SH 波入射下圓弧狀沉積盆地地震反應瞬態(tài)解析解計算1

任 朋 陳三紅 張郁山

1）中國地震局地球物理研究所，北京 100081 2）中國地震災害防御中心，北京 100029

引言

強震動觀測和震害調(diào)查結果均表明，沉積盆地對地震動（尤其是長周期地震動）具有放大效應。基于數(shù)值解的盆地效應研究涉及大規(guī)模數(shù)值計算，尤其是針對較大尺度的盆地。具有規(guī)則幾何形狀的地層結構對地震波散射問題的解析解可用于驗證數(shù)值計算結果精度，是研究局部場地、地形和盆地對地震動參數(shù)放大效應影響的重要理論工具。針對沉積盆地對地震波散射問題，Trifunac（1971）、Wong 等（1974）分別利用波函數(shù)Fourier-Bessel 級數(shù)展開法和Mathieu 級數(shù)展開法，在頻域內(nèi)給出了半圓形和半橢圓形沉積盆地對SH 波散射問題的解析解。針對具有不同深度與寬度比的淺圓形沉積盆地，Todorovska 等（1991）提出了近似的解析解，即利用半徑非常大的圓弧近似模擬水平地表，該方法進一步被拓展應用于該類盆地對P 波、SV 波和Rayleigh 波的散射問題（梁建文等，2001，2003，2006；李偉華等，2004；Li 等，2005）。針對淺圓形沉積盆地對SH 波的散射，Yuan 等（1995）提出了閉合形式的級數(shù)解，有效避免了大圓弧的近似假定。通過利用大圓弧面近似模擬水平地表，梁建文等（2009a，2009b，2010）求解了三維空間中沉積谷地對P 波、SV 波和Rayleigh 波的散射問題。

上述解析解均在頻域內(nèi)給出，可較好地研究沉積盆地對地震動Fourier 譜分量的放大效應，但工程中更關注地震動時域參數(shù)，如峰值加速度（PGA）、峰值速度（PGV）和峰值位移（PGD）及反應譜等。理論上，利用頻域穩(wěn)態(tài)解和Fourier 變換，易獲得時域瞬態(tài)解析解，從而獲得地震動時域參數(shù)。但上述研究中地震波頻率參數(shù)η（盆地寬度與入射波波長比值）≤10.0，無法滿足獲取可靠瞬態(tài)解的要求，如對于寬度1 km 的盆地，假定介質(zhì)剪切波速為1 km/s，如果輸入地震動離散時間間隔為0.01 s，則其Nyquist 頻率為50 Hz，所需η將高達50。針對該問題，張郁山（2010）提出無須求解線性方程組的級數(shù)解法，有效拓展了沉積盆地對SH 波散射問題解析解適用的頻帶范圍。基于張郁山（2010）的研究，本文利用Fourier 變換，獲得該問題的瞬態(tài)解析解，并研究了El Centro 波入射下，沉積盆地對地震動參數(shù)（尤其是長周期參數(shù)）的放大效應。

1 瞬態(tài)響應解析解

本文首先給出圓弧狀沉積盆地在平面SH 波入射下瞬態(tài)響應解析解。沉積盆地模型如圖1 所示。盆地邊界為淺圓弧，其圓心為O1點，半徑為b，盆地半寬為a，深度為h，圓心O1與地表之間的垂直距離為d。盆地內(nèi)沉積介質(zhì)剪切波速為cv，密度為 ρv，剪切模量μv=ρvc2v。半空間介質(zhì)剪切波速為cs，密度為 ρs，剪切模量μs=ρsc2s。所有介質(zhì)假定為均勻、線彈性和各向同性。以圓心O1為原點的坐標系直角坐標為x1和z1，極坐標為r1和 θ1，以盆地地表中心點O2為原點的坐標系直角坐標為x2和z2，極坐標為r2和 θ2。Vi和Vr分別為入射和反射SH 波， γ為入射（反射）角，Vv為 盆地內(nèi)散射波，Vs為半空間外行波。

圖1 沉積盆地模型Fig. 1 Model of alluvium basin

假定入射SH 波幅值為1、圓頻率為ω ，穩(wěn)態(tài)條件下，其時間因子為exp(?iωt)，其位移幅值在x2O2z2坐標系下表達式為：

在以O1為極點、θ1為極角、r1為極徑的極坐標系下，整個自由場位移Vi+r=Vi+Vr可表示為Fourier-Bessel 級數(shù)形式（Abramowitz 等，1972）：

2 結果分析

本文引用穩(wěn)態(tài)級數(shù)解的收斂項數(shù)，隨著無量綱頻率η的增大而增加，如對于深度與半寬比為1/2 的盆地，當η=2時，收斂項數(shù)為26，當η=20時，收斂項數(shù)為157（張郁山，2010）。在本文考慮的頻帶范圍內(nèi)，穩(wěn)態(tài)級數(shù)解均能有效收斂，從而保證了瞬態(tài)動力響應計算結果可靠。基于該瞬態(tài)動力響應的解析解，本文進一步研究沉積盆地對各類時域地震動參數(shù)的放大效應，重點討論空間位置、入射角、幾何參數(shù)和物理參數(shù)等對盆地放大效應的影響。

2.1 盆地不同空間點放大效應及入射角的影響

以某一特定盆地為例，分析盆地不同空間點處地震動參數(shù)放大效應的差異，并討論SH 波入射角對盆地放大效應的影響。

盆地半寬為500 m，深度為250 m，沉積介質(zhì)剪切波速和質(zhì)量密度分別為750 m/s和2 000 kg/m3，半空間介質(zhì)剪切波速和質(zhì)量密度分別為1 000 m/s和2 200 kg/m3。參考點坐標設定為（?1 500 m,0 m），該點處自由場運動假定為以0.2g標定的El Centro 波，其加速度、速度和位移時程曲線分別如圖2（a）、3（a）、4（a）所示。SH 波垂直入射條件下（γ=0°），圖1 所示盆地地表中心點（0,0）處地震反應分別如圖2（b）、3（b）、4（b）所示，邊界點（500,0）處地震反應分別如圖2（c）、3（c）、4（c）所示。由圖2～4 可知，盆地中心點地震動PGA 放大效應不明顯，放大系數(shù)僅為1.05，PGV 和PGD 放大系數(shù)分別達1.30和1.21；盆地邊界點地震動反而有減小趨勢，PGA 放大系數(shù)為0.75，PGV 和PGD 與入射波相近。

圖2 自由基巖、盆地中心點和邊界點地震動加速度時程曲線Fig. 2 The time history curve of ground motion acceleration of free bedrock, central point and boundary point of basin

圖3 自由基巖、盆地中心點和邊界點地震動速度時程曲線Fig. 3 The time history curve of ground motion velocity of free bedrock, central point and boundary point of basin

圖4 自由基巖、盆地中心點和邊界點地震動位移時程曲線Fig. 4 The time history curve of ground motion displacement of free bedrock, central point and boundary point of basin

該盆地不同地表點地震動反應譜（阻尼比為5%）與自由場地震動反應譜之間的譜比曲線如圖5 所示。圖5 中，實線表示盆地內(nèi)部點結果，點線表示盆地外部點（盆地外部點范圍為500 ＜|x2|＜1 000）結果，紅色粗實線表示盆地中心點結果。由圖5 可知，盆地中心點譜比最大值達1.57，其對應的周期TP=0.24 s（本文將其定義為卓越周期），且該譜比曲線在＞1.0 s的周期范圍出現(xiàn)1 個放大系數(shù)接近1 .6的較大峰值點。當周期為0.24～1 s 時，盆地內(nèi)部大部分點譜比均＜1 .0，盆地外部大部分點譜比＜1 .0。

圖5 垂直入射下盆地地表地震動反應譜譜比曲線簇Fig. 5 The spectral ratio curve cluster of ground motion response spectrum under vertical incidence

不同入射角條件下（γ=0°, 30°, 60°, 90°）盆地地表地震動參數(shù)放大系數(shù)空間變化曲線如圖6 所示。由圖6 可知，在垂直入射條件下，盆地內(nèi)部點具有較顯著的放大效應；在斜入射條件下，盆地對地震動的放大更多出現(xiàn)在背波面（x2＞0），且主要分布在盆地邊緣附近。

圖6 不同入射角下地震動參數(shù)放大系數(shù)空間變化曲線Fig. 6 The spatial variational curve of ground motion parameters amplification factor at different incident angles

2.2 盆地特性對放大效應的影響

以SH 波垂直入射條件下，盆地地表中心點地震動參數(shù)放大系數(shù)為指標，分析盆地自身動力特性對放大效應的影響，重點討論盆地尺度、沉積層厚度和介質(zhì)力學參數(shù)等因素的影響。其中，自由場地震動依然假定為El Centro 波，參考位置為盆地左側距中心點3倍盆地半寬處。

2.2.1 盆地尺度

將盆地半寬由0.5 km增至5 km，盆地深度始終取為半寬，盆地內(nèi)、外介質(zhì)剪切波速分別取為1.5 km/s和2.5 km/s，質(zhì)量密度分別取為2 100 kg/m3和2 300 kg/m3。不同寬度盆地地表中心點處地震動PGA、PGV 和PGD 如圖7 所示，由圖7 可知，半寬＜0.76 km的較小尺度盆地對PGA 放大效應明顯，放大系數(shù)高達2.13；半寬為1～1.57 km的中小尺度盆地對PGV 放大效應較顯著，放大系數(shù)高達1.89；半寬＞1.6 km的較大盆地對PGD 放大效應顯著，放大系數(shù)高達1.83，這是因為盆地尺度越大，其對長周期地震波的放大效應越強，而地震動PGD 受長周期成分控制。

圖7 地震動峰值放大系數(shù)與盆地寬度關系曲線Fig. 7 The relationship curve between the peak amplification factor of ground motion and the width of basin

小盆地（半寬0.5 km）和大盆地（半寬5 km）地表中心點地震動與自由基巖地震動相對位移反應譜曲線如圖8（a）所示，小盆地（半寬0.5 km）和大盆地（半寬5 km）地表中心點地震動譜比曲線如圖8（b）所示。由圖8（a）、8（b）可知，小盆地對地震動反應譜的放大效應主要出現(xiàn)在周期＜1.64 s，其在極高頻處的譜比高達2.15；周期＞1.64 s時，大盆地對長周期反應譜具有顯著的放大效應，譜比高達2.31，對于位于較大型盆地上的基本自振周期較長的工程結構，對結構變形和承載力提出更高要求，結構抗震分析應重視該類放大效應。譜比曲線卓越周期與盆地半寬的關系曲線如圖8（c）所示，譜比最大值與盆地半寬的關系曲線如圖8（d）所示，由圖8（c）、8（d）可知，隨著盆地尺度的增大，卓越周期有增大趨勢，譜比最大值在大部分情況下＞2 .0。

圖8 盆地寬度對其放大效應的影響Fig. 8 The effect of basin width on its amplification

綜上所述，盆地尺度對地震動參數(shù)放大效應具有顯著影響，這種放大效應在實際工程中應引起足夠重視，尤其是對于位于大型盆地上的超高層建筑、大型儲液罐和大跨度橋梁等結構，其抗震分析應充分考慮盆地對長周期地震動參數(shù)的放大效應。

2.2.2 盆地沉積層厚度

盆地半寬取為1 km，沉積層介質(zhì)和半空間介質(zhì)力學參數(shù)與前文相同，沉積層厚度由0.4 km增至1 km （即半圓形盆地），不同地震動參數(shù)放大系數(shù)與沉積層厚度關系曲線如圖9（a）、9（b）所示。由圖9（a）、9（b）可知，對于較小型盆地，沉積層厚度對中長周期地震動參數(shù)（PGV 和1.0 s 反應譜）和長周期地震動參數(shù)（PGD 和6.0 s 反應譜）放大系數(shù)的影響較小，高頻地震動參數(shù)（PGA 和0.1 s 反應譜）放大系數(shù)隨沉積層厚度的變化較劇烈，但未呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢。其他參數(shù)不變，盆地半寬取為5 km、沉積層厚度由2.5 k m增至5 km，不同地震動參數(shù)放大系數(shù)與沉積層厚度關系曲線如圖9（c）、9（d）所示。由圖9（c）、9（d）可知，隨著盆地尺度的增大，沉積層厚度對中長周期和長周期地震動參數(shù)放大效應的影響逐漸顯著，其對長周期地震動參數(shù)的放大效應顯著高于小盆地。

圖9 不同盆地寬度條件下深度對地震動放大系數(shù)的影響Fig. 9 The effect of depth on ground motion amplification factor under different basin widths

2.2.3 盆地沉積介質(zhì)剪切波速

盆地半寬取為1 km，沉積介質(zhì)厚度取為0.5 km，半空間剪切波速和質(zhì)量密度分別為2.5 km/s和2 300 kg/m3。沉積介質(zhì)質(zhì)量密度統(tǒng)一取為2 100 kg/m3，其剪切波速由1.3 km/s增至2.3 km/s。不同地震動參數(shù)放大系數(shù)與沉積介質(zhì)剪切波速關系曲線如圖10 所示。由圖10 可知，隨著沉積介質(zhì)剪切波速的增大，地震動參數(shù)放大效應呈減小趨勢，這是因為沉積介質(zhì)剪切波速越小，沉積介質(zhì)與下臥半空間介質(zhì)之間的阻抗比越大，在二者交界面處，將有更多的下行地震波反射至盆地內(nèi)部，盆地內(nèi)散射波復雜的干涉效應將造成地表地震動更大的放大效應。

圖10 盆地沉積介質(zhì)的剪切波速對地震動放大系數(shù)的影響Fig. 10 The effect of shear wave velocity of alluvium medium on ground motion amplification factor in basin

3 結論

本文基于SH 波入射下沉積盆地動力響應寬頻帶穩(wěn)態(tài)解析解，利用Fourier 變換，得到瞬態(tài)解析解，并研究沉積盆地對地震動參數(shù)的放大效應，得出以下結論：

（1）盆地對地震動參數(shù)的放大主要發(fā)生在盆地內(nèi)部，相比自由基巖地震動，盆地外部一定范圍內(nèi)地表地震動反而出現(xiàn)減小現(xiàn)象，且在斜入射條件下，盆地對地震動參數(shù)的放大區(qū)域主要出現(xiàn)在背波面。

（2）盆地尺度對地震動參數(shù)放大效應具有顯著影響，隨著尺度的增大，譜比曲線卓越周期增大，且大尺度盆地對長周期反應譜的放大系數(shù)高達2.31。因此，進行位于大型盆地上的超高層建筑、大型儲液罐和大跨度橋梁抗震設計時，應充分考慮盆地放大效應對設計地震動參數(shù)的影響。

（3）盆地沉積層厚度和沉積介質(zhì)剪切波速均對地震動參數(shù)放大效應具有一定影響。此外，本文僅考慮El Centro 波輸入下的盆地效應，事實上，輸入地震動不同時會對分析結果產(chǎn)生一定影響。因此，建立盆地地震動參數(shù)放大效應工程評估模型時，應綜合考慮多因素的不確定性對模型的影響。