函數典型例題與解題策略

文 李祥

由數軸上的點與實數的對應關系到正、反比例函數，由一次方程（組）、不等式（組）到一次函數，由一元二次方程到二次函數等，我們不難發現，函數是貫穿初中數學的一條主線，具有承上啟下的作用。函數是初中數學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查對象。

一、函數的概念與性質

例1已知一次函數y=（3a-2）x+（1-b），求字母a、b的取值范圍，使得：

（1）y隨x的增大而增大；

（2）函數圖像與y軸的交點在x軸的下方；

（3）函數圖像過第一、二、四象限。

【思路點撥】對于y=kx+c（k≠0）的圖像，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當c＜0時，函數圖像與y軸的交點在x軸的下方；當k＜0，c＞0時，函數圖像過第一、二、四象限。

解：（1）由一次函數y=kx+c（k≠0）的性質可知：當k＞0時，函數值y隨x的增大而增大，即，且b可取任何實數。

（2）函數圖像與y軸的交點為（0，1-b）。

∵交點在x軸的下方，

【總結升華】下面是y=kx（k≠0），y=kx+b（k≠0）的圖像的特點和性質示意圖。如圖1，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＞0，b＞0時，圖像過第一、二、三象限；當k＞0，b=0時，是正比例函數；當k＞0，b＜0時，圖像過第一、三、四象限。當y=x時，圖像過第一、三象限，且與x軸的夾角為45°。由于常數k、b不同，可得到不同的函數，k決定直線的傾斜程度，b決定直線與y軸交點的位置，由k定向，由b定點。同樣，圖2是k＜0的各種情況，請同學們自己嘗試指出它們的特點和性質。

圖1

圖2

二、函數的圖像及性質

例2已知一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像經過A（3，18）和B（-2，8）兩點。

（1）求一次函數的表達式；

（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數的圖像只有一個交點，求交點坐標。

【思路點撥】（1）用待定系數法求一次函數的表達式；（2）聯立一次函數表達式和反比例函數表達式，根據題意得到Δ=0，解方程即可得到結論。

解：（1）把（3，18），（-2，8）代入一次函數y=kx+b（k≠0），得

∴一次函數的表達式為y=2x+12。

（2）∵一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數的圖像只有一個交點，只有一組解，

所以2x2+12x-m=0有兩個相等的實數根，

∴Δ=122-4×2×（-m）=0，

∴m=-18。

把m=-18代入2x2+12x-m=0求得該方程的解為x=-3，經檢驗符合題意。

把x=-3代入y=2x+12，得y=6，

∴所求的交點坐標為（-3，6）。

【總結升華】本題考查了用待定系數法求一次函數表達式、反比例函數與一次函數的交點問題。第（2）問的關鍵是轉化成關于x的一元二次方程，再根據交點只有一個得出根的判別式為0，從而求出m，進而求出交點坐標。

三、二次函數的綜合運用

例3二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，下列結論：①ab＞0；②a+b-1=0；③a＞1；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1，另一個根為其中正確結論的序號是_______。

圖3

【思路點撥】根據拋物線的開口方向和對稱軸判斷a與b的符號，由拋物線與y軸的交點得出c的值，然后根據拋物線與x軸交點的個數及x=1時二次函數的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷。

解：①由二次函數的圖像開口向上可得a＞0，對稱軸在y軸的右側，b＜0，∴ab＜0，故①錯誤；

②由圖像可知拋物線與x軸的交點為（1，0），與y軸的交點為（0，-1），

∴c=-1，∴a+b-1=0，故②正確；

③∵a+b-1=0，∴a-1=-b，

∵b＜0，∴a-1＞0，

∴a＞1，故③正確；

④∵拋物線與y軸的交點為（0，-1），

∴拋物線的方程為y=ax2+bx-1，

∵拋物線與x軸的交點為（1，0），

∴ax2+bx-1=0的一個根為1，根據根與系數的關系，另一個根為，故④正確。

故答案為②③④。

【總結升華】本題考查的是二次函數與圖像結合的綜合運用，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵。