以教材為本，“浮想聯翩”來解題

文 祁勇程坤

三角形的全等是初中幾何的基礎和重點，在近幾年的中考中所占分值也越來越高，但很多同學在解題時找不到題目中的全等三角形，給解題帶來一定的障礙。如何才能對全等特別“敏感”，像條件反射似的“一眼看中”呢？這就需要我們發揮教材例題的作用，學會“浮想聯翩”。

原題呈現（蘇科版數學教材八年級上冊第21頁例6）如圖1，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB。求證：AB=CD。

圖1

【分析】要證AB=CD，只要證AB+BC=CD+BC，即AC=BD，所以只要證△EAC≌△FBD。根據已知條件再去尋找全等的條件，從而通過“角角邊”證明兩個三角形全等。

證明：∵EA∥FB，EC∥FD，

∴∠A=∠FBD，∠ECA=∠D。

又∵EA=FB，

∴△EAC≌△FBD（AAS），

∴AC=BD，

即AB+BC=CD+BC，

∴AB=CD。

【點評】要證明線段相等，先證明三角形全等是常用的方法。

一、條件和結論互換

變式1如圖1，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EC∥FD，AB=CD。求證：EA=FB。

【分析】要證EA=FB，只要證△EAC≌△FBD，從而去尋找證明兩個三角形全等的條件。最終可由“角邊角”證明全等。

證明：∵EA∥FB，EC∥FD，

∴∠A=∠FBD，∠ECA=∠D。

∵AB=CD，

∴AB+BC=CD+BC，

即AC=BD，

∴△EAC≌△FBD（ASA），

∴EA=FB。

【點評】將教材原題中的條件和結論互換，仍然是圍繞三角形全等來解決線段相等問題。

變式2如圖1，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD。求證：EC∥FD。

【分析】要證EC∥FD，只要證∠ECA=∠D，從而想到證明△EAC≌△FBD。

證明：∵EA∥FB，

∴∠A=∠FBD。

∵AB=CD，

∴AB+BC=CD+BC，

即AC=BD。

又∵EA=FB，

∴△EAC≌△FBD（SAS），

∴∠ECA=∠D，

∴EC∥FD。

【點評】還是將教材原題中的條件和結論互換，將證明線段平行轉化成證明角相等。證明三角形全等也是解決角相等的常用手段。

二、圖形的變換

變式3如圖2，∠ACB=∠ECF，AC=BC，EC=FC。求證：AE=BF。

圖2

【分析】要證AE=BF，只要證明△ACE≌△BCF。

證明：∵∠ACB=∠ECF，

∴∠ACB-∠ECB=∠ECF-∠ECB，

即∠ACE=∠BCF。

又∵AC=BC，EC=FC，

∴△EAC≌△FBC（SAS），

∴AE=BF。

【點評】如果教材原題中的圖是將△ACE沿AC向右平移一定的距離得到的，那么此題的圖就是將△ACE繞點C旋轉一定的角度得到的。此題還是圍繞全等三角形來解決。

變式4如圖3，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，圖中AE、BD有怎樣的大小和位置關系？試證明你的結論。

圖3

【分析】根據SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B=∠A。又因為∠AND=∠BNC，再根據三角形的內角和定理即可求得∠A+∠AND=90°，從而證得BD⊥AE。

解：AE=BD，AE⊥BD。

證明如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACD，

∴∠DCB=∠ECA。

在△DCB和△ECA中，

∴△DCB≌△ECA（SAS），

∴∠A=∠B，BD=AE。

∵∠AND=∠BNC，∠B+∠BNC=90°，

∴∠A+∠AND=90°，

∴AE⊥BD。

【點評】本題主要考查全等三角形的判定，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關鍵。證明三角形全等的基本思路是：

1.已知有兩個角對應相等，證它們任意一邊對應相等；

2.已知有兩邊對應相等，證它們的夾角相等，或證第三邊相等；

3.已知有一角和一邊對應相等，證夾等角的另一邊相等或證另一角相等；

4.已知有一角和其對邊對應相等，證另一角對應相等。

我們在做證明題時，首先要認真審題，弄清已知條件，看已知條件符合基本思路的哪種情況，再尋求解題途徑。