函數(shù)方程思想運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)解題的思路方法

安徽省懷寧中學(xué) 萬(wàn) 琴

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的地位，不僅是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也與其他內(nèi)容和知識(shí)存在著緊密聯(lián)系。所以，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須要重視函數(shù)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中既要掌握函數(shù)性質(zhì)、圖像，同時(shí)也要學(xué)會(huì)和應(yīng)用函數(shù)思想，這樣學(xué)生才能在日后的學(xué)習(xí)中更好地將函數(shù)思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和求解上，這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量有著極其重要的作用。

一、函數(shù)方程思想的意義

所謂函數(shù)思想實(shí)際上就是對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行全面的認(rèn)識(shí)和了解，然后在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用函數(shù)概念。方程思想則是在本質(zhì)上認(rèn)識(shí)和掌握方程概念，然后利用方程解決一些實(shí)際問(wèn)題。在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，絕大多數(shù)的函數(shù)問(wèn)題都可以應(yīng)用方程來(lái)解決，同時(shí)，許多有關(guān)方程的問(wèn)題也可以應(yīng)用函數(shù)的思想來(lái)解決。由此可以看出函數(shù)與方程之間存在著緊密的聯(lián)系，教師在教學(xué)中必須意識(shí)到這點(diǎn)，讓學(xué)生掌握函數(shù)方程思想，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)內(nèi)容，積極引導(dǎo)學(xué)生可以利用兩者之間的關(guān)系解決問(wèn)題，這有助于學(xué)生思維的發(fā)散和能力的提升。

二、函數(shù)方程思想運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)解題的思路方法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的主要目的就是提高學(xué)生的思維品質(zhì)、解決問(wèn)題能力。而要想在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，就必須要在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，開(kāi)展針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)，并重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想，這樣不僅可以提高課堂教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也有重要的作用，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維。具體教學(xué)策略如下：

1.利用函數(shù)方程思想解決代數(shù)問(wèn)題

代數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中必須要掌握的內(nèi)容，并且這部分知識(shí)所涉及的計(jì)算量非常大。學(xué)生要想解決這些問(wèn)題不能僅依靠靈活地應(yīng)用數(shù)字、計(jì)算方式，同時(shí)還要掌握應(yīng)用多種知識(shí)解題的能力，這樣才能以最快的方式解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但是，現(xiàn)階段的絕大多數(shù)學(xué)生還是在使用傳統(tǒng)的計(jì)算方式進(jìn)行解題，這不僅會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間，同時(shí)在解題的過(guò)程中還極易出現(xiàn)各種計(jì)算錯(cuò)誤。因此，教師一定要意識(shí)到問(wèn)題的嚴(yán)重性，在平時(shí)的教學(xué)中必須要教會(huì)學(xué)生有意識(shí)地應(yīng)用函數(shù)方程思想進(jìn)行解題，以此來(lái)有效提高解題效率。

例題：已知不等式2x-1 ＞ m(x2-1)，該不等式對(duì)于|m|≤2 的所有實(shí)數(shù)m 恒成立，求x 的取值范圍。

這道例題是高中數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的代數(shù)題型。很多學(xué)生經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和鍛煉，會(huì)在潛移默化中慢慢養(yǎng)成屬于自己的固定解題思維，因此在解題過(guò)程中也就習(xí)慣了用按部就班的思維模式思考題目，不僅影響了解題思路，同時(shí)也會(huì)降低解題效率。由于高中階段的代數(shù)問(wèn)題本身就具有多變性，一旦其中的一個(gè)條件發(fā)生了變化，就會(huì)使整體的解題方式和過(guò)程都發(fā)生相應(yīng)的改變，所以以往固定的解題模式很難適應(yīng)這種變化，對(duì)此，教師便有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)靈活應(yīng)用函數(shù)方程思想來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題。針對(duì)本題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其看成是關(guān)于未知數(shù)m 的不等式求解，將原式變?yōu)椋▁2-1）m-（2x-1）＜ 0。通過(guò)分析可知該不等式在區(qū)間[-2，2]上恒成立，這時(shí)就可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（m）=（x2-1）m-（2x-1）。通過(guò)這種方式就可以順利地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，這不僅提高了解題效率，同時(shí)還可以大大降低學(xué)生的失誤幾率，促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)散。

2.利用函數(shù)方程思想解決三角問(wèn)題

學(xué)習(xí)三角問(wèn)題的最終目的就是使學(xué)生可以利用三角形中的多種代數(shù)關(guān)系來(lái)解決一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。在解決這類問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將三角形的邊角關(guān)系作為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換，最后用函數(shù)方程思想來(lái)解決這些問(wèn)題。這樣一來(lái)，便可以快速地確定解題思路，提高學(xué)生的解題效率。

3.利用函數(shù)方程思想解決幾何問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何問(wèn)題也是重要內(nèi)容。要想順利地解決高中幾何問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)貙⒋鷶?shù)知識(shí)與幾何知識(shí)結(jié)合起來(lái)，然后再應(yīng)用幾何問(wèn)題分析方法進(jìn)行討論。之后，教師還要注意引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)方程思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式，最后通過(guò)解方程的形式解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題。

例題：求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a ≠-2，動(dòng)圓（a+2）x2+(a+2)y2-4x-2a=0 恒過(guò)兩定點(diǎn)。

對(duì)于這道題目的解決，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)方程思想，把動(dòng)圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)a 的一次函數(shù)，由這個(gè)一次函數(shù)值恒為零，推出一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)均為零。具體推理過(guò)程如下：

綜上所述，高中數(shù)學(xué)不僅復(fù)雜，同時(shí)具有很大的難度，學(xué)生要想學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，不能僅靠努力和認(rèn)真，更要在學(xué)習(xí)中掌握正確的學(xué)習(xí)方法和解題技巧。所以高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)中，不僅要傳授相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還要讓學(xué)生掌握一定的函數(shù)方程思想，使其在解題時(shí)可以更加輕松地面對(duì)各類難題，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)成績(jī)得到全面的提升。