應用加權高斯模型的非理想稀疏信道估計*

高童迪，秦學珍，袁正道,2，王家斌

(1.河南開放大學 人工智能工程研究中心，鄭州450002;2.鄭州大學 信息工程學院，鄭州450001;3.中船重工第七一三研究所，鄭州450001)

0 引 言

在現代通信系統中利用稀疏性進行信道估計時，非零信道抽頭的位置和個數將對估計算法產生巨大的影響[1-2]。現有的稀疏估計算法通常假定非零抽頭位置隨機分布，抽頭取值為零均值的高斯分布。但是在空間傳播過程中，信道由直射和散射路徑共同構成，非零抽頭的位置和幅度具有一定的先驗信息[3]。

常用的稀疏估計模型有稀疏貝葉斯學習[1](Sparse Bayesian Learning,SBL)、伯努利-高斯[4](Bernoulli-Gaussian,BG)模型和正交匹配追蹤[5](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)等，其中SBL模型假設抽頭元素為均值為0、方差為伽瑪分布高斯變量；BG模型假定抽頭元素有零和非零兩種取值(伯努利分布)，其中非零元素又服從高斯分布；OMP算法將待估計向量分解為相互正交向量的稀疏線性組合，通過迭代構建稀疏逼近。基于上述三類先驗模型，國內外多個團隊進行了深入的研究。例如利用消息傳遞算法進行SBL[6]和BG[4]模型的建模和推導，也取得了較高的估計精度。但是上述工作均未考慮信道抽頭所具有的分組特性，而是將每個抽頭都當作獨立分布。預期利用上述分組特性將成為稀疏估計算法的突破點。

最優估計通常要求解系統中所有顯性和隱藏變量的全局最大后驗概率，但是現代通信系統涉及到的中間變量過多，針對這樣的復雜模型，最優估計會導致極高的復雜度，很難得到推廣。作為最優估計的近似，因子圖-消息傳遞算法[7]自從提出以來在稀疏估計[6]、迭代接收機設計[8]和圖像處理[9]等領域得到了廣泛的應用。目前應用最廣泛的基本消息更新規則有置信傳播[10](Belief Propagation,BP)、平均場[11](Mean Field,MF)等，在此基礎上發展出了一系列近似消息傳遞算法，如廣義近似消息傳遞[12](Generalize Approximate Message Passing,GAMP)和酉近似消息傳遞[13](Unitary Transform Approximate Message Passing，UT-AMP)等。上述每種規則都有特定的應用場景，如BP規則合適用于離散分布的變量計算，MF規則適合如高斯分布和Gamma分布的消息計算，但是針對更為復雜的參數計算，BP和MF規則也很難得到閉式解。文獻[14]中證明了經典的期望最大化(Expectation Maximization，EM)方法也可以看作MF規則的一個特例，能夠作為一種消息更新規則嵌入到現有的消息傳遞算法中，以適用于更復雜的參數估計[15]。

針對非理想稀疏信道，本文提出了一種應用聯合UT-AMP和EM的信道估計算法，并建立虛擬環境進行了測試，從數值仿真和復雜度的角度驗證了所提算法的有效性。

1 系統模型

1.1 OFDM系統模型

針對一個配置有M個子載波的正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)系統，均勻選擇其中N個作為導頻進行信道估計，剩余M-N個用于數據傳輸，導頻向量可表示為x=[x1,x2,…,xN]H。定義導頻圖譜為P，即向量x中元素xn的下標n∈P。頻域傳輸符號經過頻域等效信道h=[h1,h2,…,hN]H的傳輸得到的頻域接收數據為y=h·x+n。由于本文僅關注信道估計，則向量h、y等默認僅包含頻域索引屬于導頻圖譜P的部分，即h、y∈RN×1。為簡化系統模型，本文假定發送的導頻符號為xn=1，則觀測數據y可以簡化表示為

y=h+n。

(1)

式中：n表示精度(方差的倒數)為σ-1的加性高斯白噪聲。根據傳播理論，OFDM系統的頻域等效信道可以表示為多徑抽頭向量α和部分離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)矩陣相乘的形式，即

h=Φα。

(2)

式中：α∈RL×1為抽頭向量，L為抽頭長度。式(2)中矩陣Φ的構造方法為：從M維標準DFT矩陣FM中選取其索引屬于導頻圖譜P中的N行和前L列，即Φ∈CN×L。進而式(1)可以重寫為

y=Φα+n。

(3)

但是由文獻[16]等可知，當觀測矩陣具有病態特性時，基于消息傳遞的迭代算法會導致較大的性能損失，甚至產生發散。處理該類問題的方法有向量近似消息傳遞(Vector Approximate Message Passing,VAMP)、酉變換近似消息傳遞(UT-AMP)和簡單的數值處理方法，如迭代阻尼[16](Damping)的方法。本文采用UT-AMP的思路，首先對部分DFT矩陣Φ進行SVD分解可得Φ=UΛV，其中U、V為酉矩陣，Λ為對角陣，從而式(3)需要重寫為

y=UΛVα+n。

上式同時左乘矩陣UT可得

UTy=ΛVα+UTn?Aα+UTn?h′+n′?r。

(4)

式中：A、r和h′分別為新的測量矩陣、觀測向量和頻域等效信道。鑒于本文后續僅用到變量h′，簡潔起見由h代替。由于UT為酉矩陣，則n′仍為高斯白噪聲，并且均值方差和n一樣，因此本文后續仍用n表示。所以式(4)可重新整理為

r=Aα+n。

(5)

1.2 混合高斯先驗模型

在稀疏估計模型中常見的伯努利-高斯先驗可以表示為

式中：稀疏向量α中的元素αl只可能有0和非零兩種取值，其概率分別為(1-λ)和λ，當取值非零時假定其服從均值為0、方差為1的高斯分布。

(6)

式中：βi和μl為每個高斯先驗的權重和均值。相比BG模型，加權高斯模型更具通用性，能夠捕捉更復雜的稀疏先驗。

由上述OFDM傳輸和加權高斯先驗模型，可以將本系統中的觀測和未知變量的全局后驗概率進行因式分解:

p(r,h,α,λ,π,β,μ)=

p(r|h,λ)p(h|α)p(α|π,β,μ)p(λ)=

p(σ)∑np(rn|hn,λ)p(hn|α)×

∑lp(αl|π,β,μ)p(β)p(μ)?

fλ∑nfrnfhn∑lfαlfβfμ。

(7)

圖1 因式分解(7)所對應因子圖

2 消息傳遞框架下EM算法的嵌入

作為一種經典迭代算法，EM已經被廣泛應用于信號處理的諸多領域。文獻[14]中證明了EM算法可以看作是MF消息更新規則的一種特例。為了方便本文的后續推導，可以將EM算法在消息傳遞框架下的嵌入方式進行總結。

假設存在如圖2所示因子圖模型，fx(x,θ)表示變量x和θ之間的函數關系，函數fθ(θ)為變量θ的先驗分布。設變量x的置信為b(x)，根據MF規則可計算fx(x,θ)到θ的消息為

則變量θ的置信可寫為b(θ)∝mfx→θ(θ)×fθ。

圖2 EM算法簡單示例因子圖

(8)

3 非理想稀疏信道估計算法推導

本節將因子圖劃分為稀疏向量估計部分(包含函數節點frn、fhn、fλ和與之對應的變量節點)和WG先驗估計部分(包含函數節點fαl、fβ和fμ)，并按照上述劃分進行消息的更新和算法總結。

3.1 基于UT-AMP的稀疏向量估計算法

對于frn、fhn節點之間消息的更新可以參考文獻[13]中的現有公式，但是文獻[13]中并沒有給出在具體先驗條件下αl置信的計算，所以本節僅關注變量αl置信的更新。

(9)

(10)

(11)

(12)

φnk?ξnk/∑k′ξnk′，

(13)

(14)

(15)

式(12)～(13)根據簡單的移項等算術運算即可得到，式(14)～(15)的計算需要利用高斯分布相乘公式。在得到置信b(αl)后計算αl的期望和方差分別為

需要說明的是，本節僅推導了稀疏向量估計中置信b(αl)的更新方法，而其他節點之間消息的更新歸納在3.3節偽代碼中。

3.2 基于EM的先驗參數估計

(16)

根據EM求解公式(8)有

上式代入b(αl)和?lnfαl/?λ可得

δ(αl≠0))?(lnfαl)/(?λ)dαl=

∑l(-(1-πl)/(1-λ)+πl/λ)=0，

(17)

類似地，可得函數fαl對θk的偏導數

代入EM求解公式，有

(18)

(19)

3.3 本文所提信道估計算法

根據前述消息傳遞算法推導，設計合理的消息更新策略，本文所提信道估計算法偽代碼如下：

2 酉變換[U,Λ,V]=svd(Φ),r=UTy,A=ΛV

FORi=1:NOuter

3 ?n更新νpn=∑l|Anl|2ναl

7 ?l更新νql=(∑n|Anl|2νsn)-1

FORi′=1:NEM

END FOR

END FOR

4 數值仿真和復雜度分析

本節從數值仿真和復雜度兩方面對本文所提算法和文獻中方法進行對比。為方便描述，本文對涉及到的算法進行如下定義：文獻[6]中所提基于SBL模型和GAMP的估計算法簡寫為GAMP-SBL；文獻[4]中利用GAMP和BG先驗的估計算法簡記為UT-BG；本文所采用基于UT-AMP和WG模型的方法記為UT-WG。此外，本文還將已知非零元素位置的最小均方誤差估計作為接收機性能的最佳下界，簡記為Gen-LMMSE。

4.1 復雜度對比

對比算法GAMP-SBL和UT-BG在迭代部分具有復雜度O(NOuterNL)，比本文所提UT-WG算法缺少了酉變換和內迭代。需要說明的是，對于方陣SVD分解并沒有快速算法，但是非方陣(如“胖”矩陣或者“高”矩陣)則有快速算法，能夠在N?L或L?N的條件下實現復雜度遠小于O(N3)。矩陣A的快速SVD分解在Matlab中寫為svd(A,‘eco’)，仿真中能夠大大加速運算。所以可以說本文所提算法與文獻中已有算法相比略有提升，但保持同階。

4.2 仿真環境建立

本節建立OFDM傳輸環境對本文所提算法進行數值仿真和對比。假設一個配置有M=512個子載波的單天線高速OFDM系統，均勻選取其中N=70～100個子載波作為導頻。設信道抽頭長度為L=200，主要非零抽頭個數為S=8。由于存在多徑散射，假定每個主要抽頭攜帶3個拖尾(Heavy Tailed)非零抽頭，其強度與其歸屬的主要非零抽頭呈冪次遞減。例如當抽頭αl為主要的非零抽頭，其強度為αl=d，則存在3個拖尾抽頭，具有強度αl+j=d×2-j,j=1～3。每次仿真假定主要抽頭位置隨機分布，強度服從高斯分布。圖3展示了上述信道的一次實現，其上半部分為受拖尾影響的抽頭向量，下半部分為主要抽頭向量。

圖3 非理想和理想稀疏向量

4.3 數值仿真

本節以信道抽頭向量α的歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error,NMSE)為性能衡量標準對本文所提算法和文獻中已有方法進行數值仿真和對比。

圖4展示了在信噪比30 dB的情況下，各種算法的估計性能隨導頻數量的變化曲線。從圖中可以看出在導頻數量充足時(當N>95)，所有估計算法與最優估計(Gen-LMMSE)性能接近，但是隨著導頻數量的降低，各類算法性能惡化嚴重，在N≤80時甚至幾乎不工作；在導頻數量處于80≤N≤95時，本文所提UT-WG算法相比GAMP-SBL和UT-BG算法有明顯的性能優勢，或者說在相同估計性能條件下，本文所提算法能夠減少導頻的使用，提升OFDM系統頻譜效率。

圖4 估計性能隨導頻數量變化曲線(信噪比30 dB)

圖5給出了在導頻數N=85的條件下各種算法信道估計性能隨信噪比的變化曲線。由于本文采用的下界是已知非零抽頭位置的LMMSE估計，并且仿真中導頻數量N并不充足，所以在圖4和圖5上各類算法估計性能相比還有一定距離。從圖5中仍可以看出，相比文獻中已有算法，本文所提UT-WG算法表現出3～4 dB的性能增益。

圖5 估計性能隨信噪比變化曲線

總之，由于采用了更合理的稀疏先驗分布，利用UT-AMP算法降低了DFT矩陣的病態特性所導致的發散，本文所提UT-WG算法在保持同階復雜度的條件下具有更優的估計性能和頻譜效率。

5 結 論

本文以因子圖-消息傳遞為建模和信號處理工具，利用加權高斯為稀疏先驗模型，通過嵌入EM算法到消息傳遞框架中，通過消息的推導計算和迭代，得到一種針對非理想稀疏向量的估計算法，將其應用于高速OFDM通信系統信道估計的仿真中，取得了較好的性能增益。