函數知識再建構思想方法再提煉

文 浦敘德（特級教師）

專題復習：函數

領 銜 人：浦敘德（特級教師）

組稿團隊：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心

數學學習是一個循序漸進、不斷提高的過程。在新授課學習時，我們學到的是散點狀的一個一個知識點；在單元課學習時，我們學到的是聯線狀的一條一條知識線；在中考復習課學習時，我們需要達成的是塊面狀的一個一個知識結構。只有這樣，我們才能對整個數學知識和核心方法從最初的了解，到中間的理解，到最后的見解。所以，在進行函數板塊復習時，我們非常有必要對函數知識進行再建構，對所含思想方法進行再提煉。

一、函數知識再建構

1.函數與其他知識的關聯。

初中數學課程內容分“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個部分，其中“數與代數”又分成“數、式、方程、不等式、函數”五個板塊。從中可以看出，“函數”是初中代數的最后一個板塊，也是初中代數最綜合、最精華、最核心的內容。它與前面四塊內容之間的知識結構如下。

2.函數同類單元知識的關聯。

就函數板塊而言，初中代數首先學習了一般函數的相關知識，在此基礎上分別學習了特殊的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數和銳角三角函數。從學習內容的先后呈現方式可以看出，每一類函數都是按照“定義（含自變量取值范圍、函數值）、圖像、性質、運用和應用函數知識解決數學問題和實際問題”展開，所以，我們可以把所有的函數知識看成是一個同類單元，所有這些函數之間的知識結構如下。

二、思想方法再提煉

1.數形結合思想。

初中代數有兩個重要的數形結合的代表性工具：一是數軸，借助數軸，任何一個實數都可以在數軸上找到一個對應的點，反之，數軸上任何一個點都對應著一個實數，這樣就形成了一個實數與數軸上一個點之間一一對應的關系；二是平面直角坐標系，借助坐標系，平面內任何一個點都對應著一組有序實數對，反之，任何一組實數對都可以在坐標系內找到唯一的一個對應點，這樣就形成了一對有序實數與平面內一個點之間一一對應的關系。函數知識的學習和研究正是把坐標系作為工具來展開的。所以，需要特別提醒同學們的是，當我們研究函數的問題時，如果題目沒有提供函數圖像，最好能夠先畫出函數的圖像，哪怕是基本符合條件的草圖，這樣有助于我們借助圖像的直觀，找出一些隱含在圖像內的數學信息，進而易于分析和解決問題；如果題目已經給出了圖像，建議同學們把已知條件和能夠從圖像上獲得的所有信息先找出來，再去考慮解決問題的路徑和方法。

2.方程（不等式）思想。

在上面的知識結構中，我們已經介紹了方程、不等式、函數之間的關系，這里重點從思想方法的角度再給同學們展開。方程和不等式表示的是數量關系中的相等和不等，函數表示的是從變化的角度研究兩個量x、y之間的關系。任何一個函數，當自變量x確定時，可以求出函數值y，這時相當于求代數式的值；反之，當函數值y確定時，原來的兩個變量x、y只剩下一個x，這時，函數實際上變成了關于x的方程，當函數值y為某一個確定的范圍，原來的兩個變量x、y也只剩下一個x，這時，函數實際上變成了關于x的不等式。從函數圖像上看，如果y=0，也就是函數圖像與x軸的交點，此時對應的x的值就是函數對應的方程的解；如果y＞0，也就是函數圖像與x軸交點的上方部分，此時對應的x的值就是函數對應的不等式的解集；如果y＜0，也就是函數圖像與x軸交點的下方部分，此時對應的x的值就是函數對應的不等式的解集。

3.函數思想。

我們先從幾個點來認識函數思想。點P（3，4）認識嗎？顯然點P是第一象限內一個確定的點。點Q（3，0）認識嗎？顯然點Q是在x軸正半軸上的一個確定的點。點R（0，4）認識嗎？顯然點R是y軸正半軸上的一個確定的點。點M（a，0）認識嗎？由于a的變化，所以，只能知道點M是x軸上的一個動點，不能真正確定。點N（0，b）認識嗎？由于b的變化，所以，只能知道點N是y軸上的一個動點，不能真正確定。點（a，4）和點（3，b）認識嗎？其分別是直線y=4和直線x=3上的點。點A（x，y）認識嗎？顯然點A應該是坐標平面內一個動點，它可以在平面內任何位置，如果x與y之間有一種特定關系，那么x變，y也變，x確定，y也確定，這時x與y之間就構成了函數。所以，研究坐標平面內的動點問題，我們可以假設這個點的坐標為（x，y），再研究出x與y之間的關系，這就是函數思想的體現。如點B在二次函數y=3x2+5x-2的圖像上，我們可以假設點B的坐標為（x，3x2+5x-2）。

4.函數建模思想。

學以致用是數學知識的價值體現之一。學習了每一類方程之后，我們最后學的是用方程解決問題；學習了每一類不等式之后，我們最后學的是用不等式解決問題；學習了每一類函數之后，我們最后學的是用函數解決問題。在數學上，我們分別把用方程解決問題、用不等式解決問題和用函數解決問題稱為方程建模、不等式建模和函數建模。解決問題的路徑是完全一致的，都是先把實際問題變成數學問題（方程、不等式、函數），然后求解數學問題得到數學的解，再把數學的解代入驗證是否符合實際，從而得到實際問題的解。

數學學習是一個厚積薄發、舉一返三的過程。尤其是中考復習的時候，我們應抓住核心知識及其相互關聯，抓住重要的數學思想方法，從宏觀上加以把握。上面給同學們介紹了函數這個板塊的知識結構和思想方法，相信同學們對函數部分有了更清晰的整體認識。至于這些知識和思想方法如何用，可以通過后面的文章，自己去體會和感悟。