考慮尾流效應的新月形覆冰四分裂輸電線舞動穩定性

鄒 明，劉小會,2，蔡萌琦，伍 川，葉中飛，張 博

（1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶400074；2.重慶交通大學 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶400074；3.成都大學 建筑與土木工程學院，成都610106；4.國網河南省電力公司 電力科學研究院，鄭州450052）

在風載荷作用下覆冰輸電線會發生低頻大幅度的自激振動，覆冰是輸電線路大幅舞動的重要因素之一，也是難以解決的問題之一。舞動發生時輸電線會產生豎向的大幅振動，振幅有時會達到1 m～2 m，會導致金具的磨損和破壞、螺栓的松動和脫落、間隔棒的損壞、輸電線的斷裂，嚴重時甚至會出現輸電塔倒塌，引起供電系統停運，給人們的生活和經濟造成了巨大的損失[1]。

在輸電線舞動研究領域，國際上廣泛接受3 大舞動理論，第一個是美國學者Den Hartog 提出的單自由度垂直舞動理論[2]；第二個是加拿大學者Nigol等提出的扭轉舞動理論[3]；第三個是日本學者Yu 等提出的偏心慣性耦合舞動理論[4]。

在3 大舞動理論的基礎上，國內外的專家學者也做了大量的研究工作；例如，樓文娟等[5]基于特征值攝動法，在試驗中改變橫扭自振頻率，提出覆冰分裂導線橫扭穩定性判斷條件。謝增等[6]研究了分裂導線扭轉剛度的問題，提出了一種等效單導線舞動模型，用數值模擬的方法預測了輸電線的舞動。嚴波等[7-8]通過數值模擬的方法對四分裂輸電線馳振進行了數值仿真，基于靜態模擬法，對覆冰四分裂導線進行了風洞模擬試驗。張路飛等[9]利用有限元軟件ABAQUS建立了連續檔覆冰輸電線模型，考察了不同檔距和檔數對輸電線舞動的影響規律。以上4位學者主要通過數值模擬的方法對輸電線的舞動進行了研究。王少華在Den Hartog舞動判斷準則的基礎上更加準確地推導了臨界風速隨風攻角的變化規律[10]，在推導的過程中建立了2 自由度的模型，忽略了扭轉振動。芮曉明等[11]考慮脫冰效應，研究了阻尼對舞動特性的影響。樓文娟等[12]建立了三維非線性耦合效應連續體輸電線舞動動力學方程。

綜上所述，現在關于導線舞動機理大多考慮了水平、豎直、扭轉3個方向上舞動的耦合。目前，單導線舞動的研究較為成熟，對四分裂導線的舞動模型研究較少，但是在實際工程中，四分裂輸電線更容易發生舞動，且大多數對于四分裂導線的研究沒有考慮尾流效應對分裂導線的影響，這與實際工程不相符，且研究集中于數值模擬法，所得結論不具有普遍適用性。本文基于擬靜態理論，建立新月形覆冰四分裂導線舞動的3 自由度振動模型，在考慮尾流效應的條件下從理論上推導了系統穩定判別式；研究了線路結構參數對新月形覆冰四分裂導線穩定性的影響，使用MATLAB軟件基于穩定判別式計算出覆冰四分裂導線的臨界風速。所得結果對于覆冰四分裂輸電線防舞具有重要的參考價值。

1 建立力學模型

架空輸電線離地面有一定的高度，地面物體對風速的影響很小，所以本文的力學舞動模型是在穩定風作用條件下建立的。由于空氣尾流效應的影響，四分裂導線處于風速分布不均勻的風場中，每一根子導線受到的空氣動力不同，在計算四分裂導線整體所受到的風荷載時不能用一根子導線風荷載的4倍來等效。本文考慮單檔導線的舞動，假設風速沿線路方向是不發生改變的；輸電線覆冰的形狀和厚度沿線路方向是不變的。基于上述的假設，可以把覆冰四分裂導線舞動的復雜模型簡單化，通過模態截斷法就可以將連續體振動的偏微分方程轉換為一個橫斷面沿著3個方向振動的常微分方程。分析振動穩定性的3 自由度模型如圖1所示。假設穩定風從左往右流經覆冰導線，風速大小為U。導線在水平、豎直和扭轉方向的約束剛度分別是Kz、Ky和Kθ。圖中r是子導線中心與轉動中心之間的距離，H是覆冰厚度。

圖1 覆冰四分裂導線橫截面模型

其中：α0為初始風攻角；θ為動態的扭轉角，隨時間而改變。子導線橫截面中心在整體坐標系中的坐標為

式中：y、z是四分裂導線中心在整體坐標系中的坐標值，i為導線的分裂數，i取1、2、3、4。φi是分裂導線中心和子導線中心連線與間隔棒之間的夾角，φi取值為φ1=45°;φ2=135°;φ3=225°;φ4=315°。

子導線隨時間變化的位移可以表示為

式中：v、u表示四分裂導線豎直和水平方向上的位移。對子導線的位移求1階導，得子導線的速度為

式中上標點表示對時間求導，由于在風載荷作用下導線會產生相對運動，所以導線受到的阻力FD并不是沿水平方向，而升力FL也不是沿豎向；其方向會與水平或者豎直方向形成一個夾角。本文采用擬靜態假設計算覆冰四分裂導線受到的風載荷，子導線與風場之間的相對關系如圖2所示。

圖2 基于擬靜態假設的相對流場

FLi、FDi分別是子導線受到的升力和阻力；在風載荷作用下，分裂導線中心沿水平運動會產生速度，分裂導線中心的扭轉運動也會產生水平向的速度分量，所以子導線在z方向的相對風速為

分裂導線中心沿豎向運動時會產生速度˙，分裂導線中心的扭轉運動也會產生豎向的速度分量，所以子導線豎向的相對速度為˙+因此，實際的相對風速Uri為

式中α0i=α0+θ+φi，子導線相對風攻角αi可以由以下式計算：

式中：αri是導線運動速度變化引起的相對風攻角改變量。覆冰子導線受到的與實際風速平行的氣動阻力FDi、與實際風速垂直的升力FLi和扭轉力矩Mi可以通過以下公式得到：

式中：ρ是空氣密度，d是覆冰裸導線直徑，CLi、CDi和CMi分別是覆冰子導線的升力系數、阻力系數和扭矩系數，可以通過風洞試驗獲得。在穩定風作用下，處于風場上游的子導線會吸收風中的能量，在風場的下流區形成尾流區域；處于下游風場的子導線輸入風速會低于處于上游風場的子導線輸入風速，同時下流風場區域的湍流強度會增強；由于空氣尾流效應，使得分裂導線所處的風場風速分布不均，從而造成各子導線的空氣動力系數不同。本文在研究導線舞動穩定性時考慮了尾流效應的影響。在計算覆冰導線的動態響應時，需要將子導線的升力和阻力投影到z軸和y軸，可得：

這里：Cyi、Czi和Cθi分別是子導線豎直、水平和扭轉方向的空氣動力系數，可以表示為

由于空氣尾流效應的影響，四分裂導線整體風荷載由各子導線風荷載疊加等效得到。將4根子導線的升力、阻力和扭矩平移到四分裂導線的中心，根據平移定理可得：

這里：Cy、Cz分和Cθ別是四分裂導線豎直、水平和扭轉方向的整體空氣動力系數，可以表示為

豎直、水平和扭轉方向的整體空氣動力系數可以在初始風攻角α0處進行泰勒展開，其線性部分可以表示為

A=Kai為子導線載荷剛度矩陣，可以表示為

其中：

整理后可得空氣動力阻尼矩陣為

化簡后可得載荷剛度矩陣為

其中：

其中每一項表示的含義為

上式中覆冰四分裂導線單位長度的質量為m，轉動慣量為J，3個自由度方向的阻尼比為ζy、ζz和ζθ，3個自由度方向的圓頻率為ωy、ωz和ωθ。根據式(34)可以得到系統的阻尼矩陣為

其中：

當僅考慮豎向運動時，系統阻尼矩陣中對角元素第一項f11即為Den Hartog判斷舞動的準則。當考慮扭轉誘發舞動時，系統阻尼矩陣中對角元素第三項f33即為Nigol 判斷舞動的準則。本文中基于3 自由度運動進行穩定性分析，為了分析該系統的穩定性，令X=Xeλ t，則特征多項式可以根據式(34)得到：

其中多項式的各個系數如下

如果系統矩陣式(35)為正定矩陣，則這個動力系統穩定。根據Rourh-Hurwitz準則，這個動力系統穩定的條件是：

上式中各個參數可以表示為

2 風洞試驗與氣動特性分析

前一節完成了覆冰導線臨界風速計算公式的推導，計算臨界風速需要導線的空氣動力系數。為了獲取新月形覆冰四分裂輸電線的空氣動力系數，在中國空氣動力研究與發展中心低速所的1.4m×1.4m低速風洞中進行了模型測試，這個風洞外形如圖3(a)所示。測試模型如圖3(b)所示，四分裂導線模型由頂底板連接在一起置于風洞中，裸導線內部安裝了測力天平，裸導線外部粘貼了新月形木材來模擬覆冰。當風流經過該覆冰導線時，測力天平可以測量出新月形覆冰四分裂導線所受到的升力FL、阻力FD和扭矩M。初始風攻角為0°；每測量一次氣動載荷后，覆冰導線模型逆時針轉動5°，然后再測量一次氣動載荷，轉動范圍為0°～180°，四分裂導線的布置和風攻角的變化如圖3(c)所示。

本實驗設置3種覆冰厚度進行試驗，覆冰厚度分別為12 mm，20 mm，28 mm；本文選取覆冰厚度為20 mm時的情況來分析空氣尾流效應對各子導線氣動系數的影響，試驗風速為14 m/s。通過風洞試驗測得新月形覆冰四分裂導線空氣動力系數隨風攻角變化曲線如圖4所示。

各子導線的空氣動氣系數大致是相同的，但是由于尾流效應的影響，各子導線的空氣動力系數在局部會有不同。導線阻力系數隨風攻角變化的曲線大致呈半波狀，當風攻角α=0°時，此時導線的迎風面積最小，阻力系數也最小；子導線3處于子導線1的尾流區，其阻力系數小于子導線1。當風攻角α=45°時，子導線3、4處于子導線1、2的尾流區，其阻力系數降低。當風攻角α=90°時，導線的迎風面最大，阻力系數出現了峰值，子導線4處于子導線2的尾流區，其阻力系數明顯降低。同樣地，當風攻角α=135°和α=180°時，對應尾流區子導線的阻力系數均有所下降。

圖3 采用風洞測試空氣動力系數

導線升力系數隨風攻角變化的曲線大致呈正弦函數波狀，子導線2 在模型轉動過程中始終處于風場的上游，幾乎不受尾流效應的影響，其空氣動力系數變化曲線比較平緩，沒有突變；當風攻角α=0°、α=90°和α=180°時，各子導線升力系數幾乎都為0。

導線扭矩系數隨風攻角變化的曲線大致呈正弦函數波狀，當風攻角α=0°、α=150°和α=180°時，各子導線扭矩系數幾乎都為0，且α=150°時，扭矩系數和升力系數相同。

3 臨界風速計算

采用MTALAB編寫判斷和循環語句程序，將第2 節風洞試驗所得的氣動系數和文獻[13]的導線頻率代入式(19)和式(21)，計算各種工況下不同舞動判斷準則的臨界風速。關于覆冰四分裂導線的扭轉頻率還沒有得到大家公認的研究結果，為了使結果具有合理代表性，本文選取3個扭轉頻率值分別進行計算，即0.2 Hz、0.4 Hz 和0.6 Hz?，F對計算的結果進行分析。

根據計算結果，選取覆冰厚度為20 mm、扭轉頻率為0.4 Hz、風攻角為165°時3種不同舞動理論的臨界風速來對比驗證本論文所提出的3自由度舞動判別準則。所得結果如圖5所示。正方形曲線代表基于Den.Hartog理論所確定臨界風速，圓形曲線代表基于Nigol理論所確定臨界風速，三角形曲線代表基于本文3-DOF理論所確定臨界風速。從圖中可以看出基于Den.Hartog理論的臨界風速隨頻率比值變化不大，其值在6 m/s～7 m/s之間?；贜igol理論的臨界風速不隨頻率比值變化，其值為8.2 m/s，Nigol理論只與扭轉頻率有關，所以其臨界風速不會隨面內和面外頻率比值變化，是一個定值。

基于本文3-DOF理論的臨界風速隨頻率比值的增大而減小，其值在7.5 m/s～14.7 m/s之間，由于本文3-DOF理論與3個方向的頻率有關，考慮了3-DOF 之間能量的傳遞，其臨界風速隨頻率比值變化明顯。當頻率比小于2時，根據本文3-DOF理論所確定臨界風速大于根據Den.Hartog理論和Nigol理論確定臨界風速；當頻率比大于2時，根據本文3-DOF理論所確定臨界風速與根據Den.Hartog理論和Nigol理論所確定臨界風速接近。

根據計算結果，選取覆冰厚度為20 mm，風攻角為105°，在不同扭轉頻率下，采用本文3-DOF理論確定臨界風速，所得結果如圖6所示。

從圖6中可以得出，扭轉頻率對臨界風速影響較大；扭轉頻率為0.2 Hz和扭轉頻率為0.4 Hz時，臨界風速最大相差3.5 m/s。根據3條曲線進行分析，隨著扭轉頻率的減小，其臨界風速減小；扭轉頻率減小其扭轉剛度也會減小，導線馳振越容易發生。扭轉頻率為0.4 Hz和0.6 Hz時對應的臨界風速隨著頻率比的增大而減小。扭轉頻率為0.2 Hz時對應的臨界風速隨著頻率比的增大先增大后減小。

根據計算結果可知，選取扭轉頻率為0.4 Hz、風攻角為90°，在不同的覆冰厚度下，采用本文3-DOF理論確定臨界風速，所得結果如圖7所示。

圖4 覆冰四分裂導線空氣動力系數

圖5 基于不同理論的臨界風速對比

圖6 不同扭轉頻率下的臨界風速對比

圖7 不同覆冰厚度臨界風速

從圖7中可以看出，覆冰厚度對四分裂導線的臨界風速影響較大。當覆冰厚度為12 mm和20 mm時，最大的臨界風速差達到了7 m/s。隨著覆冰厚度的增大，其臨界風速減?。挥捎诟脖穸鹊脑黾?，導線迎風面增大，3個方向上的空氣動力系數均有所增大，使得導線更容易發生舞動。面內外頻率比接近1和3時，線路最易發生舞動。

4 結語

本文通過基本建立3自由度新月形覆冰四分裂導線的力學模型，將空氣動力系數在初始風攻角處進行泰勒展開，得到氣動荷載修正表達式。研究了覆冰四分裂導線在靜力風作用下的舞動，忽略慣性耦合項以及載荷剛度項，得到3 自由度覆冰導線的振動方程。根據Rourh-Hurwitz穩定準則，推導了動力系統平衡穩定條件。在風洞試驗中設置不同的覆冰厚度，通過風洞試驗測得新月形覆冰四分裂導線在3個方向上的氣動系數。運用本文的3 自由度穩定判別式計算出了不同的扭轉頻率和覆冰厚度所對應的臨界風速。考察了不同情況下臨界風速隨面內外頻率比變化特征。得到了以下結論：

（1）本文中所建的新月形覆冰四分裂導線的力學模型考慮了同一時刻子導線之間風攻角的差異，更加真實地反映了每一根子導線對應的位移和風荷載。采用本文方法得到的3自由度舞動判斷準則更加詳細地考慮了豎向運動、橫向運動以及扭轉運動對臨界風速的影響，更加符合實際工程情況。計算結果顯示，基于Den Hartog理論，可能發生舞動的風攻角為15°、165°、170°；基于Nigol理論可能發生舞動的風攻角為10°、165°、170°；基于本文3-DOF穩定理論可能發生舞動的風攻角為10°、55°、60°、70°、80°、95°、165°、170°；采用文中提出的理論確定的可能發生舞動的初始攻角范圍比Den Hartog理論和Nigol理論確定可能發生舞動的初始攻角的范圍更廣。因此，采用本文所提出的3-DOF 穩定理論對線路防舞進行指導更合理。

（2）扭轉頻率對覆冰輸電線舞動的臨界風速有顯著影響，隨著扭轉頻率的減小，其臨界風速減?。慌まD頻率減小意味著其扭轉剛度也會減小，導線越容易發生舞動。因此在線路設計中應該選取能導致較高扭轉頻率的線路參數來進行防舞設計。

（3）覆冰厚度對輸電線舞動的臨界風速有顯著影響，隨著覆冰厚度的增大，其臨界風速減小。在線路防舞設計時要特別注意覆冰厚度的影響。