基于四元數的垂直發射導彈數學建模及控制策略研究

王齊雙，劉鈞圣，譚天漢，李永生，常冠男

(西安現代控制技術研究所，西安 710065)

0 引言

垂直發射技術興起于艦載防空導彈系統，相對傳統傾斜發射方式具有作戰反應時間短、載彈量大、全方位打擊、結構簡單、隱蔽性高、平臺移植性好等優點，是一種極具發展前途的發射方式，美國的MK41、以色列的巴拉克、英國的海狼垂直發射系統等紛紛成為主流的艦載武器。進入21世紀，以美國提出的“網火”系統為代表，可全方位對地面裝甲車輛、指揮陣地、低空飛行的武裝直升機、無人機等目標形成高效毀傷的垂直發射型多用途導彈得以迅速發展。

圖1 美“網火”PAM垂直發射導彈

傳統飛行力學中采用歐拉角(?，φ，γ)描述導彈運動，所建立導彈空間運動模型如圖2所示。

圖2 導彈運動示意圖

此時，導彈繞質心轉動的運動學方程如下[1]：

(1)

從式(1)看出，當俯仰角?=90°時，方程出現奇異點，因此通過歐拉角的方式描述垂直發射導彈的空間運動是不合適的，必須借助四元數來實現。四元數可以用來表述物體空間轉動，任何一個參數都不會退化，還可減少三角函數運算，提高運算速度和參數精度。根據四元數變換原理，從導彈發射系到彈體坐標系的左邊變換矩陣可表示為[2]：

(2)

文中基于四元數在彈體坐標系下建立了垂直發射導彈空間運動模型[3]，設計了導彈發射后的姿態控制器，實現了導彈快速轉彎、對準射面、傾斜穩定飛行，對垂直發射導彈總體方案設計和性能校核具有一定的指導意義。

1 導彈運動方程

1.1 導彈受力分析

垂直發射導彈通過推力矢量技術來實現導彈的全方位快速轉彎，常用的推力矢量技術有燃氣舵、推力矢量噴管、擾流器、脈沖發動機等。燃氣舵成本低廉、構成簡單，一般安裝在發動機噴口處，在發動機推力作用下產生控制力。以燃氣舵實現轉彎的垂直發射導彈，受到的力在彈體坐標系上可表示為：

(3)

式中：[Fxb,Fyb,Fzb]為導彈受到的氣動軸向力、法向力和側向力;[Fxc,Fyc,Fzc]是燃氣舵在推力作用下產生的沿彈體坐標系上的合控制力。

(4)

在導彈的氣動布局和外形幾何參數給定的情況下，軸向力系數Ca、法向力系數Cn、側向力系數Cz與飛行Ma數、合攻角αc、氣流扭角Φ、俯仰舵偏角δz、偏航舵偏角δy、滾轉舵偏角δx等有關，即

C=F(Ma,αc,Φ,δz,δy,δx)

(5)

采用“X-X”氣動布局的導彈，[Fxc,Fyc,Fzc]與單片燃氣舵受力關系為：

(6)

式中：Fxc1,Fxc2,Fxc3,Fxc4分別為四片燃氣舵在推力作用下的軸向力；Fc1,Fc2,Fc3,Fc4分別為四片燃氣舵在推力作用下的法向力，這些力與燃氣舵效、燃氣舵偏角、推力等有關。

1.2 力矩分析

為研究導彈繞質心的旋轉運動，對導彈的力矩進行建模，包括氣動力矩、燃氣舵產生的操控力矩、阻尼力矩等，合力矩可表示為：

(7)

(8)

上式中my1、mz1為以彈體頭部為參考點的氣動力矩系數，Xm為質心相對于彈頭的位置。

1.3 運動方程組

描述導彈的空間運動包括質心的動力學方程、質心運動學方程、繞質心轉動的動力學方程、彈體轉動運動學方程、控制關系方程等。

在彈體坐標系下建立導彈質心的動力學方程，由矢量絕對導數與相對導數的關系：

(9)

由此可得到導彈質心運動的動力學方程標量形式：

(10)

導彈質心在彈體坐標系下的運動學方程可表示為：

(11)

導彈繞質心在彈體坐標系下轉動的動力學方程可表示為：

(12)

導彈轉動運動學方程可表示為：

(13)

式(10)～式(13)可以建立導彈的無控飛行運動方程，如果需要描述導彈轉彎飛行和末制導飛行過程，還需建立控制關系方程。

此外，根據導彈運動過程，合攻角αc、氣流扭角Φ可通過以下方式求得：

(14)

(15)

2 控制關系研究

2.1 俯仰通道控制

垂直發射導彈發射出筒后迅速調整姿態，使導彈朝向目標飛行。在飛行過程中，俯仰通道按照設定的姿態控制方案消除控制偏差，控制結構圖如圖3[4]。

圖3 俯仰通道姿態控制框圖

在轉彎過程中采用最佳軸控制原理，俯仰通道按照預定的姿態指令飛行，即：?c=Kzb，典型的俯仰姿態控制指令如圖4。

圖4 俯仰姿態控制指令

導引頭捕獲目標后進入末制導飛行，采用比例導引法實現對目標的精確打擊，導引律的簡化形式表示為：

(16)

2.2 偏航通道控制

在導彈發射后，導彈偏航通道控制與俯仰通道類似，采用姿態追蹤導引律消除偏差，消除方法可采用：

(17)

從導引頭捕獲目標到命中目標為末制導段，采用比例導引律生成偏航通道過載指令，實現對橫向位置誤差的修正，導引律可表示為：

(18)

2.3 滾轉通道控制

導彈飛行過程中采用傾斜穩定控制，即γc=0。為了提高導彈的抗干擾能力，在導彈滾轉角穩定回路中加入PI校正，控制框圖如圖5所示[5]。

圖5 滾轉通道控制框圖

2.4 轉彎策略研究

垂直發射導彈發射后快速轉彎，調轉射面能夠360°全向攻擊目標，具有良好的發射適應性。垂直發射導彈常用的轉彎策略有三種：先滾后轉、先轉后滾和邊滾邊轉[6]。

1)先滾后轉

導彈發射啟控后即刻開始滾轉控制，飛行一定高度后開始轉彎控制。該方案使彈體滾動和轉彎錯開，可以減小氣動、運動交聯耦合帶來的非線性影響，降低了對舵偏角的需求，但是由于轉彎啟動晚，對打擊近射程目標較為困難。

2)先轉后滾

導彈發射啟控后即刻開始轉彎控制，滾轉通道采用滾轉角速度穩定控制，當轉彎結束后開始滾轉控制。該方案同樣可減小氣動、運動交聯耦合帶來的非線性影響，降低對舵偏角的需求，也可適用于近射程要求嚴格的情況。

3)邊滾邊轉

導彈發射后同時進行滾轉和轉彎控制。該方案可以在短時間內完成轉彎和射面對準，控制效率高，有利于近射程目標打擊。但是轉彎和滾動過程中易出現氣動、運動耦合，呈現非線性氣動特性，舵偏角易飽和。

3 彈道仿真

依據建立的垂直發射導彈運動方程，對某型導彈的空間運動進行仿真。初始條件為：導彈初速V0=20 m/s，目標初始位置Xm=3 000 m，目標橫向運動，運動速度Vm=10 m/s，初始姿態?=90°，φ=0°，γ=150°，導彈的氣動力系數、力矩系數通過CFD仿真建模得到。為減小轉彎過程中由于氣動、運動引起的耦合線性，導彈在大攻角下呈現非線性特性，轉彎采用先轉后滾的策略。在Simulink上建模并仿真，得到導彈的飛行規律曲線如圖6所示。

圖6 仿真曲線

4 結論

垂直發射導彈具有全向攻擊、響應速度快、裝填密度高、作戰效能高等優點。采用傳統歐拉角的方式描述導彈運動時，垂直發射導彈會存在奇異點的情況。文中基于四元數建立了垂直發射導彈的空間運動數學模型，實現了導彈發射后俯仰、偏航、滾轉三通道控制器設計，并對不同的轉彎策略進行了研究，采

用先轉后滾策略進行了建模仿真。仿真結果表明，建立的數學模型和控制器能夠描述垂直發射導彈的空間運動。