剖析錯解揭秘錯因

文 章薇薇

初中數學的“數與代數”部分由數與式、方程與不等式、函數三部分組成。而函數作為重要的組成部分，總會出現在各類考題中。有的題明明會做，可還是錯了；有的題看著挺眼熟，就是不知如何下手；有的題看了好多遍都不知所云……同學們，如果你也有這樣的困惑，請跟著老師，一起來揭秘這些函數易錯題背后的錯因。

例1（2020·江蘇南京）下列關于二次函數y=-（x-m）2+m2+1（m為常數）的結論：①該函數的圖像與函數y=-x2的圖像形狀相同；②該函數的圖像一定經過點（0，1）；③當x＞0時，y隨x的增大而減小；④該函數的圖像的頂點在函數y=x2+1的圖像上。其中所有正確結論的序號是 。

【錯因剖析】

典型錯誤1：對二次函數的三種表達式沒有真正掌握，不能正確解讀二次函數頂點式。

剖析點評：從二次函數頂點式中，我們可以得到頂點坐標為（m，m2+1），對稱軸為直線x=m，結合a=-1，其開口方向向下，得到它有最大值。

典型錯誤2：不喜歡畫圖，對于二次函數的性質掌握不到位。

剖析點評：解決函數類問題，要會畫草圖，并借助圖形進行增減性分析。本題圖像開口向下，對稱軸為直線x=m，則對稱軸左側，y隨x的增大而增大，對稱軸右側，y隨x的增大而減小。

【正確解答】①兩個函數的二次項系數都為-1，則兩個函數圖像形狀相同；②把（0，1）代入函數表達式即可；③函數二次項系數為-1，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=m，畫出草圖即可；④根據表達式可得頂點坐標為（m，m2+1），代入y=x2+1驗證即可。故答案為①②④。

例2（2020·江蘇蘇州）如圖1，平行四邊形OABC頂點A在x軸的正半軸上，點D（3，2）在對角線OB上，反比例函數＞0）的圖像經過C、D兩點。已知平行四邊形OABC的面積是則點B的坐標為（ ）。

圖1

【錯因剖析】

典型錯誤1：對反比例函數圖像上點的坐標特征，待定系數法求一次函數表達式等知識與技能掌握不到位。

剖析點評：做題前，我們先要理解概念，掌握知識要點，知道兩點在同一個反比例函數圖像上的意義；能將一個點在某條直線上轉化成點坐標滿足的一次函數表達式。

典型錯誤2：圖中除了已知點D的坐標外，其他點的坐標都未知，有些同學不會結合條件對點的坐標進行設元。

剖析點評：用含字母的表達式來表示點的坐標是必備技能。首先，利用點D既在反比例函數圖像上，也在對角線OB上，可求出反比例函數與正比例函數的表達式；然后，利用BC∥OA，得到點B、點C縱坐標相等，把點B縱坐標代入直線OB的表達式，得點B的坐標，求出BC的長度；最后，結合平行四邊形OABC的面積是，列出方程求解。

典型錯誤3：在解答過程中，需要進行運算。求兩個函數的表達式；設點C或點B坐標后，再表示另一個點的坐標；利用面積求出a，在某個環節出現計算錯誤。

剖析點評：（1）在直線OB表達式的求解過程中，有的同學會得到；（2）設C為則B坐標為代入OB的表達式得到后，有的同學不知道是用a表示x，還是用x表示a；（3）有的同學將平行四邊形的面積轉化成，但在計算過程中，忘記了三角形面積公式要除以2。

【正確解答】根據點D坐標為（3，2），易得反比例函數為。設OB的表達式為y=mx，由OB經過點D（3，2），得出OB的表達式為y=且a＞0，由平行四邊形的性質，得BC∥OA，點B與點C的縱坐標相等。

（方法三）延長BC交y軸于點G，由反比例函數的幾何意義，得S△OGC=3，則S△OGB=3+即點B的橫縱坐標積的一半等于設點B坐標繼續計算即可。