基于泰勒級數展開及其應用探討

王從徐

（滁州城市職業學院教育系 安徽滁州 239000）

泰勒級數是復變函數的重要知識點，常出現在諸如求解算符、微分方程初值、數值法、概率、近似值等實際問題中的應用。[1]如臧景才等[2]提出基于DV-Hop測距修正的泰勒級數擴展的定位算法，通過估值運算大大降低誤差。隨著復變函數廣泛應用起來，在我國許多高校老師都在研究泰勒級數的應用，同時也是成為了非常重要的數學工具，許多實際問題的解決依賴于對泰勒級數的使用。[3]張威等[4]利用衛星間干擾信號，提出一種基于泰勒級數展開的干擾源定位算法并建立FDOA模型。謝冬冬等[5]在非解析復變系統中通過泰勒展開式提出一種快速求取系統的極限功率和臨界電壓的方法。本文通過收集資料和在許多數學研究工作者的重要成果基礎上，綜述解析函數展成泰勒級數的幾種方法和應用，并提出對于這幾種方法的理解，同時推導出一種新的解析函數展成泰勒級數方法與應用，為泰勒級數在數學函數研究中提供可值得參考價值的見解與研究成果。

1 函數展開成泰勒級數的方法

1.1 直接求泰勒系數法

1.2 代換法

1.3 冪級數的除法和乘法

冪級數的除法一般用于分式中，分式中分子和分母的式子都可以展開成冪級數。解題步驟是：先把分子和分母的式子單獨展開成冪級數，然后再相除。而冪級數的乘法一般用于兩數相乘中，在函數中兩個數可以展開成泰勒級數。解題步驟是：先把兩個數各自展開成泰勒級數，最后再把兩個數相乘。

1.4 待定系數法

待定系數法是一類可以根據多項式待定系數求解未知數的方法。首先需要把原等式轉化為待定系數的新型等式，然后在原來等式的基礎上構建包含待定系數的方程組，再對方程組進行求解，過程中需要轉變方程式的結構，或代入或合并，將待定系數消除最終得到未知數的解。

1.5 部分分式法

有理數式是指兩個多項式的商所示的函數，其一般形式為：時，根據同冪項系數相等的原理，可以求出一組包含待定系數的線性方程，所求出的方程組的解即是所要求的系數。完成部分分式分解后，把函數展成泰勒級數。

2 泰勒級數展開在函數中的應用

2.1 泰勒級數在高階導數中的應用

2.2 泰勒級數在近似計算中的應用

2.3 泰勒級數在求積分值中的應用

從上述可以看出利用泰勒級數可以精確地計算出反常積分的值，但它僅適用于平常熟悉幾個式子泰勒級數時，就可以考慮要泰勒級數。

2.4 泰勒級數在求極限中應用

解：由泰勒展示得：

3 結論

綜上所述，通過總結解析函數展成泰勒級數的5種方法和泰勒級數的4種應用舉例充分說明在學習高等數學過程中對于泰勒級數的學習與運用是非常重要的。但并不是說只要學會一種泰勒級數展開的方法就能夠解決任何一道題，而是需要根據不同的數學函數構成與展開方式運用不同的級數展開方法，因此需要深入地學習泰勒級數的原理、定理，視情況不同運用不同的級數展開求解。本文通過運用實例，一方面體現了泰勒級數的展開在計算中應用的簡明性、直觀性，另一方面也體現復變函數和數學分析之間深刻聯系。總之，泰勒級數展開在數學教學以及各個領域的應用中都是十分重要的數學武器，在面對復雜的數學函數分析中起到至關重要的作用。