具有符號式正解的降耦沖壓機構動力學建模與分析

沈惠平 黃凱偉 鄧嘉鳴 尤晶晶 楊廷力

(1.常州大學現(xiàn)代機構學研究中心, 常州 213016; 2.南京林業(yè)大學機械電子工程學院, 南京 210037)

0 引言

目前，國內(nèi)外學者在并聯(lián)機構的型綜合、運動學及其性能等方面的研究較多[1-4]，而有關動力學的研究相對較少。常用的動力學分析方法有動力學普遍方程[5-6]、Newton-Euler法[7-8]、Lagrange方程[9-10]、Hamilton正則方程[11]、Kane方法[12-13]等。

陳修龍等[5]利用動力學普遍方程推導了4-UPS+1-UPU并聯(lián)機構的動力學模型；KALANI等[6]基于虛功原理，提出一種能夠減少計算時間、提高精度的改進型動力學普遍方程，并對6-UPS Gough-Stewart機構進行了正逆動力學分析；SHIAU等[7]采用Newton-Euler法對3-RPS混聯(lián)機構進行動力學建模；李研彪等[8]在考慮關節(jié)摩擦效應的情況下，采用Newton-Euler法建立了5-PSS+1-UPU并聯(lián)機構的動力學模型，并進行數(shù)值仿真驗證；LEBRET等[9]利用Lagrange方程對Stewart機構進行動力學分析和控制；THANH等[10]通過Lagrange方法解決了冗余并聯(lián)機構的動力學建模問題；尤晶晶等[11]利用Hamilton正則方程，對并聯(lián)式六維加速度傳感器進行了動力學研究；于影等[12]基于Kane方程，建立了6-RUS型并聯(lián)機構的逆動力學模型，并以此實時調(diào)整對接喇叭口的位姿狀態(tài)；鹿玲等[13]采用計算效率較高的Kane方法建立了5UPS/PRPU并聯(lián)機床的動力學模型，以解決冗余驅(qū)動并聯(lián)機構的驅(qū)動力協(xié)調(diào)問題。此外，工業(yè)上許多場合需要結構簡單、少驅(qū)動源的并聯(lián)機構。沈惠平等[14-15]提出少輸入-多輸出并聯(lián)機構的概念及其系統(tǒng)的設計方法，并發(fā)明了大量少輸入-多輸出并聯(lián)機構及操作手(含單自由度多輸出的并聯(lián)機構)[16-18]，還研制了系列基于單輸入多輸出(1T2R、2T2R、3T1R)的并聯(lián)機構的并聯(lián)振動篩樣機[19-20]。

沖壓機構是一種高效的自動化成型設備。目前，對沖壓機構的結構參數(shù)優(yōu)化設計、運動分析和特性研究較多[21-23]，而對新型沖壓機構的動力學分析相對較少[24-25]。文獻[26]提出一種單輸入雙滑塊輸出的平面沖壓機構，并進行了尺度綜合，該機構屬于平面型單自由度兩輸出的并聯(lián)機構[16]。

Newton-Euler法需對構件逐個進行受力分析，其分析過程較為繁瑣，但可方便計算各構件的支反力，以便進行強度設計。文獻[27]提出基于Newton-Euler原理的序單開鏈法(簡稱：N-E序單開鏈法)，該方法將機構拓撲分解及其耦合度κ貫穿于運動學、動力學的一體化建模與求解中，其思路清晰，求解過程簡潔。

文獻[28-29]運用該方法，分別對三自由度的平面并聯(lián)氣液動連桿機構、平面三自由度并聯(lián)機構進行了動力學分析；由于這2種機構的耦合度κ均為1，故只能得到其位置數(shù)值解，速度、加速度分析也較復雜，從而使動力學計算較為繁瑣，這兩種平面機構均僅含1個子運動鏈(Sub-kinematic chain，SKC)；尚未對該方法與其他傳統(tǒng)的動力學分析方法(Newton-Euler法、Lagrange法等)進行動力學建模精度的比較分析，因此，難以判斷N-E序單開鏈法的求解精度。

本文對文獻[26]提出的機構進行拓撲降耦優(yōu)化，設計一種零耦合度、具有符號式正向運動學的、含3個SKC的單輸入雙輸出沖壓并聯(lián)機構，對其進行拓撲分析后，進行運動分析(按拓撲結構分解的正序)。因耦合度κ=0，故無需設定虛擬變量，計算簡便。采用N-E序單開鏈法(按拓撲結構分解的逆序)對該機構進行動力學建模，求解機構構件的動態(tài)支反力和驅(qū)動力矩，并對比分析該方法和Lagrange法在動力學建模精度上的誤差。

1 機構設計和拓撲分析

1.1 研究背景

文獻[26]提出的單輸入雙滑塊輸出的平面八桿沖壓機構，如圖1所示。

它由一個平面Ⅱ級桿組(2-3)和一個平面Ⅲ級桿組(4-5-6-7)組成，其中，滑塊3(P1)為主沖壓頭，滑塊6(P2)為輔助推料器，其余8個關節(jié)均為轉(zhuǎn)動副(A～H)。

顯然，該機構包含3個回路的獨立位移方程數(shù)ξLi=3。由整周自由度公式[30]可得

因此，該機構僅需要一個原動件(桿1)，當沖壓頭3沿v1方向向下沖壓時，輔助推料器6沿v2方向完成自左向右的待沖壓物料的自動推送，從而完成自動沖壓，而不需要人工送料，保證了人身安全。

根據(jù)單開鏈的約束度計算公式[30]，各回路的約束度Δi(i=1，2，3)分別為：

(1)第1回路由A-B-C-P1構成

根據(jù)最小子運動鏈(SKC)的劃分原則，由A-B-C-P1構成第1個SKC，其耦合度[30]為

(2)第2回路由D-E-F-P2構成

(3)第3回路由G-H構成

因此，由第2、3回路構成第2個SKC，其耦合度為

1.2 機構降耦設計及其拓撲分析

降低機構的耦合度可直接降低機構運動學、動力學分析求解的難度，為此，文獻[31]提出并聯(lián)機構結構降耦原理及其設計方法，本文運用其中的“基于運動副復合方法”，將機構第2回路中的運動副D、E合并，得到的改進優(yōu)化機構如圖2所示，即可將機構的耦合度從1降到0；降耦后，機構各回路的約束度計算具體為：

A-B-C-P1為第1回路，即SOC1，可得

D-G-H為第2回路，即SOC2，可得

G-F-P2為第3回路，即SOC3，可得

可知，拓撲降耦后機構包含3個SKC，分別為SKCi(i=1，2，3)，其耦合度均為零。因此，機構耦合度為零，從而使得新機構具有符號式正向運動學，方便了動力學分析求解。

2 運動學分析

2.1 位置正解

如圖3所示，以點H為原點、水平機架方向作為x軸，建立直角坐標系。

設桿1為曲柄，其輸入角為φ，驅(qū)動力矩為M；各個二副桿的長度為li(i=1,4,5,7)；三副構件2為等腰三角形，腰長(BD、DC)為l8，底邊長(BC)為l2；mi為第i個構件質(zhì)量，Ii為第i個構件繞其質(zhì)心Si的轉(zhuǎn)動慣量；設桿BC、DG、GH、GF與x軸正方向的夾角分別為φ1、φ2、φ3、φ4。

基于拓撲特征的機構運動學建模與求解方法[33-34]，具有求解原理簡單、解題思路清晰、計算量少等優(yōu)勢；本文將該方法用于將該機構的位置正解求解，即將該機構轉(zhuǎn)換為其3個SKC各自位置的正解求解。

(1)SKC1(A-B-C-P1)的求解

設A=(m，n)，則有

B=(m+l1cosφ,n+l1sinφ)
C=(m,n+l1sinφ-l2sinφ1)
D=(m+l8cos(θ+φ1),YC+l8sin(θ+φ1))
l1cosφ=l2cosφ1

(1)

(2)SKC2(D-G-H)的求解

分別求得φ2、φ3及點G的位置為

(2)

(3)

G=(l7cosφ3,l7sinφ3)

(3)SKC3(G-F-P2)的求解

求得點F坐標為

F=(l7cosφ3-l5cosφ4,0)

設計機構時，取桿長l5=l7，則有

φ4=π-φ3

(4)

設各桿件質(zhì)心位于其幾何中心，則易得其質(zhì)心Si(i=1，2,…，7)的位置為

至此，SKCi(i=1，2，3)中各個運動副的位置均可表示為輸入角φ的解析函數(shù)，便于后面速度、加速度的解析計算。

2.2 速度、加速度分析

因桿1、7僅繞定軸轉(zhuǎn)動，滑塊3、6僅做移動，其(角)速度、(角)加速度為

其他構件的運動可分解為質(zhì)心沿x、y向的分運動，以及繞垂直于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動，即

由于降耦機構具有符號式位置正解，因此，容易求得機構的符號式(加)速度；運用Matlab編程得到滑塊3速度、加速度的理論計算值，與ADAMS仿真值進行對比，如圖4所示，表明該機構的運動學模型及求解過程正確。

3 基于N-E的序單開鏈法動力學分析

3.1 基本原理

本文研究的降耦優(yōu)化機構，因其耦合度κ=0，所以，無需設立虛擬變量，即可直接求解3個SKC內(nèi)的支反力，求解容易、方便。

3.2 動力學分析

由2.2節(jié)，可依次計算出3個SKC中各構件的慣性力fi和慣性力矩Mfi為

式中asix、asiy——第i個構件質(zhì)心Si的x、y向加速度

Ii——第i個構件繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

αi——第i個構件角加速度

(1)SKC3(G-F-P2)的受力分析

桿GF、滑塊6的受力分析如圖5所示。

桿GF的力與力矩平衡方程為

(5)

對滑塊6進行分析，有

RFX=-m6a6

(6)

由式(5)、(6)，可解出運動副G、F上的支反力RGX、RGY及RFX、RFY。

(2)SKC2(D-G-H)的受力分析

桿GH、GD的受力分析如圖6所示。因運動副G是復合鉸鏈，設R1GX、R1GY及R2GX、R2GY分別為桿GH、GD上運動副G處的支反力。

桿GH、GD的力與力矩平衡方程為

(7)

運動副G的靜力平衡方程為

(8)

由式(7)、(8)，求解一個八元一次方程組，可得SKC2內(nèi)兩桿上的未知支反力RDX、RDY。

(3)SKC1(A-B-C-P1)的受力分析

構件2、滑塊P1及曲柄AB的受力分析，如圖7所示。

構件2的力與力矩平衡方程為

(9)

滑塊3的力平衡方程為

RCY+m3g=m3a3

(10)

曲柄AB的力與力矩平衡方程為

(11)

由式(11)，即可求出曲柄AB的驅(qū)動力矩M。

3.3 計算實例

降耦拓撲優(yōu)化后，沖壓機構的尺寸參數(shù)如表1所示。已知驅(qū)動副角速度ω1為1 rad/s。

表1 八桿平面沖壓機構的尺寸參數(shù)Tab.1 Dimensional parameters of eight-bar plane punching mechanism

由式(5)～(11)，通過Matlab編程計算，可得各運動副的支反力變化曲線，如圖8～10所示；驅(qū)動力矩M曲線，如圖11中的紅線所示。

將虛擬樣機導入到ADAMS中，并施加每個構件的重力；同時，選取仿真步長0.01 s，仿真時間為10 s，求得虛擬樣機的驅(qū)動力矩M仿真曲線，如圖11中的綠線所示。

由圖11可知，理論計算值與仿真值的曲線相吻合，表明基于N-E序單開鏈法的動力學建模正確，N-E序單開鏈法有效。

在驅(qū)動副隨機輸入頻率信號的情況下，驅(qū)動力矩M理論值與仿真值誤差很小。因此，基于N-E的序單開鏈法具有較好的有效性。

4 基于N-E序單開鏈法的動力學建模精度

4.1 基于Lagrange方程的動力學分析

4.1.1構件動能和勢能分析

二副桿1、7動能分別為

(12)

滑塊3、6動能分別為

(13)

作平面運動的構件2、4、5動能分別為

(14)

(15)

(16)

由式(12)～(16)可得，系統(tǒng)總動能為

(17)

進一步，約定x軸所在平面為零勢能面，易得各構件的勢能為

Ui=migYsi(i=1, 2, …, 7)

(18)

因此，系統(tǒng)總勢能為

(19)

4.1.2Lagrange動力學模型及其計算

該機構的Lagrange函數(shù)為

L=T-U

在不考慮摩擦等其他外力作用的情況下，根據(jù)虛功原理，驅(qū)動力矩M所做的虛功之和δw=Mδφ=Qjδφ，主動力對應的廣義力即為驅(qū)動力矩M。因此，該機構的拉格朗日方程可表示為

(20)

將式(17)、(19)及表1中參數(shù)代入式(20)，同樣，運用Matlab與ADAMS，分別得到驅(qū)動力矩M的理論計算值與仿真值如圖12所示。

4.2 與Lagrange建模方法分析誤差的比較

由圖11、12得到基于N-E的序單開鏈法、Lagrange法兩種不同建模方法的驅(qū)動力矩M曲線理論值，將其理論值分別與ADAMS的仿真值進行比較，將兩種不同建模方法得到的驅(qū)動力矩M曲線的誤差，分別擬合成曲線Ⅰ(基于N-E單開鏈法理論值與ADAMS仿真值誤差)和Ⅱ(Lagrange法理論值與ADAMS仿真值誤差)，如圖13所示。

由圖13可知，曲線Ⅰ的最大正誤差、最大負誤差絕對值均明顯小于曲線Ⅱ的相應誤差，例：曲線Ⅰ、Ⅱ的最大正誤差分別為0.460 8、0.692 8 N·mm，前者比后者小33.4%；曲線Ⅰ、Ⅱ的最大負誤差分別為-0.450 2、-0.666 6 N·mm，前者比后者小32.4%；即曲線Ⅰ的絕對誤差范圍比曲線Ⅱ的絕對誤差范圍小32.9%，表明在將ADAMS的仿真值作為標準值的情況下，曲線Ⅰ的誤差小于曲線Ⅱ的誤差，即基于N-E的序單開鏈法具有更高的計算精度。

結果表明：對本文的優(yōu)化沖壓機構而言，采用基于N-E的序單開鏈動力學建模方法，具有較高的精度。

5 結論

(1)通過拓撲降耦優(yōu)化提出并設計一種零耦合度單輸入雙滑塊輸出的沖壓機構，該機構在主沖頭滑塊向下沖壓時，推料滑塊能自動完成送料。給出了該機構的符號式正向運動學，方便了動力學計算與分析。

(2)分別采用基于N-E的序單開鏈法和Lagrange法建立該機構的逆向動力學模型，計算得到了驅(qū)動力矩的理論值，并通過ADAMS動力學仿真驗證了動力學模型及求解方法的正確性、有效性與普適性。

(3)將基于N-E的序單開鏈法用于具有工業(yè)應用背景的、含多個(3個)子運動鏈的平面多桿機構，且與Lagrange法動力學建模引起的誤差進行了對比，表明其建模精度較高。