機械錐齒輪傳動機構的優化設計

譚偉美

（廣西玉林農業學校，廣西 玉林 537000）

0 引言

在各類齒輪機構中，錐齒輪系統的主要功能為傳遞2根相交的軸間的運動及動力。與圓柱型齒輪系統一樣，錐齒輪系統分為許多種類。根據輪齒的外形，將錐齒輪的結構分為直齒型錐齒輪、斜齒型錐齒輪、螺旋型錐齒輪幾類。錐齒輪結構的傳動過程的優勢主要有傳動效率比較高、傳動比比較穩定、工作狀態可靠、結構比較緊湊、占用空間小、耐磨損能力強、使用壽命長以及噪聲比較低。現階段，錐齒輪系統的傳動在許多領域中得到了比較廣泛的應用。當前錐齒輪系統傳動的結構優化設計的重要目標是在符合系統承載量級的前提下，選取適合的齒輪副系統數據，使傳動系統的空間占比最小，保證整體結構的緊湊性。

1 結構優化設計的背景

現階段，我國相關工程技術人員針對錐齒輪系統的傳動過程的實驗及分析研究比較深入。某技術人員將減速器裝置的外形尺寸及結構強度方面的設計參數歸結到約束條件的范疇，創建了相關數學模型，使用MATLAB軟件中的結構優化工具單元實施錐齒輪結構的優化設計工作，通過程序解其傳動機構的體積數值及最小目標函數的解。其他技術人員用齒輪機構的模數及傳動比等相關參數作為相關參數的設計變量，把齒輪的齒面及齒根強度數值和結構之間沒有產生干涉現象作為主要的約束條件，將齒輪副結構的傳動過程的總中心距取最小值，設置為系統的目標函數，使用MATLAB軟件的優化工具單元進行方程的求解。其他技術人員將齒輪系統的相關參數綜合為1套結構優化的數學模型，綜合粒子群的優化算法進行相關目標函數的解析。上述工程技術人員的研究目標都是為了使齒輪副可以取相對較小的空間體積，不過同樣可能出現某些問題，例如不能符合齒輪系統傳動過程的多參數的優化需求，齒輪副結構的嚙合狀態下的重合程度不滿足要求、齒輪結構的強度較低，導致齒輪結構傳動過程的穩定性降低[1]。

該文設計了1套錐齒輪系統的傳動機構的結構優化相關的數學模型，使用遺傳式計算方法及MATLAB軟件的優化工具模塊，針對目標函數進行方程的求解。遺傳式的計算方法主要思路是模擬達爾文的進化論相關的自然選擇及遺傳學有關原理，是1類持續挑選優秀獨立體的隨機模式檢索算法，一直持續到在全體中檢索出最佳獨立體。遺傳式計算方法具有針對繁雜多峰值函數的通用性及針對目標函數的全方位優化特性等優點，在相關工程領域改進設計過程中得到了廣泛應用，尤其是在結構參數信息改進設計、神經型網絡系統、生產安排調整、模態分析、自動適應巡航控制工程等行業中，遺傳式計算方法使多重目標函數解析更簡便，在實際應用中獲得了比較理想效果。

2 錐齒輪定義

錐齒輪是用于傳遞2根相互交叉軸間的運動狀態及動力載荷，在常規機械裝置內，錐齒輪系統兩軸間的交叉角度為90°（然而個別情況也可能不是90°）。與圓柱形齒輪相似，錐齒輪系統存在分度圓錐、齒輪頂部圓錐、齒輪根部圓錐及基準圓錐。由于圓錐體存在大端與小端，該齒輪相應大端的圓分別是分度圓（該圓半徑是r）、齒頂圓、齒根圓及基準圓。1組錐齒輪的運動軌跡等同于1組節圓錐進行純滾動運動[2]。錐齒輪如圖1所示。

圖1 錐齒輪結構

3 錐齒輪傳動裝置研究

在錐齒輪傳動機構中，把旋轉輪的中心輪軸a當作輸入零件，為了確保錐齒輪傳動機構的傳動比不變，旋轉輪的中心輪軸的內齒b上設置一級加速錐齒輪副進行傳動，錐齒輪的系桿機構H作為輸出零件，這種方式可以使錐齒輪的扭矩降低。錐齒輪傳動機構原理圖如圖2所示。

4 錐齒輪受力分析

與圓柱形齒輪相似，將理論法線方向的荷載在小齒輪均勻分度圓位置分成直齒錐齒輪受力分量，即為圓周方向的分力、徑向方向的分力和軸向方向的分力，各個分力的朝向如圖2所示。然后再按照受力平衡法則及各個分力間的空間幾何聯系進行計算。

圖2 錐齒輪傳動機構原理圖

齒輪傳動的類型很多，按照不同的分類方法可以分為不同的類型。

5 錐齒輪傳動的技術特點及應用研究

錐齒輪傳動的技術特點是減小了小端面的齒頂高度，進而降低了齒頂凸尖的概率；且齒根圓直徑比較大，有益于提升錐輪齒的載荷能力、刀具使用周期及潤滑儲油。錐齒輪的優點是使用壽命長、荷承載力高、耐腐蝕性強、噪聲及減震較低、自身重力重量輕、造價低廉、易于加工成型及潤滑性能優等。

由于錐齒輪通常應用于輕載及低速的狀況。因此，錐齒輪通常應用在大型工業傳動機器、汽車差速器、電力機車、大型船只、供電網絡、鋼鐵制造企業及鐵路軌道信號檢測中。

6 結構優化理論模型

相關工程技術人員在錐齒輪傳動機構的優化設計過程中，將錐齒輪副的總體積最小化作為主要設計目的。如圖3所示，傳動軸交叉角是90°的錐齒輪副，主體外形尺寸參數包括分度圓錐角度數值δ、錐齒輪副錐間距數值R、分度圓直徑數值d以及錐齒輪寬度數值b等[3]。

通常來講，錐齒輪副的總體積V用如下公式表示為：

式中：z1、z2分別為大錐齒輪和小錐齒輪的齒數；m為錐齒輪副系統的大端一側的模數；R為錐齒輪副系統的錐距值；b為錐齒輪部件的寬度數值；ψR為齒寬系數；δ1、δ2分別為大錐齒輪和小錐齒輪的分度圓的錐角數值。V為錐齒輪副的總體積，V1、V2分別為大錐齒輪和小錐齒輪的體積[4]。

由公式（1）可以得到，制約錐齒輪副總體積的相關參數包括小錐齒輪部件的齒數數值z1、錐齒輪副系統的大端一側的模數數值m以及錐齒輪的齒寬系數ψR，綜上所述，可以對系統的設計變量x進行設置，公式（4）所示。

式中：T為主動小錐齒輪工作時的轉矩。

錐齒輪的齒面接觸強度的約束條件如公式（5）所示。

式中：g1（x）為錐齒輪的齒面接觸強度；［σH］為錐齒輪副系統的齒面部位理論許用接觸應力數值；d1為錐齒輪的分度圓直徑。

錐齒輪齒根部位的彎曲強度約束條件如公式（6）所示。

式中：g2（x）為齒根彎曲強度；［σF］為錐齒輪副系統的齒根部位理論許用彎曲應力數值；m為復合型齒形系數數值。

圖3 錐齒輪副外形尺寸

針對復合型的齒形系數，能夠根據當量的齒數借助圖4進行查詢。

設計變量的約束條件是：17cosδ1≤z1≤z1max；m≥2；0.25≤ψR≤0.30。

根據上述的數學模型的表達式可知，以錐齒輪副系統的總體積最小為目標的優化設計工作能夠總結為1個三維的非線性約束條件的優化改進型問題。

7 錐齒輪系統結構優化設計實際案例簡述

已知某汽車的發動機系統傳動部分是1套軸交叉角數值為90°的閉合式錐齒輪傳動系統機構，小錐齒輪傳遞的功率數值P1為9.2 kW，轉動速度n1取值為970 r/min，系統的傳動比i取值為3，工作狀態系數K取值為1.5。小錐齒輪部件的材料選用40Cr，采用了調質工藝進行處理，其布氏硬度（HB）數值達到了250。大錐齒輪部件的材料選用35SiMn，西永了調質工藝進行處理，其布氏硬度（HB）數值達到了230。設計要求為使錐齒輪副總體積最小，以此完成整體結構的優化設計過程。

圖4 復合齒形因數和當量齒數之間的聯系

針對以上相關參數實施總結及運算，能夠得出主動輪（小錐齒輪）工作狀態下的轉矩T1數值為：T1=9550P1/n1=90.6 （N·m）。

根據錐齒輪系統傳動機構的金屬及材料相關的工藝方面的標準，由相關文獻中查詢到齒面部分的理論許用接觸應力［σH］數值為640 MPa，齒根部分的理論許用彎曲應力［σF］數值為250 MPa。

懲罰型函數方法是一類間接式求解的約束系統優化情況的解決方案，把相關約束問題優化轉成一整套0約束的問題來進行方程求解，不會對原有的約束狀態造成變更及破壞。該文使用懲罰型函數方法體系中的外點式方法法，將系統的約束相關的非線性設計情況問題轉化成1種適應型函數，其公式（7）所示。

式中：val（x）表示該數學模型的懲罰函數；f（x）表示該數學模型的目標函數；p（x）表示懲罰選項。

極小化相關情況如公式（8）所示。

式中：r1、r2為懲罰選項的系數，g1（x）為齒面接觸強度、g2（x）表示齒根彎曲強度，是1類伴隨迭代次數遞增來遞增的數列。

將公式（8）中的3D不等式形式的約束非線性目標狀態轉化成外部點懲罰型函數適應性函數的有關問題，也就是說把優化數學模型的公式（5）、公式（6）中2個約束設置為適應性函數中的懲罰選項，然后把數學模型變量相關邊界約束設成遺傳式計算方法中的變量矩陣[5]。

中錐齒輪副屬于閉合式軟齒面傳動，配合錐齒輪傳動法則，選取錐齒輪的齒面部位接觸強度約束的懲罰系數r1=1，齒根部位彎曲強度約束的懲罰系數r2=0.5。

使用MATLAB優化單元fmincon模式，在程序中輸入分度圓的直徑、錐距、齒數比和目標函數等相關參數。將不等式約束條件作為懲罰選項導入適應型函數。

將最優解導入校驗，g1（x）=-0.082 MPa≈0，g2（x）=247.5915 MPa＞0，因此最優解處于齒面部位接觸強度數值的邊界區域，齒根部位彎曲強度裕量較大。

將最優解的小齒輪齒數調整為18，導入校核，g1（x0）=13.5032 MPa＞0，g2（x0）=248.6596 MPa＞0，因此最優的整數解處在可行區間。

8 結語

綜上所述，該文研究了錐齒輪系統傳動機構的特點，搭建其數學模型，獲取相關結構優化相關變量、目標函數、各項功能限制條件及邊界限制狀況，并且對錐齒輪傳動機構實施改進設計。應用懲罰函數的方法構建適應程度相關函數，將改進設計函數模型中的錐齒輪齒面觸碰強度基礎及錐齒輪齒根彎曲角度條件轉化為適應程度函數公式中的懲罰項。編寫遺傳算法某種類型的文件，應用MATLAB軟件及優化工具模塊Fmincon函數實施函數求解，獲得最優結果。軟件運算完畢之后，還必須針對相關變量參數進行圓整及調節。經過優化案例證明了使用遺傳式計算方法實施錐齒輪系統傳動機構改進設計的通用性及可行性，為錐齒輪系統傳動機構的多重目標改進設計帶來了技術參照。因此，對機械錐齒輪傳動的進行優化及研究，對科技進步及國民經濟的發展具有重大的實用意義。