基于機器視覺輪廓提取的平滑處理算法*

李建鑫 ，陳 鴻 ，王晉祺

(1.中北大學 儀器與電子學院，山西 太原 030051；2.上海無線電設備研究所，上海 201109)

0 引言

近年來，基于機器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統因為其優良的效率與成本而被市場快速推廣[1]。然而在利用機器視覺提取鏡片輪廓過程中，會有難以避免的環境干擾光造成誤差，嚴重影響提取的鏡片輪廓數據的光順與精度。

B 樣條曲線擬合的定義一般是指：給定一組已知的數據點，要求尋找一條B 樣條曲線逼近或通過這些數據點[2]。對B 樣條曲線擬合問題的研究在高精加工領域有著非常重要的地位，有諸多學者取得了大量卓有成效的成果[3-4]。目前最小二乘法使用最普遍的B 樣條曲線擬合方法，目標是極小化各個數據點與所擬合的B 樣條曲線上的對應點的距離平方和[2]。然而由環境干擾光造成的誤差總是集中分布，且偏差的方向總是向內，不適合使用最小二乘法進行擬合。

本文針對環境干擾光造成的鏡片輪廓上的誤差進行了特征分析，并結合鏡片輪廓為凸曲線的特征，給出了專門適用的基于三次B 樣條曲線擬合的方法：首先依據一定的特征剔除受環境干擾光影響產生誤差的輪廓段；然后使用基于三次B 樣條曲線的保形插值算法對被剔除的輪廓部分進行插補。最后通過實驗實現了對該算法提高數據精度效果的量化分析，驗證了該算法對環境干擾光造成的誤差有著顯著的修復效果。

1 環境干擾光造成的誤差特征分析

基于機器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統可簡化為圖1 所示的投影模型，A 面是一個平行光源，B 是待提取輪廓的物體，C 面是感光器件。當平行光由A 面射向C 面時，待提取輪廓的物體B 對平行光進行遮擋，在C面產生待提取物體的投影B′，由感光器件C 對投影B′進行測量以提取輪廓[5]。然而環境中存在不可避免的干擾光，如在圖1 中由D 點發出的光，會在B 的投影的輪廓上生成一個光斑D′。

圖1 輪廓提取系統模型圖

系統提取到的輪廓由有序的離散坐標點組成，現實中的眼鏡鏡片輪廓線為凸曲線，因此理想中提取到的輪廓應為由n 個頂點構成的凸n 邊形。圖2 所示為利用機器視覺提取的眼鏡鏡片輪廓圖，在輪廓上取一個區域I，圖3 為圖2 中此區域的放大圖。

圖2 眼鏡鏡片輪廓圖

圖3 I 區域局部放大圖

在圖3 中可以明顯觀察出提取到的輪廓上有許多凹陷的部分，這正是因為如圖1 中的光斑D′的影響。將輪廓上凹陷的頂點稱為輪廓的凹點，并把凹點作為環境干擾光所造成的誤差的特征體現。

2 凹點的定義與檢測方法

根據上述在幾何上這樣定義眼鏡鏡片輪廓上的凹點：在眼鏡鏡片的多邊形輪廓上取一個頂點B，在頂點B的順時針方向取任意的頂點A、在頂點B 的逆時針方向取任意的頂點C，當滿足時，如果存在這樣的頂點A、頂點C，使在的順時針方向，則頂點B 為此多邊形輪廓的凹點。

對凹點的檢測程序流程圖如圖4 所示。

遍歷輪廓上所有頂點后，找到輪廓上的所有凹點。這些凹點不僅本身就是誤差，而且在后續的磨削加工中，這些凹點還會造成對其他頂點的過切，進一步惡化眼鏡鏡片輪廓的精度。因此本文采用首先剔除輪廓上檢測出來的所有凹點，然后再對剔除凹點的部分進行插補的方案。剔除所有凹點后的輪廓頂點圖如圖5 所示。

3 基于B 樣條曲線的保形插值方法

3.1 B 樣條曲線的數學表達式

一條k 次B 樣條曲線可以用一條分段的有理多項式矢函數來表達[6-7]，其表達的公式為：

圖4 凹點檢測流程圖

圖5 剔除凹點后的輪廓圖

式中，di(i=0，1，2，…，n)為構造B 樣條曲線的n+1 個控制頂點；Bi，k(u) 表示的是k 次規范的B 樣條基函數，由節點矢量u=[u0，u1，u2，…，ui+k+1]根據de Boor-Cox 遞推公式定義：

3.2 B 樣條曲線的保形插值方法

眾所周知B 樣條曲線不具有插值性，待B 樣條曲線插值通過的點被稱為型值點，構造插值B 樣條曲線需要先用型值點求出控制點，然后再用控制點生成B 樣條曲線[8]。

常用的求控制點的方法有反算法[9]和迭代算法[10]。然而這兩種算法運算量較大，并且用這兩種算法求出的控制點所構造的B 樣條曲線無法保證具有和型值點多邊形相同的凹凸性。目前有針對基于權因子的NURBS保形插值曲線的研究[11]，然而權因子的確定較為復雜，運算量較大。綜合考慮該算法的使用場景，本文采用株洲工學院方逵教授提出的保形B 樣條插值算法[12]并針對適用場景進行了改進。

定理1：如果相鄰的3 個控制點dk、dk+1、dk+2共線，且dk+1=(dk+dk+2)/2，則三次均勻B 樣條曲線插值控制點dk+1[12-13]。

根據定理1，按如下過程求得控制點：設需要插值的型值點為Vi(i=0，1，2，…，n)，型值點構成的多邊形輪廓為(V0，V1，V2，…，Vn)，如圖6 所示。

圖6 型值點多邊形

定義三次B 樣條插值曲線P(u)的端點切矢量為給定值T0、Tn。在內部型值點Vi處的切矢量Ti為：

則三次B 樣條插值曲線的控制點定義為：

其中，λi是可調節參數。根據定理1，以di(i=0，1，2，…，3n)為控制頂點的準均勻三次B 樣條曲線插值所有的型值點Vi(i=0，1，2，…，n)。

已知眼鏡鏡片輪廓線是凸曲線，因此需要保證生成的插值三次B 樣條曲線也是凸的，根據B 樣條曲線的保凸的特性，當控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形時，即可保證由此控制多邊形生成的B 樣條曲線為凸曲線。本文給出要使控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形對λi的要求。

如圖7 所示，由型值點Vi-2、Vi-1構造矢量由型值點Vi+1、Vi+2構造矢量。型值點Vi的切矢Ti所在的直線與所在的直線交于點Ri0，型值點Vi的切矢Ti所在的直線與所在的直線交于點Ri1。其中i=1 時將端點V0處的切矢量T0作為；i=n-1 時將端點Vn處的切矢量Tn作為不存在點Ri0；i=n 不存在點Ri1。

圖7 保形條件說明

為了使插值曲線保凸，即以di(i=0，1，2，…，3n)為頂點的控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形，λi需要滿足條件：

下面給出保凸插值的程序框圖，如圖8 所示。

圖8 保形插值的程序框圖

3.3 眼鏡鏡片輪廓的保形插值

雖然圖5 所示輪廓的頂點中已經不存在凹點，但是相鄰頂點之間的間隔很不均勻，有的間隔過大，嚴重損失精度，且無法進行后續的磨削加工。為此，本文基于上述的B 樣條曲線對去除凹點后的輪廓部分進行插補處理。

圖5 顯示去除凹點后的輪廓總是被去除大量連續的頂點，這是因為輪廓上的凹點數量比較多，且總是集中出現。把這樣凹點連續出現的輪廓段稱為凹點段。如果兩段凹點段之間的間隔只有一個頂點，就把這兩個凹點段作為同一段來處理。將輪廓上的局部放大圖圖3 所顯示的輪廓上的凹點進標記，結果如圖9 所示，在圖9中凹點段(B，…，C)、凹點段(C，…，D)、凹點段(D，…，E)作為同一凹點段(B，…，E)進行處理。

圖9 凹點段示意圖

對凹點段(B，…，E)的保凸插值：將點B、點C、點D、點E 作為型值點，將作為端點切矢量，按照圖8所示流程生成插值曲線。結果如圖10 所示。

圖10 凹點段插補示意圖

對圖5 中的整個輪廓去除凹點部分進行保凸插值并對插值曲線進行等步長離散化，結果如圖11 所示，在輪廓上消除了所有凹陷的部分，且因為由三次B 樣條曲線進行插補，所以光順度較好，對環境干擾光造成的誤差有明顯的修復效果。

圖11 修復誤差后的輪廓圖

4 設計實驗定量分析算法的效果

現實中的眼鏡鏡片輪廓線通常都是比較復雜的曲線，難以得知其準確的輪廓數據，不便于對本文提出的平滑處理算法提高數據精度的有效性進行量化分析。為此本文設計了以下的實驗：

(1)使用基于機器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統提取標準圓形鏡片的輪廓，提取到的輪廓如圖12 所示。

(2)用本文提出的平滑處理擬合算法對環境干擾光造成的誤差進行修復處理，效果圖如圖13 所示。

圖12 提取到的圓的輪廓圖

圖13 修復誤差后的圓的輪廓圖

(3)分別將平滑處理前和平滑處理后的輪廓數據用最小二乘法擬合圓，最小二乘法是一種最常見的數學優化方法，通過最小化誤差的平方和找到與所提取到的輪廓數據最吻合的圓的參數方程[14]。

設最小二乘圓的參數方程為：

式中，(xc，yc)表示的是擬合出來的圓心坐標，R 表示的是擬合出來的圓的半徑。最小化誤差的平方和建立的模型為：

式中，(xi，yi)表示的是提取的輪廓上的離散坐標點。對該模型的求解屬于非線性最小二乘法問題[15]，計算復雜，運算量較大。本文先將非線性最小二乘問題轉換為線性問題[16-17]，方法如下。令誤差項變為：

為對此模型求解，參考文獻[16]、[17]，設中間變量：

式中，N 表示總點數。模型式(9)的解為：

根據式(11)，最小二乘擬合圓的圓心(xc，yc)和半徑R的估計值為：

由最小二乘法擬合圓的參數和輪廓數據(xi，yi)求得輪廓數據的最小二乘擬合過程中的均方差為：

最小二乘法擬合的圓的圓度誤差δ 為：

本文的目的是對提出的平滑處理算法的效果進行量化分析，因此分別將平滑處理前和平滑處理后的輪廓數據用最小二乘法擬合圓的均方差與圓度誤差進行比較。均方差與圓度誤差越小，說明輪廓數據與圓的吻合程度越高，此輪廓的精確程度要更好[18]。在不同的環境光下多次實驗，結果如表1 所示。

表1 修復誤差前后的輪廓數據擬合圓的對比

從表1 可以看出，在使用本文的平滑處理算法對輪廓數據進行處理后，最小二乘法擬合圓的均方差減少了80%～90%，圓度誤差減少了70%～80%，輪廓與標準圓的吻合程度顯著提高，輪廓數據的精度顯著增加。證明本文提出的平滑處理擬合算法對基于機器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統有著良好的平滑去噪與誤差修復效果，大幅度提高了系統提取的輪廓的光順與精度。

5 結論

針對使用機器視覺提取輪廓過程中環境干擾光造成的誤差，本文通過分析誤差的特征，提出了一種全新的平滑擬合算法，并設計實驗驗證了該算法可以顯著提高基于機器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統的光順與精度，且該算法運算高效、編程簡單。該算法的應用場景存在一定的限制，適用于輪廓是凸曲線的場景，但是對于輪廓上有較少拐點的情況，該算法也有一定的指導啟發意義，可以通過對輪廓進行變形、分段等操作，構造出凸曲線，以適用該算法。