運用畫圖策略發展學生推理能力

（晉江市內坑教委辦，福建晉江 362200）

推理能力體現在以敏銳的思考分析、快捷的反應、迅速地掌握問題的核心，在最短時間內作出合理正確的選擇。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確指出，應將推理能力作為學生綜合能力發展的一項核心任務，并在整個教學進程中注重學生推理能力的培養。推理既是數學學習的內容，也是思考的方式。［1］由于小學生的思維正處于以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，這決定了發展學生推理能力需要利用畫圖策略。許多數學問題，可以借助畫線段圖、列表格、畫平面圖或立體圖形等策略，架“橋”鋪“路”，直觀地幫助學生理解數學知識，溝通知識的前后聯系，充分思考與表達，感悟數學思想方法。

一、清晰理解題意

除了數學本身的邏輯特點，讓學生感覺抽象難以理解外，更多的是與數學問題的呈現方式相關。許多數學問題的表述雖然簡潔，但多以純文字的方式呈現，枯燥乏味，且有的題目數量關系比較隱蔽，導致學生常常不能理解題意。根據小學生愛涂鴉的天性，從低年級開始，注重讓學生畫一畫，借助圖形、線段、符號等圖像表征，彌補文字描述無法呈現或難以清晰呈現的思考路徑，使學生讀懂、理解題意。這是解決數字問題的關鍵，也是培養學生推理能力的前提。

例如，教學三年級上冊《里程表（二）》一課時（見圖1），針對很多學生把160 千米當作是星期一一天行駛的里程數，將表格中的每個數據理解為每天行駛的里程數這一情況，設計以下教學環節：

圖1

師：160 千米是星期一一天行駛的里程數嗎？

生1：表格中的數據表示淘氣的叔叔星期一當天的里程數為160 千米，如果將其理解為當天行駛了160 千米，是錯誤的。

師：兩種表述有什么區別？

生1：星期一的里程數是160 千米，不僅包括星期一當天行駛的里程數，還應該包括星期一出車前的35千米。若理解為星期一當天行駛了160 千米，則表示他當天行駛的里程為160 千米。

師：是不是有點難以理解？你能畫圖說明嗎？

師：小宣同學畫了線段圖（見圖2），誰看懂了？

圖2

生2：我看懂了。這樣畫圖，我們就能很清楚地知道，35 千米是星期一出發前的讀數，不是星期一這一天行駛的，160 千米是包括星期一出發前與星期一當天在內的里程數，而星期一當天的里程數的計算列式為：160-35=125（千米）。

生3：我也看懂了。比如星期四的745 千米里，包含了前面的里程數，要將星期四當天的里程數計算出來，則列式為：745-555=190（千米）。

師：這道題一開始不好理解，畫了線段圖后，就能清楚理解題目的意思，畫圖這種方法真實用。

直觀圖的應用價值廣泛，能把隱性的數學關系顯性化，使抽象的文字形象化。當數學問題不易理解時，可以讓學生畫圖，把文字信息“畫”成圖形信息，用“圖”將數量關系直觀、形象地體現出來，幫助篩選有用信息，理解題目意思，找到解決問題的策略，起到支撐和輔助學生分析和理解抽象數學知識的作用。

二、溝通知識聯系

小學數學的教材內容是按不同層次，分知識領域、分板塊單元編排的，各版塊之間既有縱向發展的知識體系，又有橫向的聯系與拓展，呈現出縱橫相連的網狀結構。教學中，不能僅停留于教會學生掌握某個知識點，還要引導學生弄清知識點的前引后伸，溝通理解知識之間的內在聯系，才能真正把握數學知識的本質。通過畫圖，可以直觀地對比，打通知識的聯系通道，讓數學知識串點成線，聯結成塊，幫助學生形成系統的知識結構，從而發展推理能力。

例如，教學“0.2×3=？”時，得出計算結果后，教師追問：“0.2×3=0.6 這個結果是怎么算的？”學生經過思考，從不同的角度展示各自的計算方法：

①0.2×3 表示3 個0.2 相加，0.2+0.2+0.2=0.6（乘法的意義）

②0.2 元=2 角，2×3=6 角，6 角=0.6 元（借助人民幣換算，轉化為整數）

③0.1×2×3=0.6（數一數有幾個相同的計數單位）

④（0.2×10）×3÷10=0.6（積的變化規律）

⑤畫圖理解（見圖3）

圖3

“仔細觀察，這些方法之間有什么聯系嗎？”教師繼續追問，不僅僅停留在展示交流環節就結束教學。通過畫思維導圖（見圖4），啟發學生思考知識之間的關聯，找到知識之間的本質共性，對這些方法進行對比、分析和梳理。“乘法的意義、積的變化規律、運算律”，都是基于對“運算的意義”方面來解決問題的；用“單位換算、計數單位、分數”這些方法，是基于對“數的認識”；而畫圖則更加直觀，融合了這兩種認識。

圖4

借助思維導圖，學生體會到，這些不同的方法都體現“數一數有多少個這樣相同的計數單位”這個數學本質。這樣“畫龍點睛”，讓學生的思維漸趨漸明，知識脈絡直觀清晰，從而真正深刻地理解小數乘以整數的意義，也為小數乘法的后續學習提供豐富的研究經驗。“知識聯通”，直指數學知識的本源，有利于學生將知識結構化，進一步促進推理能力的提升。

三、有序思考表達

曹培英認為，思維習慣會影響推理能力。若遇到問題后，學生做到有理有據的推測與思索，那么首先會以語言等多種表述形式，將自己所思考的內容進行表達。小學生的數學思維具有明顯的形象性，在表達的思維過程時，往往缺乏條理性和層次性，不能扣緊本質，不能將自己的想法作清晰完整的數學表達。通過畫圖，為學生搭建表達的腳手架，結合規范的數學表達句式，可幫助學生輕松直觀地分析問題，做到表述的準確、完整與有條理，逐步提高學生的邏輯表達與推理能力。

例如，“雞兔同籠，有9 個頭，26 條腿，問雞兔各幾只？”這一問題，對于大部分學生來說比較抽象，特別是用假設法解答時，很多學生更是云里霧里，不知所云。如果讓學生列表格、畫圖形，給予充分的表達交流的時間，就會呈現不一樣的精彩。

1.列表格，在有序思考中推理表達

①將雞或兔按“從少到多”或者“從多到少”的按順序來列表（見表1），只需幾步就知道雞和兔各有幾只。②列表的過程中，關注數據的變化情況，是否存在什么規律？引導學生充分意識到，每增加1 只雞，兔的數量則減少1 只，總腿數則減少2 條的數量變化，根據規律，對數據進行適當調整。③讓學生充分地表達推理、思考的過程。

表1

2.畫圖形，借助關聯句式，完整表達推理過程

①選取有代表性的圖形進行表達交流。雞兔總共9 只，可用簡單的圖形代替雞兔的頭和腿，如用圓圈“○”表示頭，用豎線“|”表示腿。②推理表達時，盡量使用推理的關聯句式，完整地表達思考推理的過程。［2］如使用“先……再……”“如果……那么……”“根據……可以……”“因為……所以……”等關聯句式進行數學表達：

生：我先畫9 個圓圈表示9 個頭，每只配上2 條腿看雞，還剩8 條腿，再把每只雞添上2 條腿變成兔，8 條腿可以換4 只兔，一看圖就得到一共有4 只兔和5 只雞（見圖5）。

圖5

生：如果把1 只雞和1 只兔看作一組，一組一組地畫，畫到4 只雞和4 只兔時，還剩下1 個頭2 條腿，那么剩下的就是1 只雞，所以總共有5 只雞和4 只兔。（見圖6）

圖6

借助畫“圖”和豐富的數學語言，引導學生把“動手畫、動口說”有機結合起來，用清晰的數學語言，有條理地表述獲取知識的思維過程，實現多種形態數學語言的自然轉換與不斷抽象，以“說”促“思”，培養和發展學生的推理能力。

四、感悟推理思想

在數學知識學習過程中，進行推理思想的滲透，進而發展學生的推理能力，是數學教育的重要任務之一。若將數學知識看成是一條明線，推理思想則是數學知識中隱藏的暗線，需要學生通過思維進行分析與感悟，才能將其找出。教師如果能夠運用畫圖策略，引導學生直觀感悟，長期不斷地滲透，有利于幫助學生形成良好的推理習慣。

例如，教學二年級上冊“6 的乘法口訣”前，通過前測，發現大部分學生都已經知道6×7=42，能背誦“六七四十二”的口訣，但對“為什么6 乘7 得42”的道理解釋不是很清晰。基于此，可借助“點子圖”，讓學生在圈一圈、畫一畫中感悟算理。

1.設問：6×7=42，你能借助點子圖“圈一圈”，說明這句口訣表示的意義嗎？學生呈現思考過程（見圖7）：［3］

圖7

2.對比：觀察這些不同的圈法，你有什么發現？①都是表示7 個6，都把7 個6 分成幾個6 相加。不同的是，有的分成兩部分，有的分成三部分。②都是將新口訣轉變為舊口訣來輔助計算。

3.小結：通過圈一圈、畫一畫，得到“六七四十二”這句口訣，這樣把新知識變成以前學過的知識，利用舊知學習新知的方法叫作“轉化”，是數學學習中重要的思想方法（板書：新知—轉化—舊知）。

該教學模式的應用，將數學的幾大要素（口訣、圖形與公式）等彼此銜接，讓乘法口訣涵蓋的內容更豐富，學生對口訣意義也產生更全面深入的了解。在尋找新舊口訣聯系的過程中，滲透“轉化”這一推理思想，也為今后學習乘法分配律奠定了扎實的基礎。