水平相關(guān)模型的性質(zhì)及其在GRAPES三維變分系統(tǒng)中的應(yīng)用

莊照榮 李興良 陳春剛

1 國(guó)家氣象中心，北京 100081

2 中國(guó)氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心，北京 100081

3 西安交通大學(xué)，西安710049

1 引言

經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，變分同化技術(shù)趨于成熟，其中在變分分析中背景誤差協(xié)方差描述得更精細(xì)，更接近模式的實(shí)際誤差狀態(tài)。背景誤差協(xié)方差中單一變量的空間相關(guān)關(guān)系和不同變量間的相關(guān)關(guān)系直接決定觀測(cè)信息傳播的程度和變量之間的協(xié)調(diào)性，對(duì)分析質(zhì)量非常重要。在區(qū)域模式變分同化方法中背景誤差協(xié)方差的水平相關(guān)假定各向同性，用相關(guān)模型來(lái)代替，背景誤差協(xié)方差矩陣的水平變換部分通過(guò)遞歸濾波來(lái)實(shí)現(xiàn)，遞歸濾波精度由濾波近似程度決定。

在變分同化方法中通常都采用一階濾波迭代多次使遞歸濾波器逐漸趨近于準(zhǔn)高斯濾波器（Vandenberghe and Kuo, 1999; 張華等, 2004; 薛紀(jì)善和陳德輝, 2008）。Purser et al.（2003a）比較了變分分析中高斯相關(guān)模型及其拉普拉斯算子在遞歸濾波方案中采用一階到六階近似濾波效果的差別，指出變分同化方法中可采用一階近似濾波4 次描述背景誤差水平相關(guān)，但分析增量不滿足觀測(cè)向水平各個(gè)方向的傳播都一樣（等方），效果明顯不如四階近似濾波1 次，同時(shí)指出對(duì)于高斯的拉普拉斯算子至少四階濾波可以獲得類似等方的結(jié)構(gòu)。為了提高遞歸濾波的精度，何光鑫等（2011）、王玉柱等（2014）都在三維變分中采用了高階遞歸濾波，研究發(fā)現(xiàn)采用四階近似遞歸濾波運(yùn)行1 次的效果明顯好于一階濾波運(yùn)行四次的結(jié)果。

另一方面，背景誤差水平相關(guān)模型通常采用高斯或者二階自回歸模型來(lái)描述，通過(guò)遞歸濾波來(lái)實(shí)現(xiàn)相關(guān)矩陣和向量的乘積（Vandenberghe and Kuo,1999; 薛紀(jì)善和陳德輝, 2008）。相關(guān)研究指出高斯相關(guān)模型在小尺度上的功率譜不足（Vandenberghe and Kuo, 1999），對(duì) 小 尺 度 作 用 不 大。Purser et al.（2003b）構(gòu)造出不同尺度疊加的高斯模型來(lái)代表背景誤差水平相關(guān)模型，這種模型比單一高斯模型能構(gòu)建更有益、多樣化的協(xié)方差形狀，而且這種模型也更有利于控制相關(guān)模型拉普拉斯算子的旁瓣峰值。何光鑫等（2011）也采用尺度疊加高斯相關(guān)模型通過(guò)四階遞歸濾波能在保持大尺度信息的基礎(chǔ)上，獲得一些中小尺度的信息。吳洋等（2018）也采用多特征尺度的遞歸濾波器在分析和預(yù)報(bào)中獲得了更多的α 中尺度信息。

在變分同化系統(tǒng)中，通常采用高斯及其疊加模型，或二階自回歸模型描述水平相關(guān)關(guān)系，但對(duì)不同相關(guān)模型的具體性質(zhì)分析較少。本文分別從時(shí)空域和頻譜空間來(lái)揭示各類相關(guān)模型的特征，同時(shí)研究三種不同的相關(guān)模型在我國(guó)自主研發(fā)的全球和區(qū)域同化預(yù)報(bào)系統(tǒng)三維變分分析（GRAPES-3DVar）（張華等, 2004; 莊世宇等, 2005; 薛紀(jì)善和陳德輝,2008）中的應(yīng)用情況，從本質(zhì)上說(shuō)明不同相關(guān)模型對(duì)分析增量結(jié)構(gòu)及對(duì)頻譜空間不同尺度上信息的影響。

2 水平相關(guān)模型性質(zhì)

本節(jié)分別從時(shí)空域和頻譜域空間分析高斯相關(guān)模型（Gauss）、二階自回歸相關(guān)模型（Soar）及尺度疊加高斯模型（Supergauss）的空間和頻譜分布特征。

2.1 高斯與二階自回歸相關(guān)模型

2.1.1 時(shí)空域空間

若高斯G (r)和 二階自回歸相關(guān)模型S (r)分別為

其中，r 為一維空間兩點(diǎn)間的距離，L 為固定水平相關(guān)尺度，高斯和二階自回歸相關(guān)模型就是隨距離變化的模型（圖1a）。這里L(fēng) 都取500 km，從圖1a中可以看出隨著距離的增加，兩點(diǎn)之間的相關(guān)隨指數(shù)關(guān)系下降，采用同樣的水平相關(guān)尺度時(shí)，二階自回歸相關(guān)模型下降幅度更緩慢，觀測(cè)信息會(huì)傳播更遠(yuǎn)。在GRAPES-3DVar 分析中分析變量的背景誤差水平相關(guān)采用公式（1）或（2）來(lái)描述，而風(fēng)場(chǎng)（u, v）的水平相關(guān)關(guān)系和水平相關(guān)模型的拉普拉斯算子有關(guān)，相關(guān)內(nèi)容見(jiàn)第3 節(jié)，公式（1）和（2）的拉普拉斯算子為

按照Daley（1991）一維的水平相關(guān)尺度 L在兩種模型中可分別定義為

在變分分析中水平相關(guān)尺度一般采用觀測(cè)余差方法（Hollingsworth and L?nnberg, 1986; L?nnberg and Hollingsworth, 1986; Franke, 1999; Xu et al.,2001; 莊照榮等, 2006b）或NMC 方法（Parrish and Derber, 1992; Dee and Gaspari, 1996; Ingleby, 2001;王金成等, 2014; 王亞華等, 2017; 莊照榮等, 2019）統(tǒng)計(jì)獲得。

2.1.2 頻譜域空間

從時(shí)空域空間來(lái)看，水平相關(guān)模型的形狀影響觀測(cè)信息傳播的遠(yuǎn)近和大小；而從頻譜域空間看，可知不同相關(guān)模型在各個(gè)尺度上的影響。對(duì)公式（1）和（2）進(jìn)行傅立葉變換，高斯和二階自回歸模型的譜響應(yīng)函數(shù)（象函數(shù)）為

圖1 （a）高斯（Gauss）和二階自回歸（Soar）相關(guān)模型及其（b）歸一化的負(fù)拉普拉斯算子。r 為兩點(diǎn)間的距離，L 為固定水平相關(guān)尺度Fig.1 (a) Gaussian and second-order autoregressive correlation models and (b) their normalized negative Laplacian. r represents distance of two point, L indicates horizontal correlation length

從圖2b 以看出，二者拉普拉斯的譜響應(yīng)函數(shù)在低頻時(shí)（ kL <0.2）都略小，在0.2< kL<3 之間時(shí)較大；而在 kL>3 部分，高斯模型的拉普拉斯譜響應(yīng)函數(shù)下降較快，二階自回歸的下降平緩，二階自回歸的拉普拉斯譜響應(yīng)函數(shù)在較小尺度的功率譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于高斯模型的。

2.1.3 泰勒展開(kāi)

當(dāng)水平相關(guān)模型用遞歸濾波來(lái)描述時(shí)，利用了泰勒展開(kāi)近似來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。高斯和二階自回歸模型的泰勒展開(kāi)分別為

比較（10）和（11）式可以看出，在泰勒展開(kāi)的一階近似中，高斯模型和二階自回歸模型等價(jià)。

2.2 尺度疊加的高斯模型

二階自回歸模型作為背景誤差水平相關(guān)模型，在時(shí)空域空間其拉普拉斯的分布和頻譜空間中小尺度上功率譜的表現(xiàn)上都優(yōu)于高斯模型，但是在遞歸濾波的實(shí)施上，由于遞歸濾波精度不夠，造成風(fēng)場(chǎng)分析增量為非各向同性（見(jiàn)4.2 節(jié)）。考慮多元正態(tài)分布滿足可加性，因而不同尺度高斯模型線性組合也滿足正態(tài)分布，可利用高斯模型的可加性進(jìn)行遞歸運(yùn)算。通過(guò)多尺度高斯模型的疊加來(lái)描述背景誤差水平相關(guān)，緩解采用單一高斯模型作為水平相關(guān)模型存在的問(wèn)題。

圖2 （a）高斯和二階自回歸相關(guān)模型的譜響應(yīng)函數(shù)及其（b）拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)Fig.2 (a) Spectral response functions of Gaussian and second-order autoregressive correlation models and (b) their Laplacian spectral response functions

2.2.1 時(shí)空域空間則尺度疊加高斯模型的拉普拉斯也是高斯模型拉普拉斯尺度疊加后的平均，同樣利用傅立葉變換線性性質(zhì)，它們的譜響應(yīng)模型也對(duì)應(yīng)各種尺度高斯模型及其拉普拉斯譜響應(yīng)模型的平均。圖3 為采用350 km、500 km、850 km 的水平相關(guān)尺度的高斯相關(guān)模型及其歸一化的拉普拉斯算子，可以看出隨著水平相關(guān)尺度從850 km 降低到350 km，高斯及其拉普拉斯模型相關(guān)模型形狀更窄，說(shuō)明觀測(cè)信息傳播的更近。當(dāng)采用以上三種尺度進(jìn)行尺度疊加后，尺度疊加的高斯模型在近距離可以保持尺度為500 km 的高斯模型/高斯拉普拉斯算子的形狀，而在遠(yuǎn)距離下降趨勢(shì)都減緩（Supergauss 表示尺度疊加的高斯模型）。由于不同水平相關(guān)尺度的高斯模型拉普拉斯的旁瓣峰值位置不同，因而尺度疊加后的旁瓣峰值也明顯變小，三種尺度疊加的高斯模型的歸一化負(fù)拉普拉斯旁瓣峰值降低到?0.24，而且負(fù)拉普拉斯的旁瓣峰值可以采用不同的高斯模型組合進(jìn)行調(diào)節(jié)。本文將利用尺度疊加的高斯模型減小旁瓣峰值對(duì)風(fēng)場(chǎng)分析增量的影響，減小在觀測(cè)稀疏區(qū)域?qū)罄m(xù)模式積分不利的虛假增量。

2.2.2 頻譜域空間

對(duì)尺度疊加的高斯模型（12）式進(jìn)行傅立葉變換，由傅立葉變換的線性性質(zhì)，其譜響應(yīng)函數(shù)為

從尺度疊加高斯模型的譜響應(yīng)函數(shù)可以看出（圖4a），當(dāng)水平相關(guān)尺度從850 km 降低到350 km，雖然時(shí)空域空間觀測(cè)信息傳播的更近，但是在高頻部分的功率譜急劇增加，說(shuō)明水平相關(guān)尺度降低后，高頻部分的能量更強(qiáng)。尺度疊加的高斯模型譜響應(yīng)函數(shù)在低頻部分能和相關(guān)尺度為500 km 的高斯模型功率譜相當(dāng)，同時(shí)在高頻部分的功率譜比單一500 km 高斯模型的功率譜增加很多。對(duì)于尺度疊加高斯模型的拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)也是同樣的結(jié)論（圖4b）。

3 水平相關(guān)模型在變分中的應(yīng)用

3.1 GRAPES 三維變分分析

GRAPES 區(qū)域三維變分分析（GRAPES-3DVar）是求控制變量的目標(biāo)函數(shù)（J）達(dá)到極小時(shí)的分析場(chǎng)（薛紀(jì)善和陳德輝, 2008; 薛紀(jì)善等, 2012）：

圖3 （a）不同尺度的高斯相關(guān)模型和尺度疊加的高斯模型及其（b）歸一化的負(fù)拉普拉斯算子。G350、G500 和G850 分別表示相關(guān)尺度為350 km、500 km 和850 km 的高斯相關(guān)模型；Supergauss 表示以上三種尺度疊加的高斯模型Fig.3 (a) Gaussian correlation models of different scales, Supergauss correlation model and (b) their normalized negative Laplacians. G350, G500, and G850 indicate Gaussian correlation models with horizontal correlation length of 350 km, 500 km and 850 km, respectively; Supergauss represents superposition of Gaussian components with the three horizontal correlation lengths

圖4 （a）不同尺度的高斯相關(guān)模型和尺度疊加高斯模型的譜響應(yīng)函數(shù)及其（b）拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)Fig.4 (a) Spectral response functions of Gaussian correlation models with different scales, Supergauss correlation model and (b) their Laplacian s pectral response functions

其中，V 為正交垂直模，S 為垂直模的方差向量，R 為背景誤差水平相關(guān)矩陣。背景誤差水平相關(guān)矩陣與某個(gè)向量的乘積可用遞歸濾波來(lái)逼近（薛紀(jì)善和陳德輝, 2008; 何光鑫等, 2011）：

RF為一次向前一次向后的遞歸濾波，R 可以通過(guò)N次向前/向后的遞歸濾波來(lái)逼近。在GRAPES-3DVar 系統(tǒng)中，背景誤差協(xié)方差采用NMC 方法統(tǒng)計(jì)，水平相關(guān)關(guān)系采用高斯模型來(lái)描述，背景誤差協(xié)方差水平變化部分采用一階遞歸濾波算法，根據(jù)高斯模型的譜響應(yīng)與一階遞歸濾波的振幅響應(yīng)因子的關(guān)系來(lái)確定濾波系數(shù)，濾波迭代次數(shù)為10。

3.2 遞歸濾波方案

可知：

研究表明四階遞歸濾波運(yùn)行1 次的濾波效果明顯好于一階濾波運(yùn)行4 次的結(jié)果（Purser et al.,2003a; 何光鑫等, 2011; 王玉柱等, 2014），但考慮到高階遞歸濾波的計(jì)算量和內(nèi)存需求，目前GRAPES 區(qū)域3DVar 系統(tǒng)中采用一階濾波運(yùn)行10次來(lái)逼近水平相關(guān)矩陣的運(yùn)算。

由于二階自回歸模型不具有高斯模型可分解的性質(zhì)，因而一階濾波中只向前向后運(yùn)行一次，即濾波次數(shù)N 為2。

對(duì)于尺度疊加的高斯相關(guān)模型，利用傅立葉變換線性的性質(zhì)，可采用多次不同尺度的遞歸濾波運(yùn)算疊加來(lái)實(shí)現(xiàn)。

在二維空間，二維各向同性的高斯濾波器相當(dāng)于兩個(gè)獨(dú)立方向高斯濾波器的乘積（Purser et al.,2003a; 何光鑫等（2011）），即：

3.3 動(dòng)力場(chǎng)變量之間的水平相關(guān)

在大氣中不同變量之間的相互關(guān)系也隱含在背景誤差協(xié)方差之間，研究最多的為風(fēng)壓場(chǎng)之間的關(guān)系，例如，動(dòng)力場(chǎng)和質(zhì)量場(chǎng)的平衡關(guān)系可以用平衡方程來(lái)描述（莊照榮等, 2006a; 王瑞春等, 2015a），也可以用動(dòng)力與統(tǒng)計(jì)相混合的平衡約束方案來(lái)反映（王瑞春等, 2015b）。對(duì)于分析變量的流函數(shù)、非平衡勢(shì)函數(shù)與模式變量風(fēng)場(chǎng)（u, v）的誤差協(xié)方差之間關(guān)系關(guān)注較少，這一節(jié)主要研究這兩種動(dòng)力場(chǎng)變量之間的背景誤差水平相關(guān)關(guān)系。

由（37）式可知，一維西風(fēng)的背景誤差協(xié)方差由分析變量采用的相關(guān)模型拉普拉斯算子的形狀決定。由于GRAPES-3DVar 采用了流函數(shù)和非平衡的勢(shì)函數(shù)作為分析變量，風(fēng)場(chǎng)（u, v）觀測(cè)的傳播方式符合分析變量相關(guān)模型的拉普拉斯算子的分布（圖1b）。因而用相關(guān)模型描述分析變量背景誤差的水平相關(guān)系數(shù)時(shí)，不僅要求相關(guān)模型本身能匹配實(shí)際分析變量的水平相關(guān)，相關(guān)模型的拉普拉斯算子也應(yīng)該有合理的結(jié)構(gòu)來(lái)描述風(fēng)場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系。

4 數(shù)值分析試驗(yàn)

4.1 試驗(yàn)設(shè)置

本文分別把高斯、二階自回歸，以及尺度疊加的高斯模型作為GRAPES-3DVar 背景誤差水平相關(guān)模型進(jìn)行了單點(diǎn)觀測(cè)試驗(yàn)。試驗(yàn)采用的GRAPES-3DVar 為全球和區(qū)域一體化的分析系統(tǒng)，試驗(yàn)水平分辨率為10 km（除濕度外，采用高斯和二階自回歸相關(guān)模型時(shí)，水平相關(guān)尺度都設(shè)為500 km），分析變量為流函數(shù)、非平衡勢(shì)函數(shù)、非平衡無(wú)量綱氣壓和濕度。當(dāng)采用尺度疊加的高斯模型時(shí)，相關(guān)尺度為850 km、500 km、350 km；對(duì)于濕度變量，當(dāng)采用高斯和二階自回歸相關(guān)模型時(shí)，水平相關(guān)尺度都設(shè)為200 km，當(dāng)采用尺度疊加的高斯模型時(shí)，相關(guān)尺度為350 km、200 km、150 km。三組試驗(yàn)都采用一階遞歸濾波，其中高斯及尺度疊加的高斯相關(guān)模型的遞歸濾波次數(shù)為10，二階自回歸相關(guān)模型的遞歸濾波次數(shù)為2。三組試驗(yàn)中其他設(shè)置都完全一致。依據(jù)3DVar 分析中的背景誤差相關(guān)關(guān)系（公式32、34、35），觀測(cè)風(fēng)場(chǎng)的信息可影響到無(wú)量綱氣壓場(chǎng)和風(fēng)場(chǎng)的其他格點(diǎn)，氣壓觀測(cè)信息影響風(fēng)場(chǎng)和質(zhì)量場(chǎng)的其他格點(diǎn)，濕度變量為單變量分析，依據(jù)公式（31），濕度觀測(cè)只影響濕度分析。

4.2 分析增量

第一組為單點(diǎn)u 風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)分析試驗(yàn)，以u(píng) 新息增量（觀測(cè)減去背景場(chǎng)）為主， v新息增量為0，分析后無(wú)量綱氣壓、 u、 v 風(fēng)場(chǎng)的分析增量如圖5 所示，比較第一列和第二列可以看出對(duì)于同樣的水平相關(guān)尺度，二階自回歸相關(guān)模型把觀測(cè)信息傳播得更遠(yuǎn)。同時(shí)也可以看出采用Gauss 相關(guān)模型時(shí)， u分析增量在距觀測(cè)點(diǎn)南北方向5 度以外都有較大負(fù)增量（圖5a2），而Soar 試驗(yàn)基本沒(méi)有顯示出負(fù)分析增量（圖5b2），尺度疊加高斯模型的負(fù)分析增量比采用單一高斯相關(guān)模型要小（圖5c2）。從圖5b2中也可以看出，由于Soar 相關(guān)模型只采用了一階濾波，分析增量各向異性，分析增量結(jié)構(gòu)相似于Gauss 拉普拉斯函數(shù)采用2 階濾波運(yùn)行一次的結(jié)果（Purser et al., 2003a；圖3a）。從圖6a 的歸一化u分析增量（110°E 切線方向）可以明顯看出不同相關(guān)模型對(duì)風(fēng)場(chǎng)的影響，與圖1b、圖3b 相關(guān)模型的二階導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)類似，Gauss 模型的風(fēng)場(chǎng)負(fù)增量最大，Soar 模型的風(fēng)場(chǎng)負(fù)增量最小，采用3 種水平相關(guān)尺度高斯模型疊加的分析風(fēng)場(chǎng)負(fù)增量比單一尺度高斯模型的有所減小。

第二組為單點(diǎn)相對(duì)濕度觀測(cè)分析試驗(yàn)，由于比濕與其他變量不相關(guān)，因而單點(diǎn)濕度觀測(cè)的分析增量直接顯示出相關(guān)模型本身的空間結(jié)構(gòu)（圖5 第四行），從歸一化濕度分析增量（110°E 切線方向）可以看出濕度分析增量結(jié)構(gòu)由圖1a 和圖3a 的相關(guān)模型的結(jié)構(gòu)決定（圖6b）。

第三組單點(diǎn)v 風(fēng)觀測(cè)分析試驗(yàn)，v 新息增量為主，u新 息增量為0，分析后無(wú)量綱氣壓、 u、 v風(fēng)場(chǎng)的分析增量如圖7 所示。比較第一列和第二列也可以看出對(duì)于同樣的水平相關(guān)尺度，二階自回歸相關(guān)模型把觀測(cè)信息傳播得更遠(yuǎn)。同時(shí)也可以看出采用Gauss 相關(guān)模型時(shí)， v分析增量在距觀測(cè)點(diǎn)東西方向5 度以外都有較大負(fù)增量（圖7a3），而Soar 試驗(yàn)基本沒(méi)有顯示出負(fù)分析增量（圖7b3），尺度疊加高斯模型的負(fù)分析增量比采用單一高斯相關(guān)模型要小（圖7c3）。從圖7b3 中也可以看出，由于Soar 相關(guān)模型只采用了一階濾波， v分析增量各向異性，其分析增量結(jié)構(gòu)相似于第一組試驗(yàn)中Soar的u 分析增量的結(jié)構(gòu)。

圖5 單點(diǎn)u 風(fēng)場(chǎng)和濕度觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量：Gauss（左）；Soar（中）；Supergauss（右）。第1～4 行分別為無(wú)量綱氣壓（×10?6）、u 風(fēng)場(chǎng)（單位：m s?1）、v 風(fēng)場(chǎng)（單位：m s?1）、比濕（單位：10?4 kg kg?1）Fig.5 Analysis increments for single u-component wind and humidity observation: Gauss (left); Soar (middle); Supergauss (right). The row 1–4 indicate nondimensional pressure (×10?6), u-component (units: m s?1), v–component (units: m s?1), specific humidity (units: 10?4 kg kg?1), respectively

圖6 110°E 處（a）u 風(fēng)場(chǎng)和（b）比濕歸一化的分析增量Fig.6 Normalized analysis increment for (a) u-component and (b) specific humidity at 110°E

第四組試驗(yàn)為單點(diǎn)氣壓觀測(cè)分析試驗(yàn)，分析后無(wú)量綱氣壓、 u、 v風(fēng)場(chǎng)的分析增量如圖8 所示。從圖8 可以看出，三種相關(guān)模型方案的分析增量結(jié)構(gòu)相似，只是二階自回歸相關(guān)模型把觀測(cè)信息傳播得更遠(yuǎn)。單點(diǎn)氣壓觀測(cè)分析中，無(wú)量綱氣壓分析增量的結(jié)構(gòu)由相關(guān)模型的結(jié)構(gòu)決定，而風(fēng)場(chǎng)分析增量的結(jié)構(gòu)受質(zhì)量場(chǎng)和風(fēng)場(chǎng)的相關(guān)關(guān)系影響。

圖7 同圖5，但為單點(diǎn)v 風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量Fig.7 As in Fig.5, but for analysis increments for single v-component wind observation

圖8 同圖5，但為單點(diǎn)氣壓觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量Fig.8 As in Fig.5, but for analysis increments for single pressure observation

由上可知，在u/ v單點(diǎn)觀測(cè)分析試驗(yàn)中，三種相關(guān)模型的u/ v分析增量差別最大，結(jié)合上兩節(jié)分析，Gauss 模型下的u/ v分析增量中距觀測(cè)遠(yuǎn)處的負(fù)增量偏大較多，這種負(fù)增量結(jié)構(gòu)和相關(guān)模型的拉普拉斯算子有關(guān)，對(duì)于Gauss 模型不能調(diào)節(jié)負(fù)增量的大小；Soar 模型下的u/ v分析增量結(jié)構(gòu)明顯各向異性，會(huì)造成分析增量的不連續(xù)；Supergauss 模型下的u/ v分析增量中距觀測(cè)遠(yuǎn)處的負(fù)增量比Gauss 試驗(yàn)的小，而且采用不同相關(guān)尺度組合的尺度疊加高斯相關(guān)模型可以調(diào)節(jié)負(fù)增量的大小，因而在這3 種相關(guān)模型中，從分析增量結(jié)構(gòu)來(lái)看，Supergauss 相關(guān)模型在GRAPES-3DVar 中應(yīng)用最有優(yōu)勢(shì)。

4.3 分析增量的功率譜

從上節(jié)可以看出，當(dāng)同化單點(diǎn)濕度或氣壓觀測(cè)時(shí)，在時(shí)空域濕度或無(wú)量綱氣壓的分析增量分布與相關(guān)模型結(jié)構(gòu)相一致；當(dāng)同化單點(diǎn)u/ v風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)，u/ v分析增量分布也明顯和相關(guān)模型的拉普拉斯算子結(jié)構(gòu)相關(guān)，此節(jié)從頻譜域空間研究分析增量的功率譜分布。文中對(duì)單點(diǎn)觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量采用二維離散余弦轉(zhuǎn)換（2D-DCT: Discrete Cosine Transform）方法進(jìn)行譜分解（Denis et al., 2002; 鄭永駿等, 2008; 莊照榮等, 2018），獲得分析增量的功率譜，研究不同相關(guān)模型方案的分析增量功率譜的分布特點(diǎn)。

若定義天氣尺度波為2000 km 以上，次天氣尺度波為669～2000 km（龔建東, 2007），中尺度波在669 km 至幾十公里，則從圖9 的u 單點(diǎn)觀測(cè)和濕度單點(diǎn)觀測(cè)試驗(yàn)的分析增量功率譜可以看出，3種相關(guān)模型的分析增量功率譜大值都集中在波長(zhǎng)1000 km 以上的天氣尺度和次天氣尺度波動(dòng)上。Gauss 相關(guān)模型的四個(gè)分析增量取對(duì)數(shù)后的功率譜基本從1～6 波（波長(zhǎng)從1710～8459 km）都逐步增大，然后在7～21 波（波長(zhǎng)從513～1476 km）對(duì)數(shù)功率譜又隨著波數(shù)的增加呈現(xiàn)快速下降的趨勢(shì)，隨后在22 波以上（波長(zhǎng)<490 km）隨著波數(shù)增加，對(duì)數(shù)功率譜緩慢下降。比較不同模型的分析增量功率譜，對(duì)于無(wú)量綱氣壓，可以看出在965 km 以上的天氣尺度和次天氣尺度部分，Soar 分析增量功率譜略小于Gauss 的，Supergauss 分析增量功率譜介于二者之間；在965 km 以下的尺度部分，Gauss的分析增量功率譜快速下降，并逐漸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Soar 的分析增量功率譜，Supergauss 的分析增量功率譜則介于Gauss 和Soar 之間，在965 km 以下的次天氣尺度和中尺度Supergauss 的分析增量功率譜比單一Guass 模型的有所增加（圖9a）。對(duì)于比濕，在416 km 以上，Gauss 模型的分析增量功率譜較大，Soar 模型的分析增量功率譜略小，Supergauss模型的功率譜也介于Gauss 和Soar 模型的之間。在416 km 以下的中尺度部分，Soar 模型的功率譜也大于Gauss 的，Supergauss 的功率譜比Gauss 模型的略微增加（圖9b）。對(duì)于風(fēng)場(chǎng)，不同相關(guān)模型的影響最大，從圖9c、d 可以看出，在669 km以下的中尺度部分，Gauss 模型的分析增量功率譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Soar 的，說(shuō)明采用Gauss 模型描述背景誤差水平相關(guān)使中尺度分析信息不足；而采用3 種相關(guān)尺度組合的Supergauss 模型會(huì)緩解這種現(xiàn)象，分析增量的中尺度功率譜略有增加（圖9c、d），同時(shí)也可以看出，Soar 試驗(yàn)的u 分析增量功率譜在所有波段上都明顯大于v 分析增量功率譜。

圖9 單點(diǎn)u 風(fēng)場(chǎng)和濕度觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量功率譜（單位：m3 s?2）：（a）無(wú)量綱氣壓；（b）比濕；（c）u 風(fēng)場(chǎng)；（d）v 風(fēng)場(chǎng)Fig.9 Power spectrum (units: m3 s?2) of analysis increments for single u-component wind and humidity observation: (a) Nondimensional pressure;(b) specific humidity; (c) u-component; (d) v-component

比較3 種相關(guān)模型方案，對(duì)于單點(diǎn)v 觀測(cè)的分析增量功率譜分布特點(diǎn)與單點(diǎn)u 觀測(cè)試驗(yàn)的結(jié)論相似，只是功率譜大小有所不同。但是Soar 試驗(yàn)的v分析增量功率譜在所有波段上都明顯大于u 分析增量功率譜，這與單點(diǎn)u 觀測(cè)試驗(yàn)的結(jié)果相反（圖略）。

從單點(diǎn)氣壓觀測(cè)試驗(yàn)的分析增量功率譜（圖10）也可以看出，在965 km 以上的天氣尺度和次天氣尺度部分，Soar 三個(gè)變量的分析增量功率譜略小于Gauss 的，Supergauss 分析增量功率譜介于二者之間；在965 km 以下的尺度部分，Gauss 的三個(gè)變量的分析增量功率譜快速下降，并逐漸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Soar 的分析增量功率譜，Supergauss 的分析增量功率譜介于Gauss 和Soar 之間。雖然在時(shí)空域Guass與Supergauss 方案的分析增量結(jié)果相似（圖8），但是在965 km 以下的次天氣尺度和中尺度，Supergauss 的無(wú)量綱氣壓與風(fēng)場(chǎng)的分析增量功率譜都比單一Guass 模型的增加非常明顯（圖10）。

由上可知，分析增量的功率譜隨波數(shù)的變化由相關(guān)模型及其拉普拉斯算子在頻譜域空間譜響應(yīng)模型的功率譜分布決定。目前GRAPES-3DVar 分析的中尺度信息不足和采用的高斯相關(guān)模型有關(guān)，特別是動(dòng)力場(chǎng)在中尺度部分分析增量的功率譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于二階自回歸的功率譜。若采用3 種相關(guān)尺度疊加或更復(fù)雜的高斯模型組合來(lái)描述背景誤差的水平相關(guān)關(guān)系可以改善中尺度分析。

5 結(jié)論和討論

圖10 單點(diǎn)氣壓觀測(cè)分析試驗(yàn)的分析增量功率譜（單位：m3 s?2）：（a）無(wú)量綱氣壓；（b）u 風(fēng)場(chǎng)；（c）v 風(fēng)場(chǎng)Fig.10 Power spectrum (units: m3 s?2) of analysis increments for single pressure observation: (a) Nondimensional pressure; (b) u-component; (c) vcomponent

本文通過(guò)比較高斯、二階自回歸以及尺度疊加的高斯模型在時(shí)空域和頻譜域空間的特征，并把這3 種模型作為水平相關(guān)模型應(yīng)用到GRAPES-3DVar 系統(tǒng)中進(jìn)行理想分析試驗(yàn)，從本質(zhì)揭示不同相關(guān)模型對(duì)分析的影響。本文主要得到以下結(jié)論：

（1）采用高斯或二階自回歸模型作為分析變量流函數(shù)和非平衡勢(shì)函數(shù)的水平相關(guān)模型時(shí)，根據(jù)動(dòng)力場(chǎng)之間的水平相關(guān)關(guān)系，u、v 風(fēng)場(chǎng)的水平相關(guān)關(guān)系與Gauss 或Soar 的負(fù)拉普拉斯算子有關(guān)，因而相關(guān)模型負(fù)拉普拉斯算子的旁瓣峰值信息會(huì)影響風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)的分析質(zhì)量。

（2）高斯模型作為水平相關(guān)模型時(shí)，由于其拉普拉斯算子的旁瓣峰值較大，因而造成風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)負(fù)相關(guān)較大，距離觀測(cè)點(diǎn)較遠(yuǎn)的分析會(huì)出現(xiàn)不合理的較大負(fù)增量信息；同時(shí)高斯模型及其拉普拉斯算子在中小尺度上功率譜下降太快，也會(huì)導(dǎo)致分析場(chǎng)的中小尺度信息不足。

（3）二階自回歸模型作為水平相關(guān)模型時(shí)，其拉普拉斯算子的旁瓣峰值較小，因而風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)的負(fù)相關(guān)信息最小，并且二階自回歸模型及其拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)在中小尺度上功率譜較大，有利于高分辨率模式的中小尺度分析。但是在GRAPES-3DVar 的遞歸濾波實(shí)施中容易造成不合理的各向異性分析增量。

（4）當(dāng)高斯相關(guān)模型的水平相關(guān)尺度降低時(shí)，高頻部分的譜響應(yīng)函數(shù)會(huì)增加，因而觀測(cè)資料的傳播會(huì)包含更多的中小尺度能量，分析增量的中小尺度信息會(huì)增加。

（5）尺度疊加的高斯模型作為水平相關(guān)模型時(shí)，不僅緩解單一尺度高斯模型拉普拉斯算子負(fù)相關(guān)較大問(wèn)題，同時(shí)也增加分析增量的中小尺度能量，尺度疊加的高斯模型方案在遞歸濾波中也較容易實(shí)施。因而，在3 種方案中尺度疊加的高斯模型是GRAPES-3DVar 中描述背景誤差水平相關(guān)的最佳方案。

本文研究不同水平相關(guān)模型對(duì)分析的影響，分析中分析變量為流函數(shù)和非平衡勢(shì)函數(shù)，當(dāng)觀測(cè)資料分布不均勻時(shí)不同相關(guān)模型的影響會(huì)更加顯著，特別是其拉普拉斯算子的旁瓣峰值的大小可能造成稀疏觀測(cè)區(qū)較大的風(fēng)場(chǎng)分析偏差。文中只給出3 種不同尺度疊加的高斯相關(guān)模型的分析結(jié)果，若采用更多不同相關(guān)尺度高斯模型組合即超級(jí)疊加高斯模型，用尺度參數(shù)控制模型及其拉普拉斯算子的傳播程度和在不同尺度上譜能量的大小，使相關(guān)模型能準(zhǔn)確描述分析變量流函數(shù)和非平衡勢(shì)函數(shù)的水平相關(guān)關(guān)系，也使相關(guān)模型拉普拉斯算子的結(jié)構(gòu)符合實(shí)際風(fēng)場(chǎng)的水平相關(guān)關(guān)系，也許會(huì)獲得更合理的分析增量。后續(xù)工作將統(tǒng)計(jì)模式預(yù)報(bào)場(chǎng)的水平相關(guān)系數(shù)，考察風(fēng)場(chǎng)變量的實(shí)際負(fù)相關(guān)程度，重新調(diào)整尺度疊加的相關(guān)模型參數(shù)，進(jìn)行實(shí)際觀測(cè)資料同化和預(yù)報(bào)試驗(yàn)。另外，當(dāng)分析中的分析變量為u 和v 風(fēng)場(chǎng)時(shí)，水平相關(guān)模型直接描述u 和v 風(fēng)場(chǎng)的水平相關(guān)關(guān)系，水平相關(guān)模型結(jié)構(gòu)需要重新設(shè)計(jì)來(lái)適應(yīng)于風(fēng)場(chǎng)變量，而且對(duì)分析的影響要重新評(píng)估。在高分辨率模式下，還需要通過(guò)多尺度同化技術(shù)構(gòu)造不同資料的多尺度空間觀測(cè)誤差和背景誤差協(xié)方差信息，通過(guò)多次不同尺度同化，實(shí)現(xiàn)不同空間尺度觀測(cè)信息的快速有效融合，此時(shí)如何設(shè)計(jì)適合多尺度同化方案的水平相關(guān)模型，在有效同化不同尺度觀測(cè)信息的基礎(chǔ)上，還能保證計(jì)算效率是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

本文研究?jī)?nèi)容基于三維變分分析系統(tǒng)，在當(dāng)前流行的混合變分分析系統(tǒng)中，背景誤差協(xié)方差采用氣候統(tǒng)計(jì)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)和集合統(tǒng)計(jì)的隨天氣形勢(shì)演變的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)（Wang et al., 2008a, 2008b, 2013; Hamill and Snyder, 2000; 馬旭林等, 2014, 2015; Chen et al.,2015），靜態(tài)的背景誤差協(xié)方差權(quán)重相對(duì)動(dòng)態(tài)的較小，因而協(xié)方差模型的作用也會(huì)相對(duì)減弱（Bédard et al., 2020）。此外，在集合同化以及集合變分的同化方法中，天氣形勢(shì)依賴的背景誤差協(xié)方差取代氣候態(tài)的背景誤差協(xié)方差，避免了對(duì)背景誤差協(xié)方差進(jìn)行模型化。例如，集合卡爾曼濾波（EnKF）（Evensen, 1994, 2003; Houtekamer and Mitchell,1998, 2001; 莊 照 榮 等, 2011a, 2011b; Houtekamer and Zhang, 2016）、集 合 平 方 根 濾 波（EnSRF）（Whitaker and Hamill, 2002）以及集合卡爾曼平滑（EnKS）（Evensen and van Leeuwen, 2000）等集合同化算法都采用集合樣本獲得流依賴的背景誤差協(xié)方差，并且獲得一組集合分析。在集合變分同化方法中，En4DVar 需要對(duì)預(yù)報(bào)模式進(jìn)行切線性化（Bishop and Hodyss, 2011; Clayton et al., 2013;Gustafsson and Bojarova, 2014），而4DEnVar 可以避免對(duì)預(yù)報(bào)模式的切線性和伴隨計(jì)算（Liu et al.,2008, 2009; Liu and Xiao, 2013; Wang and Lei, 2014;Kleist and Ide, 2015），但以上的集合變分同化方法只能獲得單一分析。在變分分析和集合分析的基礎(chǔ)上衍生出許多同化方法，總的來(lái)說(shuō)四維同化優(yōu)于三維同化，混合方法比純粹的變分、集合或者集合變分方案更趨向于獲得質(zhì)量更高的分析（Bannister,2017）。