形散神聚：一道課本例題的變式

文 康敏

數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)是固定的，但是數(shù)學(xué)問(wèn)題是千變?nèi)f化的，怎樣快速解決問(wèn)題，這就需要找準(zhǔn)題目的突破口。如：全等三角形是通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)——平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，形狀、大小不變，位置發(fā)生變化；相似三角形就是大小改變，其他類比全等三角形。所以證明三角形全等或相似的關(guān)鍵是通過(guò)已知條件找尋哪兩個(gè)三角形通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)而來(lái)。今天我們就來(lái)研究旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的全等三角形。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第15頁(yè)例題）已知：如圖1，AB、CD相交于點(diǎn)E，且E是AB、CD的中點(diǎn)。求證：△AEC≌△BED。

圖1

【解析】本題考查的是全等三角形的證明。觀察圖形，我們首先發(fā)現(xiàn)對(duì)頂角相等（∠AEC=∠BED），即點(diǎn)E與自身是對(duì)應(yīng)關(guān)系；再由已知條件“E是AB、CD的中點(diǎn)”，得到AE=BE，CE=DE，從而運(yùn)用“邊角邊”證明出三角形全等。

【總結(jié)】本題從運(yùn)動(dòng)的角度可以看作是△AEC繞著點(diǎn)E順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)180°得到的△BED，這樣就明確了兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。通過(guò)看圖直接得到一組角相等，再由已知條件得到所需要的兩組邊對(duì)應(yīng)相等，這樣滿足兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，從而證明出結(jié)論。

本題將圖形旋轉(zhuǎn)180°是很特殊的角度，若旋轉(zhuǎn)的是其他角度呢？

變式1如圖2，等腰Rt△ABC、等腰Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，連接AE與BD相交于點(diǎn)F，求AE與BD的關(guān)系。

圖2

【解析】我們可以先猜測(cè)AE=BD，然后倒推它們所在的三角形是否全等。AE與BD所在的三角形分別是△AEC與△BDC，由等腰三角形的兩腰相等，得AC=BC，EC=DC。而第三組邊相等是要證明的，那么只能找兩邊的夾角。由∠ACB=∠ECD=90°，運(yùn)用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上公共角∠BCE，得出∠ACE=∠BCD，運(yùn)用“邊角邊”得到△AEC≌△BDC，得AE=BD。由全等還可得∠AEC=∠BDC，再由對(duì)頂角相等得∠BGE=∠CGD，運(yùn)用三角形內(nèi)角和 公 式 求 出∠EFG+∠AEC+∠BGE=180°，∠DCG+∠BDC+∠CGD=180°，從而求出∠EFG=∠ECD=90°，所以AE⊥BD。

【總結(jié)】本題從運(yùn)動(dòng)的角度可以看作是△ACE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△BCD。題目所給的直接條件是兩組對(duì)應(yīng)邊分別相等，再證明兩邊的夾角也相等就可以證明三角形全等，從而得出AE與BD的兩種關(guān)系：數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是垂直。從動(dòng)態(tài)的角度再次變化，題目不變，如圖3。思路同上，與變式1的區(qū)別在于，由∠ACB=∠ECD，運(yùn)用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去公共角∠BCE，求出∠ACE=∠BCD。

圖3

如果把等腰直角三角形換為等邊三角形又會(huì)如何？

變式2如圖4，△ABD、△ACE都是等邊三角形，DC、BE相交于點(diǎn)P，求∠EPC的度數(shù)。

圖4

【解析】從題目的已知條件中能獲得哪些信息？等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都是60°。那么從圖形上觀察，有沒(méi)有三角形全等？有了前兩題的經(jīng)驗(yàn)，我們能發(fā)現(xiàn)△DAC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，從而可證得∠DCA=∠BEA。這兩個(gè)角又可放在成“8字形”的△PCM與△AEM中，由∠PMC=∠AME和三角形內(nèi)角和定理，等量代換后得出∠EPC=∠EAC=60°。

變式3如圖5，在正方形ABCD與正方形AEFG中，連接DE、BG相交于點(diǎn)P，問(wèn)DE與BG的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖5

【解析】由四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，可以得到BA=DA，GA=EA，∠BAD=∠GAE=90°。DE與BG分別是△DEA與△BGA的邊，那么我們就能發(fā)現(xiàn)△BGA繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEA，證出△BGA≌△DEA，得出DE=BG，再類比前幾題的證明得出DE⊥BG即可。

變式4如圖6，在菱形ABCD與菱形AEFG中，∠BAD=∠EAG=70°，連接DE、BG相交于點(diǎn)P，求∠BPD的度數(shù)。

圖6

【解析】由四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，可以得到BA=DA，GA=EA。由∠BAD=∠EAG=70°，本題就可以看作是△BGA繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到的△DEA。然后只需要說(shuō)明∠BAG=∠DAE，就能證明△BGA≌△DEA，最終求出∠BPD=70°。

【總結(jié)】這幾題考查的知識(shí)點(diǎn)類似，都是通過(guò)觀察找尋三角形是經(jīng)過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)變換得出另一個(gè)三角形。而具體要證哪兩個(gè)三角形全等，則通過(guò)條件求出兩組邊對(duì)應(yīng)相等且所夾的角也相等即可。