯狀態導數的反饋強度，權重系數 r1,r2＞0 。當r1=r2=1 且 β =0時，該協議式(2)變為傳統的一致性協議。對于2階多智能體系統，如何提高系統的時滯魯棒性是一個十分重要的問題，目前，在不改變網絡拓撲結構的情況下，可以通過減少網絡的連通性來解決該問題，但是由于減少連通性會降低多智能體系統實現一致收斂的速度，為了克服兩者之間的矛盾，文獻[15,16]引入時滯狀態導數反饋協議部分解決了該問題。然而，如果反饋強度過大，系統在任意通訊時滯下都會發生震蕩[17]，這需要尋求新的方法來解決。隨后，Wu等人[18]設計了一種加權平均預測的一致性協議，在該協議下，問題得到了解決，但是該協議結構需要利用積分理論做加權平均處理，導致結構過于復雜，在實際應用中很難實現。本文將采用一種相對簡單的加權方法，給出一種新的具有加權項的時滯狀態導數反饋協議式(2)，分析系統式(1)的一致性和魯棒性，此時2階多智能體系統具有如下閉環形式

本文的創新之處在于提出了一種具有加權項的時滯狀態導數反饋協議，在定向通訊網絡拓撲下，改進了大通訊時滯導致2階多智能體系統容易發生震蕩的問題。下面將采用頻域理論研究系統式(3)的一致性和魯棒性。

2 主要定理

2階多智能體系統的一致性要求位置與速度都要達到一致，具體定義為

而且當通訊時滯 τ =τmax時，系統式(3)的解必定全局震蕩。

由于矩陣 L 為 N 階方陣，所有s =-γ是上面特征方程的 N重根，為了使系統式(3)實現漸近穩態一致，需要研究方程

注：定理1表明對于所有權重系數 r1,r2＞0，只要反饋強度 β和通訊時滯τ 滿足一定的條件，就可以保證系統式(3)漸近實現穩態一致。然而為了確保具有時滯狀態導數反饋的一致協議能夠更加準確地反映傳統一致性協議的性能，在實際應用過程中，往往需要對參數 r1,r2和β 進行約束。一般地，r1和 r2越接近1，且β 越接近0，對傳統協議的性能反映越準確。當β =0時，協議式(2)變為傳統的一致性協議，下面考慮協議式(2)比傳統的一致性協議更有優勢，為了證明該問題，只要找到恰當的β 使得τmax|β/=0＞τmax|β=0即可。

3 數值仿真

在 β=0 和r1=r2=1 下，取τ =1.3，系統式(3)的位置和速度狀態變化趨勢見圖1。這里的橫坐標時間概念表示多智能體系統中xi(t) 和vi(t)的時間變量t，縱坐標表示兩者的數值。

從圖1可以看出，此時2階多智能體系統發生明顯的震蕩，主要原因在于此時的通訊時滯τ =1.3 ＞τ?，系統式(3)會發生震蕩，從而定理結論有效。

另外，當β =0.2且 r1=r2=1時 ，取通訊時滯τ =1.35，系統式(3)的位置和速度狀態變化趨勢見圖2。

從圖2可知，盡管τ 增加到1.35，但是系統式(3)卻能夠漸近實現穩態一致。這是因為此時 β調整為0.2時，使得τ =1.35 ＜τmax=1.4051，從而系統式(3)能夠漸近實現穩態一致，于是定理結論有效。

最后，保持反饋強度β =0.2不變，將權重系數調整為 r1=0.9和 r1=0.8 ， 此時在通訊時滯τ =1.5下，該系統的位置和速度狀態變化趨勢見圖3。

從圖3可知，即使將通訊時滯增大到τ=1.5 ＜τmax=1.5484，在給定的權重參數下，系統式(3)仍能夠漸近實現穩態一致。結合圖1-圖3，盡管時滯從1.3增加到了1.5，但是只要給定適當 β , r1和 r2，即可 保證系統式(3)漸近實現穩態一致。

4 結論

研究表明，對于在定向網絡拓撲結構下2階智能體系統，具有加權項的時滯狀態導數反饋協議有較大的優勢，它們比傳統的一致性協議能夠容忍更大的通訊時滯，而且該協議中的參數調整相對簡單，比較容易實現。對于系統的通訊時滯偏大的情況，系統往往會發生震蕩，為了解決震蕩問題，只要引入具有加權項的時滯狀態導數反饋協議，通過對反饋強度和權重系數進行調整，即可保證系統漸近實現穩態一致。