分類討論以圓定“形”

文 陳超

等腰三角形作為特殊的三角形，有其獨有的性質，是三角形知識的重要組成部分。在探討形的存在性問題時，等腰三角形中蘊含著重要的數學思想方法，即分類討論思想，這也是中考常考的知識。在具體考查時，選擇題、填空題、解答題都有可能涉及。解決這類問題是有通法可循的，特別是在選擇題和填空題中。下面就剖析兩道中考題，以幫助同學們體會通法的奧妙。

一、在坐標系中的等腰三角形

例1（2019·江蘇徐州）函數y=x+1的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在x軸上。若△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C共有 個。

【解析】題目中雖然要求△ABC為等腰三角形，但是沒有說明哪條邊是腰或底，故AB可能是腰也可能是底，所以需要分類討論。因為一個等腰三角形有兩腰一底，且底邊與頂角的頂點成一一對應關系，所以以頂角的頂點為標準分類較好。而底角的頂點在以頂角頂點為圓心，腰長為半徑的圓上，這樣的圓與特殊的線（題中要求的線）的交點即為底角的頂點，這樣等腰三角形位置即可確定。

圖1

根據題意，畫出函數圖像，如圖1。①當點A為等腰三角形的頂角頂點，即AB=AC時，以點A為圓心，AB長為半徑畫⊙A，⊙A與x軸的交點即為點C，這時有2個（記為C1、C2）；②當點B為等腰三角形的頂角頂點，即BA=BC時，以點B為圓心，以BA長為半徑畫⊙B，⊙B與x軸的交點即為點C（不與點A重合的點），這時有1個（記為C3）；③當點C為等腰三角形的頂角頂點，即CA=CB時，因為圓心與半徑都不確定，此時就不能通過畫⊙C來確定點C了，但CA=CB，故點C在線段AB的垂直平分線上，過⊙A與⊙B的兩個交點畫直線，即為線段AB的垂直平分線，它與x軸的交點即為點C（恰好與原點O重合），此時有1個（記為C4）。所以滿足條件的點C共有4個。

【總結】確定點C的個數，就是確定等腰△ABC的個數。由于等腰△ABC的底或腰的不確定性，決定了必須分類討論。此時，分類的標準成為關鍵。分類必須做到標準唯一，不重不漏，易于理解與操作。分類標準由邊向點的思維的轉化（頂角頂點又可以以等邊形式呈現），易于理解，再用圓來確定點的位置，進而確定等腰三角形。這種方法我們可以稱為分類討論、以圓定“形”法。

二、在點的運動中的等腰三角形

例2（2016·江蘇宿遷）如圖2，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為 。

圖2

【解析】我們可以采用分類討論、以圓定“形”法。①當BP=BC時，以點B為圓心，BC長為半徑畫⊙B，⊙B與直線AD的公共點即為點P。當直線AD與⊙B相交時，有2個點P；當直線AD與⊙B相切時，有且只有1個點P；當直線AD與⊙B相離時，不存在點P。②當CP=CB時，以點C為圓心，CB長為半徑畫⊙C。直線AD與⊙B、⊙C同時具有相同的位置關系，故點P的存在性也相同。③當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，即在過⊙B與⊙C的兩交點的直線上，BC的垂直平分線與直線AD有且只有1個點P。所以當兩圓與直線AD相交時，若交點不與線段AD中點重合，則有5個點P；若其中一個交點與線段AD中點重合，則有3個點P；當兩圓與直線AD相切時，有且只有3個點P；當兩圓與直線AD相離時，有且只有1個點P。因為四邊形ABCD是矩形，AD=4，所以BC=AD=4，∠BAD=90°。所以當AB=BC=4時，兩圓與直線相切，如圖3所示，此時滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個；當AB=2 3時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個。當P為AD中點時，△PBC為等邊三角形，如圖4。所以AB的長為4或2 3。

圖3

圖4

【總結】雖然本題告訴我們滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，但是等腰△PBC的腰或底依舊沒有確定，所以仍需先分類討論，再以圓定“形”。只不過這里的圓心到點P所在直線AD的距離是變化的，所以點P存在的情況是和直線與圓的位置關系相對應的，要特別重視圓弧過線段AD中點時的情形。