基于U變換的單片梁抗彎剛度識別分析

楊雨厚　譚鋒

摘要：為識別單片梁抗彎剛度，文章基于U變換法，將梁體均勻分段并擴展，構造一個等效的循環周期結構系統，在外加力的作用下建立控制方程，再對控制方程應用U變換法推導出任意位置截面轉角的表達式，建立關鍵截面轉角與單片梁抗彎剛度之間的關系方程組，反向求解出梁體抗彎剛度值，并在此基礎上，通過數值模擬方法驗證了該識別方法的可靠性。

關鍵詞：單片梁;轉角;抗彎剛度;U變換

0 引言

預制拼裝梁是中小橋梁采用的主要橋型[1-4]。針對該類型橋梁的質量控制，在梁場進行單片預制梁靜載試驗是常被采用的檢驗方法。然而，目前單梁靜載試驗方法[5-8]雖采集了大量數據，但僅是與理論值進行對比來判斷梁體質量，隱含在數據中的大量信息未被充分挖掘出來。基于此，本文探索采用新方法從靜載試驗數據中得到更多結構信息。

U變換法被廣泛應用于周期結構的分析研究[9-10]，具有給出結構控制方程相應的精確解析解的優點，是循環周期結構理論分析的一種可靠手段。本文采用有限元法和U變換法綜合進行分析研究。為構造具有結構上循環周期性的等效系統，需對單片梁進行對稱擴展。同時為求得降階后的用廣義位移表示的控制方程，需依據有限元法給出結構的控制方程，通過U變換法對撓度、轉角變量進行變換。進一步地，以集中荷載作用下的單片梁為例，推導出任意位置截面轉角的表達式。最后，結合橋梁關鍵部位的結構位移，推導出實際橋梁的剛度值與具體集中力值的大小。

1 理論推導

一片材質均勻的等截面簡支單片梁，其長度為L，采用有限元“分割”的思想對其進行等分，劃分為n個相同單元，每個單元的長度均為a。通過對單片梁的劃分，可以把其等效為有n個子系統的周期性結構，j表示單元的編號，f1、f2…fn表示單片梁所受的荷載，如下頁圖1所示。

U變換法需要在圖1所示的簡支單片梁基礎上，構造一個等效的循環周期系統。首先去掉簡支梁右邊的支座，再在右邊支座處進行結構擴展，在擴展結構上作用與原結構反對稱的荷載，構造出擁有2n個子系統的周期性結構，如圖2所示。在構造出的新結構中，其左半邊梁和原結構的邊界條件、荷載情況和結構屬性完全一致，因此圖2結構是圖1簡支梁的等效結構。當單片梁劃分的單元數n→∞時，擴展結構的左右兩端可以看作相互連接在一起，從數學的角度來說，圖2結構是左右兩端相互連接在一起的具有2n個子結構的循環周期結構。

為求解控制方程，先做以下假設：

（1）已知荷載作用在每個單元的中間，并關于單元正對稱;

（2）分段內每個單元的抗彎剛度相等;

（3）不考慮質量損傷。

對于劃分n個等長度單元后的簡支單片梁，第j1個單元中心（a1=a2）受到集中力作用，如圖3所示。

通過式（25），可以求解出單片梁劃分的任意單元的左節點位移（包括撓度和轉角）。

2 轉角系數與平衡方程的確定

2.1 通用平衡方程的確定

一片材質均勻的等截面簡支單片梁，其長度為L，劃分為n個相同單元，在各個單元跨中截面位置分別施加任意大小的集中力，如圖4所示。根據線性疊加原理，則有下式成立：

2.2 實例分析

設單片梁為C50混凝土簡支梁，截面寬和高均為0.10 m（截面抗彎剛度數值為287.5 kN·m），計算跨徑為4.00 m。從上節理論推導可知，結構中某單元左右兩端的位移受到力作用位置以及荷載大小的影響。本節先討論作用在簡支梁某單元上的集中力對各個單元左右兩端位移的影響。將單片梁按計算跨徑四等分，在各個單元跨中截面位置分別施加1 kN的單位集中力，通過U變換法計算此時梁支點及四分點截面轉角值。結構受力圖見圖5。為求解不同單元位置力對節點位移的影響，通過式（25）由mathematica求解出關于EI（該梁抗彎剛度）的各節點轉角位移，詳見表1。

3 有限元數值方法驗證

根據上一小節的介紹，使用通用程序建立有限元計算模型，分別考慮在單個力、兩個力、多個力作用下的荷載工況。在已知單片簡支梁總的作用力，以及有限元求得各個節點轉角的基礎上，代入式（27）來驗證U變換法的可行性。

3.1 單個力作用時有限元數值方法驗證

在3 #單元跨中作用0.7 kN的力，通過有限元方法計算此時梁劃分單元的各個節點的截面轉角值。結構受力圖見圖6。

在單個力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值和3 #單元跨中集中力的大小分別與有限元模型中設置材料的抗彎剛度值和施加的力值相對誤差為+0.19%、+0.19%，驗證了U變換法是有效且準確的。

3.2 兩個力作用時有限元數值方法驗證

在2 #、4 #單元跨中分別作用0.5 kN和0.8 kN的力，通過有限元方法計算此時梁劃分單元的各個節點的截面轉角值。結構受力圖見圖7。

在兩個力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值與有限元模型中設置材料的抗彎剛度值相對誤差為+0.15%，2 #、4 #單元跨中集中力的大小與有限元模型中施加的力值大小相對誤差分別為+0.20%、-0.17%，驗證了U變換法是有效且準確的。

3.3 多個力有限元數值方法驗證

在1 #、2 #、3 #和4 #單元跨中分別作用1 kN、0.5 kN、0.7 kN和0.8 kN的力，通過有限元方法計算此時梁劃分單元的各個節點的截面轉角值。結構受力圖見圖8。

在多個力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值與有限元模型中設置材料的抗彎剛度值相對誤差為+0.03%，1 #、2 #、3 #、4 #單元跨中集中力的大小與有限元模型中施加的力值大小相對誤差分別為+0.08%、-0.15%、+0.24%、-0.21%，驗證了U變換法是有效且準確的。

4 結語

本文采用U變換法，對單片等截面簡支梁進行了解析分析，推導出單片梁在集中力作用下各個節點位移的解析表達式，提出了一種基于靜力荷載作用下測試轉角的抗彎剛度識別方法。同時，以某一片簡支單梁為例，采用U變換法通過mathematica計算出各個節點的轉角系數，然后采用平衡方程求解得到作用力的大小和單片梁的抗彎剛度，并利用有限元模型驗證了該方法的可靠性。U變換法具有清晰的理論基礎，不須知道單片梁的材料特性、配筋和截面尺寸等，只需提供單片梁在集中荷載作用下的實測轉角值，即可求出該梁的抗彎剛度。集中力的數量對抗彎剛度的識別有一定影響，識別誤差隨集中力數量的增加而減小。該方法可用于單片梁靜載試驗的結果評估，下一步將探索該方法在變截面梁中的應用。

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