一種基于不確定Petri 網的推理算法

申 鑫，李孝忠

(天津科技大學人工智能學院，天津300457)

Petri 網是一種適合知識表示與推理的異步并發建模工具，具有嚴格的數學定義和直觀的圖形表示[1].傳統Petri 網利用其異步并發的特性，可以在確定知識的基礎上進行更加有效的精確推理.在實際生活中，通常是在信息不完善、不確定的情況下進行思維、求解問題，因而在不確定環境下討論知識的表示與推理具有重大的意義.Looney[2]提出了模糊Petri網(FPN)模型，用于基于模糊規則系統的模糊推理.此后，FPN 模型逐漸用于模糊的知識表示與模糊推理中，并得到了廣泛和深入的研究與應用.Chen等[3]提出了一個更通用的模糊Petri 網模型模擬知識并描述了一個模糊算法自動執行知識推理.Yeung等[4]通過引入閾值和權重的知識參數對上述模糊Petri 網模型進行了改進.Chen[5]對文獻[3]的工作進行了擴展，主要描述基于知識的系統的模糊后向推理算法，其中模糊Petri 網被用于在專家系統的知識庫中表示模糊產生式規則.之后，也有學者對FPN 模型做出了改進，提出了模糊推理Petri 網(FRPN)模型[6]以及一致性模糊Petri 網(CFPN)模型[7]，用于含有否定命題的模糊產生式規則的表示與推理.

因為FPN 模型的圖形表示與動態處理能力，使其被廣泛應用于解決各種工程問題.為了給拆卸設備結構的計算機輔助進行快速設計提供理論指導，蘇開遠等[8]提出了一種基于Petri 網構建功–構映射模型的方法，為得到最優的廢舊產品拆卸裝備的設計方案，引入了模糊數對設計方案進行評價.為了提高電機的維護效率，實現電機實時故障診斷功能，程學珍等[9]提出了一種具有自適應性的神經模糊Petri 網故障診斷方法，該方法能夠準確地診斷出三相異步電動機的故障.

FPN 模型在解決具有不確定性的知識表示與推理的問題上取得了極大的進步.但根據Chen 等[3]提出的模糊推理執行規則，FPN 模型在使用此執行規則解決以下類似問題時可能會出現錯誤結果.假設一輛車通過橋梁的可能性為0.9，該車要連續穿過30座橋梁，當采用FPN 模型進行推理時，得出該車連續通過30 座橋梁的可能性為300.9=0.042，即該車幾乎不能連續穿過30 座橋梁，這與主觀經驗判斷該車能夠連續通過30 座橋梁相矛盾.因此，當使用FPN 模型進行推理時，會使一個能夠發生的命題被判斷成不會發生，導致出現與主觀判斷相反的結果.

Liu[10]提出了具有規范性、單調性、自對偶性、可列次可加性和乘積測度公理的不確定理論，用于刻畫主觀不確定性.不確定理論可以代替模糊數學處理問題，而且在刻畫主觀不確定現象時，不會產生上述的矛盾和悖論，因此得到了廣泛的認可和應用.本文結合Petri 網與不確定理論，提出了不確定Petri 網模型(Uncerainty Petri Net，UPN)，用于不確定產生式系統的表示與推理，能夠有效避免把可以發生的命題判斷成不會發生，產生與主觀判斷相矛盾的結果.

1 預備知識

假設Г 是一個非空集合，L 為Г 上的σ–代數.每個元素Λ∈L 都稱為事件，對每個事件Λ 都分配一個數值 M { }Λ ，用于表示人們相信事件Λ 發生的信度.并且，信度不是隨機分配的，其必須具有某些數學屬性，為了合理處理信度，不確定測度M 應滿足Liu[10]提出的如下3 條公理.

公理1(規范性)對于全集Γ，有 M ( Γ) =1.

公理2(自對偶性)對于任何事件Λ，都有

公理3(次可加性)對于任意可數的事件列Λ1,Λ2,…,Λi都有

定理1[11](Chen-Ralescu)假設X1, X2,…,Xn是獨立的不確定命題，并且分別具有真值 α1,α2,… ,αn，則對于Boolean 函數f，不確定命題Z =f ( X1, X2,…, Xn)具有真值

其中ix 取值為0 或1，iv 的定義為

不確定假言推理[12]：設A 和B 是獨立不確定命題.假設A 和A→B 分別具有真值a 和b.A 和B 的真值分別用符號1α 和2α 表示.

由不確定蘊含模型[12]式(3)可知，不確定假言推理的蘊含模型可以表示為式(4).

2 不確定產生式規則及其Petri網表示

知識是客觀世界中事物之間關系的反映，具有相對正確性、不確定性、可表示性和可利用性[13].產生式表示法用于描述事物之間存在因果關系的知識，描述一個事件的存在而導致另一個事件的產生.用符號方法表示為IF A THEN B（ 或A→B） .其中，A 表示前提命題，B 表示結論命題.

2.1 不確定產生式規則

不確定產生式規則用于表述真實世界中不確定事件之間的因果關系.

不確定事件可以看成一個不確定命題，不確定命題是一個句子，其真值是用不確定測度量化的[10].真值是不確定命題為真的不確定測度.不確定命題的真值可以用定理1 進行計算.

設R ={R1, R2,…,Rn}是一個不確定產生式規則的集合，推理規則的表示符號為Ri:Xj→Xk(CF = ci).其中，Xj和 Xk表示含有不確定變量的不確定命題，并且具有范圍為從0 到1 的真值，其真值越大表示該命題越可能為真.ic 表示規則iR 的信度，其范圍為從0到1，其信度越大表示該規則越被人們相信.

由Looney 等[14]所述，結合不確定理論可以得出不確定產生式規則在推理中可以分為如下4 種類型.

其中：αi表示規則 Ri中命題Xi的真值，ci表示規則Ri的信度.

類型四的規則由于沒有具體含義，所以并不適合推理演繹.因此，本文不考慮類型四的規則.

2.2 不確定產生式規則的Petri網表示

Petri 網是知識表示中常用的一種方式，因此可以利用Petri 網結構表示不確定產生式規則的3 種類型.其中，命題相當于Petri 網中的庫所，在圖中用圓圈表示，每個庫所可以包含托肯或不包含托肯，在圖中用點表示此庫所有托肯，托肯值的范圍為從0 到1，表示命題的真值，其取值越大則該命題越真.規則相當于Petri 網中的變遷，在圖中用豎線表示，規則信度的取值范圍為從0 到1，表示對此規則相信的程度，其取值越大則該規則越被相信.規則的推理過程可以用Petri 網的變遷觸發表示.變遷觸發后輸入命題的托肯不會被移除，這是因為規則的執行僅僅是命題真值的傳播，命題真值不會因為變遷被觸發而消失，命題真值大小僅代表該命題被相信的程度.命題之間的因果關系可以用Petri 網中的庫所和變遷之間的弧類比表示.

根據以上規則，不確定產生式規則的3 種類型用Petri 網結構表示如圖1—圖3 所示.

圖1 類型一的Petri網表示Fig. 1 Petri net representation of type one

圖2 類型二的Petri網表示Fig. 2 Petri net representation of type two

圖3 類型三的Petri網表示Fig. 3 Petri net representation of type three

類型三規則在用Petri 網表示前需要先轉化成規范式，為

3 不確定Petri網

3.1 不確定Petri網的定義

不確定Petri 網是在定義1 的基礎上，結合不確定理論，對傳統Petri 網進行了擴展，用于不確定知識的表示與推理，其定義如下.

c 是一個關聯函數，表示從變遷到實數的映射，得到規則 Ri的信度，其范圍是從0 到1；其信度大小是由專家根據不確定測度給出的數值.

α 是一個關聯函數，表示從庫所到實數的映射，得到命題Xi的真值，其范圍是從0 到1.其真值大小是命題為真時的不確定測度.

β 是一個關聯函數，表示庫所與命題之間雙向映射.

3.2 UPN的執行規則

與傳統的Petri 網類似，UPN 的執行規則包括變遷是否具有發生權以及是否能被觸發.

如果規則 ri∈ R是能夠發生的，當且僅當Xi(Xi是ri的輸入命題)是被標記的，即其具有托肯.

根據式(5)可知，對于能夠發生的規則ri，當輸入命題的真值與規則的真值之和小于1 時，其沒有可行解，真值無法被分配，即該規則ri無法被觸發，所以要得到觸發，則必須滿足 T ( Xi)+T ( ri) ≥ 1.

采用FPN 模型進行推理時，其執行規則借助模糊理論中的模糊推理，根據前文提出一輛車連續穿過30 座橋梁的例子可知，使用該規則進行推理可能會使一個能夠發生的命題被判斷成不會發生.

本文借助不確定理論中的不確定假言推理執行推理規則，對不確定產生式規則的3 種類型進行推理，從而得到所需命題的真值.

4 不確定推理

不確定推理是通過不確定集理論從人類知識中得出結果的過程，需要做到從已知的不確定命題的真值中，通過變遷的觸發，得到其他命題的真值，從而建立不確定Petri 網的動態推理模型.基于UPN 的推理算法如下：

(1)判斷變遷 ti是否具有發生權，若有則轉到第二步，否則繼續尋找下一變遷進行判斷，直到無變遷能夠發生，則推理結束.

(2)根據Chen-Ralescu 定理，得到具有發生權的變遷 ti的輸入命題Xi的真值θ.

(3)判斷變遷 ti的信度 ci與輸入命題Xi的真值θ的和是否大于等于1，若是則該變遷能被觸發，進行第四步，否則轉到第一步，尋找下一個具有發生權的變遷.

(4)根據不確定假言推理的蘊含模型進行計算，由式(5)得到該變遷的輸出命題的真值，如果該命題由多個變遷觸發，則根據最大不確定原則，選擇最接近0.5 的值為該命題的真值.

(5)回到第一步，尋找下一個具有發生權的變遷，繼續計算新的命題真值，直到沒有新的具有發生權的變遷，推理結束.

5 案例分析

以燃氣輪機故障診斷推理系統為例[15]闡述不確定Petri 網模型，進行基于UPN 的推理，最終得到燃氣輪機各個部位發生故障的信度，以便相關人員制定檢測維修策略，保障燃氣輪機正常工作.設X1表示機組功率過低，X2表示機組耗油量過高，X3表示渦輪前燃氣溫度過高，X4表示渦輪效率過低，X5表示壓氣機葉片斷裂，X6表示壓氣機氣流通道零件磨損，X7表示渦輪葉片磨損，X8表示壓氣機喘振.根據燃氣輪機經常出現故障的因果關系，可得以下不確定產生式規則為

并且已知命題X1的真值為1.0，命題X2的真值為0.20，命題X3的真值為0.30，命題X4的真值為0.80，由此根據基于UPN 的推理算法得出其他命題的真值.

(1)命題X1—X9用庫所(圓圈)表示，規則R1—R4用變遷(豎線)表示，命題之間的因果關系用庫所和變遷之間的弧表示，用庫所(圓圈)中的點表示命題X1—X4具有真值.則案例的不確定產生式規則可以由圖4 所示的不確定Petri 網表示.

圖4 不確定產生式規則的UPN表示Fig. 4 UPN representation of uncertain production rules

(2)根據基于UPN 的推理算法，推理過程如下：

f. 再繼續尋找下一個具有發生權的規則，命題X6由變遷 t1觸發，獲得托肯值，所以規則R4具有了發生權，根據觸發規則，得出變遷 t4的信度與其輸入命題真值的和大于1，所以規則R4可以被觸發，經計算得T ( X8) =0.90.由于命題X5不具有托肯，所以規則R3不具有發生權，推理結束.

據此得出出現壓氣機氣流通道零件磨損的故障信度為0.50，出現渦輪葉片磨損的故障信度為0.80，出現壓氣機喘振的故障信度為0.90.本案例用模糊Petri 網進行推理，得出的結論是出現壓氣機氣流通道零件磨損的故障可能性為0.16，出現渦輪葉片磨損的故障可能性為0.64，出現壓氣機喘振的故障可能性為0.144.其數據對比見表1.

表1 不確定推理與模糊推理的結果數據對比Tab. 1 Comparison of the result data of uncertain reasoning and fuzzy reasoning

實際上，根據專家經驗，如果燃氣輪機的機組功率很低且渦輪效率也很低，那么渦輪葉片會出現很大程度的磨損.如果機組功率特別低，而其耗油量不太高以及渦輪前燃氣溫度微高，則壓氣機氣流通道零件會出現一定程度的磨損.如果壓氣機氣流通道零件出現磨損，那么壓氣機會有很大可能出現喘振故障.與模糊推理得出的可能性數據相比，本文的不確定推理得出的信度更符合實際情況.

6 結 語

(1)基于不確定理論提出不確定產生式規則，該產生式規則的前提和結論都是不確定命題，規則本身也有信度.

(2)結合不確定理論與Petri 網，提出不確定Petri網模型，對傳統Petri 網中的元組進行擴充、對變遷引發規則進行重新定義，提出不確定Petri 網的定義，用于表示不確定產生式系統.

(3)提出不確定推理算法，把不確定產生式規則轉換成UPN 表示，通過UPN 的執行規則進行不確定推理，用于解決具有不確定性的知識表示與推理.

(4)將不確定推理算法應用到燃氣輪機故障診斷推理系統中，得出該算法可以并行、有效地執行推理過程，得到所求命題的真值，并且有效地彌補了使用模糊Petri 網解決此類問題中出現的不足.