概率論與數理統計課程線上與線下教學設計探討

【摘要】本文以超星系統為平臺，給出了《概率論與數理統計》課程中師生以高效信息交流為目的的線上線下教學設計，充分利用現代化信息技術手段及傳統教學和線上自主學習的學習優勢，尊重學生的主體學習地位，同時添加課程思政元素，在傳授學生知識的同時，培養學生科學的思維方法及正確的價值觀念。

【關鍵詞】線上線下教學? 課程思政? 概率思維與方法

【中圖分類號】G641 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）25-0136-03

《概率論與數理統計》課程是研究隨機現象統計規律性的數學學科，是近代經濟、管理、金融等領域定量化研究的重要數學工具，是全國各高等院校大部分本科專業的公共基礎必修課。它是《統計學》《計量經濟學》等專業課程的先行課程，為后續專業課程的學習奠定基礎。通過本課程學習，使學生掌握概率與數理統計的基本概念、基本理論和基本方法，培養學生運用概率統計方法分析和解決實際問題的能力。

隨著信息時代的發展，除了對學生知識的傳授外，教師還要注重對學生思想政治和價值方向的引領。讓學生初步掌握概率論的基本知識、基本思想和方法的同時培養學生運用知識分析和解決實際問題的能力。同時，引領學生注重理論與實踐相結合，培養其科學精神、家國情懷以及正確的人生觀、價值觀和世界觀。

受疫情的影響，大部分高校的教學實現了線上線下教學的結合，線上線下多渠道的學習式也是大數據時代學習的必然趨勢和要求。隨著信息時代的發展，豐富的網絡課程資源及各種便利的媒介使學習打破了時空的限制，學生的學習方式變得便捷、靈活和多樣。學生學習方式與渠道的改變，對教師的講授方式也提出新要求。若僅在線教學，教師對學生學習狀態及效果依賴于超星平臺中學習數據，而往往學習通里學生的學習數據存在延遲，不利于教師對教學節奏的把控，線上教學也讓師生失去了面對面交流的機會，對于學習不夠主動的學生而言，老師難以監管和把控。線上與線下教學的結合是在充分利用信息化的教學資源下教師能動地發揮傳統課堂的優勢實現高效的教學模式。學生既可以利用網絡資源“處處學、時時學，反復學”，教師亦可采用啟發式、案例式等多種教學方式，在課堂上充分講解知識的難點、重點，師生實時互動。

一、教學設計理念和目標

教學設計的理念和目標是以學生為中心，充分利用傳統教學和線上自主學習的學習優勢，實現教師的引導作用和學生的主體學習地位，以超星系統為平臺，利用線上線下混合教學模式，實現教師傳授與學生學習的高效信息反饋教學。主要體現在以下幾個方面：一是教師利用超星平臺上學生的學習數據，快速及時了解學生學習狀態，學習問題和學習進度;二是教師可根據已有的信息更好地進行教學設計，充分地調動學生學習的能動性，讓學生真正地、能動地參與到課堂中，提升學生課堂學習的獲得感;三是教師根據學生的作業、測驗等快速地進行教學反思和補充，及時針對性地回答學生學習中的疑難點。

二、實現高效信息反饋的實現途徑

（一）按照大綱要求，將知識分層，明晰課前預習任務、目標，通過問卷或測驗有效地收集學生學習中的困惑和難點。

根據課程大綱要求及知識的難易程度，可將教學內容劃分為若干等級，不同等級的知識點采用不同的教學模式。例如對于基本的概念及簡單知識點，可以通過線上微視頻講解推送給學生課前預習，并通過設置合理的測驗檢驗學生的學習情況，同時在平臺中添加文檔材料如思維導圖、實際案例來輔助學生加深對基本定義的理解及應用思考;對于重難點的知識點除了在課前推送學習微視頻外，可在課堂上重點講解，分組討論互動及練習鞏固。

（二）充分利用信息技術，讓課堂知識講授、課堂互動變得高效。

在課堂講授中，可借助各種信息技術手段，將教師的板書同步傳輸到大屏幕上，保證每一位學生都能及時了解教師的講課內容，同時學生課堂上的答題參與情況講師也能及時獲取，了解學生學習的速度和掌握情況。教師在課堂上發揮傳統教學的優勢，利用案例教學、啟發式教學等激勵學生，充分調動學生的主動性、能動性和創造性，增加學生學習的參與感與獲得感。

（三）通過課程思政，提升課堂文化底蘊，提升學生對課程學習的認同感、價值感。

課程思政要實現知識傳授、價值塑造和能力培養的有機統一[1]，課程思政是課堂教學的延展與提升，增加課堂的文化底蘊和趣味性，讓學生在接受知識的同時受到科學的價值觀的引領和優秀的文化熏陶，進而樹立正確的價值觀，培養崇尚科學、頑強拼搏、勇于創新、不斷進取的等優良品德。

例如在講解數學期望概念時，可以通過對“分賭本問題”案例[2]的講解，讓學生體會數學家嚴謹的科學態度，縝密的數學思維;為加深學生對貝葉斯公式的理解，可講解“狼來了”故事生動形象地讓學生感受貝葉斯公式在生活中的應用，進而明白做人應當誠實守信;設伯努利試驗[2-4]中事件發生A的概率p，獨立重復的試驗n次，記隨機變量X為n次試驗中事件A發生的次數，則可知X～B（n，p），且P（X=k）=C■■pk（1-p）■，k=0.01，……，n。若隨機事件A表示某人勤奮努力做事，獲得成功，P（A）=0.01，則由計算可知，當n=400，即某人重復努力400次時，他成功的概率為0.98，這個實例很好地印證生活中的俗語如“鍥而不舍，金石可鏤”“不積跬步無以至千里”“世上無難事，只怕有心人”;若A表示某條謠言被人相信，P（A）=0.01，亦由上述結果可知“謠言能傷人”的事實，告誡學生學會用知識武裝自己的頭腦，不要做人云亦云的傳謠者。

（四）注重概率思想和方法的學習和應用，注重總結和反思，拓展知識的深度，在實踐中檢驗和學習概率思想方法。

概率論與數理統計的方法可以認識生活中一些問題的“必然性和偶然性”。在課堂講解中可通過生活中的實踐案例、數學文化，名人軼事等多種途徑講解概率論與數理統計中思想方法的應用，并鼓勵學生參與社會實踐并從中發現概率知識的應用。如小概率原理作為統計推斷理論中的一個重要而又基本的原理，被廣泛應于日常生活中的各個方面。

同時，鼓勵學生在作業中一題多解，注重概率方法的總結，鍛煉學生不同的思維方式，內化、總結和反思所學知識，建立知識體系，潛移默化地培養學生科學的思維方式。

三、線上線下教學設計

（一）課前線上準備

1.教師根據教學大綱要求將課程內容劃分成為若干等級，偏理論部分（基本概念、公式等）可在超星平臺上按知識點上傳制作微視頻，并插入適量簡單的練習分發給學生，并制定明確的預習任務和目標。理論知識的應用部分可通過選擇恰當的案例或設置問題啟發學生預習。讓學生在課前完成課堂上、課程中基本知識的預習，對基本原理的應有簡單的了解。2.教師在課程開始前完成學生學習小組的分組，在課程開始前在超星平臺完成課程信息化建設，按周次將每次課的案例資料及具體的學習任務以文檔形式發布在超星平臺，最后可通過討論、簡單測驗，問卷等方式收集和了解學生的自主學習情況。

（二）線下課堂活動的組織

1.教師根據課前了解學生的學習情況制定教學方案。對于簡單易懂的基本概念可簡單重復，重點講解學生中有代表性或者共性問題，并幫助和引導學生對知識點的梳理和應用。2.利用線上平臺組織簡單、針對性的練習，通過學生互評、個人展示與團隊協作等方式加深學生對重難點知識的學習和理解。3.授課教師依據重點、難點、疑點，設計一系列“問題鏈”式的問題，用“問題鏈”深化課堂教學。通過“問題鏈”逐漸引導學生進一步思考，使其認識到所學內容的本質和核心思想。4. 教師結合學生知識掌握情況安排適量的任務。各團隊協調合作完成任務，并對知識進行總結、體悟、反思。針對學生的難點，教師有針對性地進行答疑解惑。5.最后，教師系統化梳理整節課內容，對課程進行總結。

（三）課后線上測驗、鞏固和提升

1.布置適量的作業或線上測驗鞏固學習。2.進一步利用網絡平臺，吸收整合精華，擴充資源數量，拓展實踐資源涵蓋領域，嘗試開發設計課程討論區，為學生搭建更寬廣、更便捷的立體化學習資源體系。

四、以“條件概率”的教學為例，線上線下教學展示

（一）課前將條件概率的教學案例資料、知識點講解視頻發布在超星平臺，明確學生預習目標，通過設置討論、簡單測驗等方式了解學生的自主學習情況。

案例：一袋中裝有10個球， 其中3個黑球， 7個白球， 先后兩次從袋中各取一球（不放回），問：

（1）已知第一次取出的是黑球， 求第二次取出的仍是黑球的概率;（2）已知第二次取出的是黑球， 求第一次取出的也是黑球的概率。

問題：（1）如何用條件概率來描述案例中所求的問題？（2）條件概率的定義是什么？（3）如何求解上述問題？

預習目標：通過預習明確條件概率的定義和計算方法，并利用定義和方法思考解決案例中問題。

（二）根據超星平臺學生的學習情況設計課堂講解，針對性地練習與總結

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息（條件）下求事件的概率， 如在事件A發生的條件下，求事件B發生的條件概率，記作P（B|A）.

條件概率的定義：? 設A，B是兩個事件， 且P（A）>0，則稱P（B|A）=為在事件A發生的條件下，事件B的條件概率。

說明：1.相應地，把P（B）稱為無條件概率。一般地，P（B|A）≠P（B）。2.若事件A已發生，則為B也發生，試驗結果必須是既在A中又在B中的樣本點，即此點必屬于AB（可借助韋恩圖），條件概率的實質是在已有的信息的限定下，考慮的樣本點的范圍縮小。

案例的解答：記Ai為事件“第i次取到的是黑球”（i=1，2）.

（1） 在已知A1發生， 即第一次取到的是黑球的條件下， 第二次取球就在剩下的2個黑球、7個白球共9個球中任取一個， 根據古典概率計算， 取到黑球的概率為2/9， 即有P（A2|A1）=2/9。（2）在已知A2發生， 即第二次取到的是黑球的條件下， 求第一次取到黑球的概率， 但第一次取球發生在第二次取球之前， 故問題的結構不像（1）那么直觀。

我們可按定義計算P（A1|A2）更方便一些。

小結：計算條件概率有兩種方法

a） 在縮減的樣本空間A中求事件B的概率，就得到P（B|A）;b）在樣本空間s中，先求事件P（AB）和P（A），再按定義計算P（B|A）。

教師在講解時，根據學生學習情況，通過案例的講解，幫助學生理順學習中的難點。其次，選取好的方法不僅可以簡化學習，更是對科學思維的訓練，鼓勵學生注重方法的學習和選取。

（三）設置適量的練習鞏固學習，在線布置適量的學習資料拓展學生視野

練習：用條件概率計算的兩種方法求解：投擲兩枚骰子，已知兩顆骰子的點數之和為7，求其中有一顆為1點的概率。

五、小結

線上與線下相結合的教學設計，在尊重學生自主學習的同時，讓教師在教學中充分發揮教學所長，在了解學生學習的基礎上，有根據、有計劃的高效組織教學。“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，通過線上線下教學結合高效信息反饋教學設計，教師在引導學生學習的同時，實現教學動態良序循環，實現教師教學相長。

參考文獻：

[1]教育部關于印發《高等學校課程思政建設指導綱要》的通知[N].教育部網站，2020-05-28.

[2]吳傳生.《經濟數學：概率論與數理統計》（第四版），高等教育出版社，2020年12月出版.

[3]車榮強.《概率論與數理統計》，復旦大學出版社，2015年8月出版，第二版.

[4]茆詩松.《概率論與數理統計》（第三版），高等教育出版社，2020年11月出版.

作者簡介：

王星星（1989年1月-），女，講師，博士，現主要從事凸幾何分析理論研究。