重力插值重構前沿與進展

王 彤

（中國空間技術研究院，北京 100094）

0 引言

潛艇在水下執行情報搜集、軍事打擊以及潛伏等任務時，必須要保證它的隱蔽性和導航定位的準確性，這樣才能滿足潛艇對水下安全航行及精確打擊的需求。慣性導航系統具有自主、高精度、高隱蔽性以及不易受到外界信息干擾等優點，因此潛艇主要依靠慣性導航系統在水下航行。但是慣性導航系統存在系統誤差，并且該誤差隨時間的累積而增大，這就會降低潛艇在水下運行時的精度。針對慣性導航系統存在的不足之處，許多學者提出潛艇在水下航行時，需要修正潛艇慣性導航系統的累積誤差；將重力信息與慣性導航系統聯合起來的無源輔助導航系統可以對慣性導航的累積誤差進行校正，它是目前國際研究的熱點。重力匹配導航系統不需要水下潛器浮出或接近水面，測量時也不會向外輻射能量，因此有望實現水下潛器連續長航時精確、自主定位。

1 重力匹配導航系統原理

重力匹配導航系統指的是潛艇通過自身搭載的重力儀來獲得潛艇目前位置重力場的特征信息，將獲得的實測重力值與海洋重力基準圖進行匹配，按照合適的匹配算法最終確定潛艇所在的位置。海洋重力基準圖是重力匹配導航的重要組成部分，因此，構建全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖是非常必要的。船載重力測量、航空重力測量以及衛星重力/測高反演是獲取全球海洋重力場的主要技術途徑，全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖能有效提高水下重力匹配導航的精度；然而目前全球海洋重力基準圖的質量較低（精度為3 mGal～8 mGal，空間分辨率為1′×1′），因此需要對其進行一定程度的插值加密，將其重構為高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖。

2 海洋重力異常圖插值方法

目前常見的重力場插值方法有距離加權反比插值法、徑向基函數插值法、樣條函數插值法、克里金插值法以及改進的Shepard插值法。

2.1 距離加權反比插值法

距離加權反比插值法是最簡單的插值方法，該方法根據未知點到已知點距離的加權平均值來計算未知點的值。距離加權反比插值法的具體計算如公式（1）所示[1]。

式中：G0為預測點的重力值；Gi為第i個已知點的重力值；hi為第i個已知點到預測點的距離；μ為指數參數。

2.2 徑向基函數插值法

徑向基函數（Radial Basis Function， RBF）插值法能夠應用于各個領域，例如全球地形、水文、地球物理科學和圖像重建，其原理是將已知點作為位置中心，求解得出插值函數的系數，從而獲得預測點的值，徑向基函數插值法的插值函數的表達式如公式（2）所示[2]。

2.3 樣條函數插值法

樣條函數插值法是由工程制圖中的樣條繪圖工具發展而來的，一般指的是三次樣條函數插值法（Cubic spline function interpolation）。三次樣條函數插值法是由幾段三次多項式拼合而成的曲線，如公式（3）所示[3]。

式中：Si（x）為三次樣條函數；ai、bi、ci和di為待求系數。

2.4 克里金插值法

克里金插值法（Kriging）主要采用地質學中的統計理論和插值方法，以變異函數為插值基礎和基本工具，選擇合適的變異函數，從而對空間結構和參數進行最優線性無偏估計。克里金插值法分為以下5步：1） 重力場數據的預處理。2）x和y2個方向的實驗方差圖。3） 擬合最優變異函數計算變異函數（半方差函數）的系數。4） 克里金交叉驗證。5） 未知點的克里金估計值。變異函數描述了各個點的空間關系，其表達式如公式（4）所示[4]。

式中：h為點xi到點xi+h之間的距離；n為已知點的總數；G（xi）為點xi的重力值；γ（h）為變異函數。

2.5 改進的二次曲面Shepard插值法

改進的二次曲面Shepard（Modified Quadratic Shepard， MQS）插值法可用于對大規模散亂數據的插值擬合，與距離加權反比插值法相似。改進的二次曲面插值法對領域內外進行主要區分，對進入領域的點進行二次曲面加權運算，領域外的權系數為0，不進行運算。二次曲面函數如公式（5）所示[5]。式中：xi、yi為第i個點的經緯度坐標；ai1、ai2、ai3、ai4和ai5為二次曲面函數的待求系數；Gi為第i個點的重力值；Qi（x）為二次曲面函數。

可以通過最小二乘逼近法對已知點的重力值進行擬合求出。

該文對上述5種方法進行深入分析，根據插值、精度計算復雜度、計算時間以及適用范圍等評價指標對常見的插值方法進行統計，各個方法的優缺點見表1。

表1 插值法的優缺點對比分析

除了上述5種插值方法，目前很多學者將其他領域的插值方法也應用到重力場插值的過程中，提出了一些改進的插值方法，例如廣義抽樣擴展插值法、雙三次孔斯曲面插值法、不等權最小二乘預測插值和窗口移除恢復技術—克里金插值法等，這些方法的插值精度較高，能有效提高重力場的空間分辨率。

3 團隊研究進展

研究團隊從事航天、導航、測繪以及海洋等交叉學科的前沿探索與軍事應用，對衛星重力學、衛星測高學以及水下導航學開展研究，構建了全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖，進而為實現自主、隱蔽和高精度的全球水下導航提供了理論和方法支持。該文將上述5種傳統插值法進行實驗驗證和對比分析，選取我國南海區域（東經115°E～116°E、北緯20°N～21°N）的格網化海洋重力異常數據作為實驗數據（空間分辨率為1′×1′），如圖1所示。

圖1（a）和圖1（b）分別表示研究區域空間分辨率為1′×1′的二維和三維海洋重力異常圖。該區域內海洋異常變化范圍較大，因此不同插值方法的誤差變化也較大。首先，將空間分辨率為1′×1′的實驗數據稀疏為4′×4′；其次，分別用距離加權反比插值法、徑向基函數插值法、樣條函數插值法、克里金插值法和改進的Shepard插值法將空間分辨率為4′×4′的海洋重力異常插值為空間分辨率為1′×1′的海洋重力異常；最后，求得與原始1′×1′的海洋重力異常的誤差，如圖2所示。圖2為用這5種方法對我國南海區域插值后的誤差散點圖，可以看出克里金插值法誤差分布較為集中，誤差最小。插值重構時，為了與原始圖片對比，分析插值后海洋重力異常誤差的大小，在判斷插值方法精度時，一般選用平均誤差（Mean error， ME）和均方根誤差（Root mean square error， RMSE）作為評價指標，計算公式如公式（6）所示[6]。

圖1 分辨率為1′×1′的海洋重力異常圖

圖2的統計結果見表2。根據表2可知，與其他4種插值方法相比，距離加權反比插值法的誤差較大，其平均誤差為1.07×10-1mGal，均方根誤差為2.96 mGal，對應圖2（a）誤差的變化范圍較大，誤差點分布離散。因此，距離加權反比插值法的插值精度較低，插值效果不好。克里金插值法精度最高，平均誤差為3.16×10-2mGal，均方根誤差為1.113 mGal，其誤差較小，插值效果較佳，適用于對海洋重力場的插值重構。

表2 5種插值方法對我國南海區域插值誤差統計

4 結語

重力匹配導航是1種自主無源的導航方式，對潛艇的水下航行具有極其重要的意義。海洋重力基準圖對重力匹配導航精度具有一定的影響。該文對目前常見的重力場插值方法的擬合過程進行研究，通過分析對現有的距離加權反比插值法、徑向基函數插值法、樣條函數插值法、克里金插值法和改進的Shepard插值法進行對比，體現出克里金插值法和樣條函數數插值法對海洋重力異常插值重構的可行性，也為未來構建全球海洋重力場基準圖提供了可行性建議。

圖2 不同方法插值后誤差散點圖