正本清源理脈絡熟能生巧解函數

文 施康琪

函數是用來刻畫現實世界變量關系的模型，概念較為抽象。而二次函數相較一次函數、反比例函數，表達方式更多樣，圖形更復雜，因此，涉及的考點也較多。下面，我們針對具體的中考題，圍繞這些考點，談談解決策略。

一、巧用二次函數的圖像與性質

例1（2020·黑龍江齊齊哈爾）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x=1，結合圖像給出下列結論：①ac＜0；②4a-2b+c＞0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根。其中正確的結論有（ ）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【解析】通過函數圖像，我們可以知道函數的開口方向、增減性、對稱性；通過具體的對稱軸以及與x軸的交點坐標，我們可以把圖形補充完整，順利地求得函數圖像與x軸的另一交點，這是典型的利用數形結合思想解決問題的方法。審題時，我們不僅要利用好函數圖像，更要關注圖中x=1和數字4這兩個細節所帶來的隱藏作用。

①拋物線開口向上，故a＞0；拋物線與y軸交于負半軸，故c＜0，因此ac＜0。①正確。

②令x=-2，則y=4a-2b+c，所以想到去尋求橫坐標為-2的點。圖中與x軸的一個交點為（4，0），結合拋物線的對稱軸為x=1，易知拋物線與x軸另一個交點為（-2，0），于是有4a-2b+c=0。②錯誤。

③由圖像可知，當x＞1時，y隨x的增大而增大。③正確。

④拋物線與x軸有兩個不同交點，因此關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根。④正確。

故選C。

【點評】本題是利用二次函數性質解決參數相關問題，解決這類問題，除了要掌握相關知識點之外，更要仔細觀察圖像中的每一個顯性條件（數字、點坐標）和隱性條件（增減性、對稱性），不放過每一個細節。

二、求二次函數表達式

1.待定系數法。

例2（2020·四川成都）拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，-2）。求拋物線的函數表達式。

【解析】A（-1，0）、B（4，0）是拋物線與x軸的交點，因此首選交點式。

設y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），則x1=-1，x2=4，代入（0，-2），得a（0+1）（0-4）=-2，解得a=

【總結】若已知拋物線任意三點坐標，且這三點沒有明顯特殊性，則采用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；若已知拋物線頂點坐標或對稱軸，則可采用頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0）；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，則可設交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

2.利用平移，直接求表達式。

例3（2020·黑龍江哈爾濱）將拋物線y=x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得到的拋物線為（ ）。

A.y=（x+3）2+5 B.y=（x-3）2+5 C.y=（x+5）2+3 D.y=（x-5）2+3

【解析】由“上加下減”的原則，將拋物線向上平移3個單位長度，得y=x2+3；由“左加右減”的原則，將拋物線y=x2+3向右平移5個單位長度，得y=（x-5）2+3。故選D。

【點評】本題考查的是函數圖像的平移。這類題一般先將二次函數轉化為頂點式y=a（x-h）2+k，再巧用口訣“上加下減，左加右減”解題。重點要注意“上加下減”是在k后面加減，而“左加右減”是指在括號里對x進行加減。

三、運用二次函數解決實際生活中的最值問題

例4（2020·遼寧撫順）超市銷售某品牌洗手液，進價為每瓶10元。在銷售過程中發現，每天銷售量y（瓶）與每瓶售價x（元）之間滿足一次函數關系（其中10≤x≤15，且x為整數），當每瓶洗手液的售價是12元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶洗手液的售價是14元時，每天銷售量為80瓶。

（1）求y與x之間的函數表達式；

（2）設超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為W元，當每瓶洗手液的售價定為多少元時，超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

【解析】（1）根據已知的一次函數關系，直接用待定系數法求解即可；

（2）根據利潤表達式（總利潤=單件利潤×數量）表示出二次函數表達式，再根據二次函數的增減性以及實際要求，確定最值。

解：（1）設y與x的函數表達式為y=kx+b（k≠0）。根據題意，得∴y與x的函數表達式為y=-5x+150，10≤x≤15，且x為整數。

（2）根據題意，得W=（x-10）（-5x+150）=-5（x-20）2+500，∵a=-5＜0，∴當x＜20時，W隨著x的增大而增大。∵10≤x≤15且x為整數，∴當x=15時，W有最大值，即W=-5（15-20）2+500=375。

答：當每瓶洗手液的售價定為15元時，超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤最大。最大利潤為375元。

【點評】本題是銷售類的經典題型，難點、易錯點主要在第（2）問，即如何求最大利潤。二次函數求最值主要有兩種方法：一是配方法，利用頂點式的頂點坐標求最值；二是公式法，當時，最值為。值得注意的是，在實際問題中，往往要先確定自變量的取值范圍，根據實際意義，結合圖像增減性，求出最值。