高超音速飛行器的神經網絡跟蹤控制

游茜, 陳曉鋒, 蘇友峰

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350108)

0 引言

高超音速飛行器作為“第三次動力革命”的代表, 其技術前景在民用和軍事領域被廣泛看好. 近年來, 世界各國陸續掀起了高超音速技術研究的熱潮. 在高超音速飛行器動力系統的研究過程中, 解決由升降舵耦合所產生的非最小相位特性是一項極具挑戰性的研究[1]. 近年來，有學者提出一種基于輸出調節的非線性飛行跟蹤控制框架解決該問題[2], 指出其可解性依賴于調節器方程, 該方程是依賴于系統的偏微分方程組[3]. 對于非線性系統, 調節器方程通常無法求得解析解, 如本研究所分析的高超音速飛行器, 該系統是具有9個狀態變量、 2個輸入和2個輸出的非最小相位非線性系統. 這類問題可使用幾種不同的近似方法來逼近調節器方程的解[4-7], 稱為近似輸出調節問題.

近似輸出調節問題的研究始于多項式逼近, 作為一種基于泰勒級數展開的近似方法[8]被應用到多輸入多輸出非線性非最小相位系統[9]. 隨后, 更有效的神經網絡逼近法在非線性伺服機制問題[10]中被提出, 用于逼近調節器方程的解[11]. 神經網絡逼近方法基于著名的萬能近似定理[12], 該定理表明對于三層神經網絡, 只要其隱藏層包含足夠的神經元, 該神經網絡就可以近似任意精度的連續函數. 使用各種方法訓練神經網絡的權重矩陣, 神經網絡逼近調節器方程解的問題可以轉化為參數優化問題. 此方法被用于許多實際的非線性系統中, 例如球形倒立擺系統[13].

另一種更直接的方法是使用神經網絡直接近似前饋函數[14], 其僅需同系統輸出一樣維度的神經網絡來近似方程的解. 目前, 該方法已經應用到推車倒立擺系統[15]、 球形倒立擺系統[16-17]和欠驅動擺錘系統[18]. 由于不需要逼近調節器方程的所有解, 因此適用于復雜的非線性系統.

本研究所分析的高超音速飛行器的縱向動力學系統, 若使用神經網絡近似其調節器方程的解, 需要六個神經網絡來分別近似六個偏微分方程的解. 而使用神經網絡來直接近似前饋函數, 僅需逼近兩個偏微分方程的解. 因此, 發展后者相應理論, 可有效降低計算復雜度, 提高控制效率.

1 跟蹤控制理論

考慮如下非線性系統:

(1)

其中：F(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),H(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),k≥2均為全局定義且在原點附近充分光滑的非線性函數, 同時滿足初始條件F(0,0,0)=0,H(0,0,0)=0.x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分別為系統的狀態、控制輸入和輸出.v(t)∈Rq是外部參考信號, 由如下自治系統產生:

(2)

該自治系統的輸出為yd(t), 其中矩陣S滿足如下假設:

假設1S的所有特征值互異且實部均為零[3].

假設4在Rq的原點開鄰域V中定義了兩個充分光滑的函數x(v)和u(v), 滿足初始條件x(0)=0,u(0)=0且對所有的v∈V有:

(3)

方程(3)稱為調節器方程, 其可解性是非線性輸出調節問題可解的必要條件. 基于假設1～4, 使用經典理論[3], 可推出如下帶有前饋函數的輸出反饋控制器:

(4)

其中:c(v)=u(v)-Kx(v)稱為前饋函數, 其前饋增益K和觀測器增益L0使得下式為Hurwitz的矩陣.

(5)

前饋函數c(v)依賴于調節器方程的解, 然而, 對復雜非線性系統, 調節器方程的解析解往往無法求得. 在本研究中將直接使用神經網絡來近似此前饋函數. 基于著名的萬能近似定理[12], 可歸納如下定理:

定理1設Φ∈Ck(R)為雙曲正切函數. 令Γ為Rn中的緊子集. 那么對于任意ε>0, 存在一個三層神經網絡

(6)

滿足：

其中：整數N為神經網絡隱藏層的神經元個數；W1∈R(n+1)×N是輸入層與隱藏層間的權重矩陣,W2∈R(N+1)×m是隱藏層與輸出層間的權重矩陣.

(7)

基于神經網絡的跟蹤控制問題可以描述為設計一個形如式(7)的控制器, 使得對于充分小的x0,ξ0,v0, 聯立式(1)～(2)及(7)所得閉環系統有如下性質:

1) 上述閉環系統的解xω(t,x0,ξ0,v0)存在, 且對所有t≥0均有界.

2 高超音速飛行器系統

2.1 縱向動力學模型

(8)

該系統的特點是控制輸入不直接出現在系統的狀態方程中, 而是通過相關物理量的復雜非線性復合表達式呈現. 此處, 系統的系數參照Parker等人建立的高超音速飛行器數學模型[19].

2.2 解耦

為了表述高超音速飛行器的跟蹤控制問題, 將系統變量做如下的坐標變換:

于是, 高超音速飛行器的動力學方程可以寫成以下標準模式:

(9)

2.3 外系統

高超音速飛行器速度跟蹤和高度跟蹤的兩個參考信號都是正弦函數, 通過以下自治系統生成, 稱為外系統.

(10)

3 高超音速飛行器的跟蹤控制問題

3.1 證明調節器方程存在局部解

(11)

3.2 近似前饋函數

表1 Hooke-Jeeves法

4 仿真實驗

本研究高超音速飛行器仿真實驗的參數初始化如下:T0=46, num=240,ρ=0.2,α=0.1, 神經網絡的權重矩陣均初始化為(-1, 1)間的隨機矩陣. 神經網絡隱藏層神經元的個數采用對比實驗來確定, 在N=20時神經網絡有較好的近似能力和較高的計算效率. 令參考軌跡yd(t)=[0.5 sin(1.5t), 0.5 sin(1.5t)]T. 經過對神經網絡的訓練, 發現當J(W)<0.014時, 系統已經有了較好的跟蹤效果, 圖1～2顯示了此時高超音速飛行器系統輸出對參考軌跡的動態響應. 圖3～4分別顯示了相應的跟蹤誤差.

圖1 神經網絡跟蹤控制的速度響應

圖2 神經網絡跟蹤控制的高度響應

圖3 速度響應的誤差

圖4 高度響應的誤差

5 結語

本研究分析了高超音速飛行器縱向動力學系統的跟蹤控制問題. 針對耦合引起的非最小相位特性, 給出合理的解耦策略. 利用神經網絡直接逼近前饋函數, 進而得到基于神經網絡的輸出反饋控制器, 使得所研究閉環系統內部穩定且漸近跟蹤參考信號.