溝通聯系 突出思想
——“雞兔同籠”問題的教學思考與實踐

○李 靜

“雞兔同籠”最早記錄于我國的古書《孫子算經》之中。此問題在多個版本教材中都有涉及。教材注重引導學生用猜測、列表枚舉、假設法（算術解法）等方法解決問題（部分教材呈現方程解法），體現了解決問題方法的多樣化。

之前學生已有用猜測、列表枚舉解決問題的經驗，因此教學時，在簡單的猜測和列表后，教師都要花大量的精力用圖形、動畫等手段教學假設法。假設籠中全是雞，根據條件推理計算出有幾只雞、幾只兔。但是，為什么要假設全是雞呢？學生往往不去想或想不明白這一問題，而是被動地照著去假設。

波利亞在《怎樣解題》中提出：“教師應當把自己放在學生的位置上，了解學生是怎么想的，然后順勢提出一個問題或建議，而這正是學生自己原本應該想到的。”筆者嘗試引導學生最大限度地參與問題解決的過程，建立各種解法的聯系，讓他們順勢想到假設法。

一、猜測調整，數形結合嘗試解決問題

引導學生借助畫圖、符號等手段分析數量關系，根據頭的數量和隱含的條件猜測一組數據，嘗試求解問題。

師：可以從8 個頭的條件出發，假設一組數據，看能否滿足26 只腳的條件。

生：假設有4 只雞、4 只兔，共有4×2+4×4=24（只）腳。

師：你可以畫圖表示一下剛剛的假設嗎？

師：少了2 只腳，沒有得到正確結果，你能調整一下找到正確答案嗎？

生：少了26-24=2（只）腳。說明兔子實際的數量比假設的要多。因為每只兔子比每只雞多2 只腳（隱含條件），2÷2=1（只），再調整兔子和雞的數量，加1 只兔，4+1=5（只）兔，減少1 只雞，4-1=3（只）雞。

師：怎樣畫圖表示剛剛的調整過程？

師：還可以怎樣假設？怎樣調整？你能邊畫圖邊說明嗎？

教師引導學生將語言表述、畫圖及符號表示（列算式）有機結合起來。在學生想不清楚的地方，教師適時提問或引導其他學生質疑、補充。如：你能解出這道題的一部分嗎？題目中還有哪些隱含的有用數據？哪些隱含信息可以幫助你調整求出未知量？學生由此感悟到猜測任意一組數據都能根據隱含條件求解問題，溝通了猜測法與假設法之間的聯系。

二、列表枚舉，尋找解決問題的“通解通法”

承接“先猜測再調整”的思路，教師提出問題：“你能將所有猜測方案都列舉出來嗎？”這時，列表的目的就不只是找到答案，而是整理解決問題的思路。通過調動學生之前解決問題的經驗，便可以找到解題的“通解通法”。

頭雞8 7…………兔0 1腳總腳數：2×8=16腳數差：26-16=10，少了10 只腳。總腳數：2×7+4×1=18腳數差：26-18=8，少了8 只腳。……調整一只兔比一只雞多4-2=2（只）腳。增加兔：10÷2=5兔：0+5=5減少雞：5雞：8-5=3一只兔比一只雞多4-2=2（只）腳。增加兔：8÷2=4兔：1+4=5減少雞：4雞：7-4=3……

綜上，列表中的每一種猜測都可以調整得出正確結果，教材給出的“假設法”不過是假設極端值（假設全是雞或假設全是兔）的一種情況而已。為什么要假設極端值呢？因為這樣計算腿數簡單，調整過程也簡單。由此，學生便找到了解決“雞兔同籠”問題的通法，并在通法中分離出簡便方法——假設法，學生心中的疑問“為什么假設全是雞”便解開了。教材中給出的三種方法，即猜測法、列表法、假設法也都統一到一個解題思路之中了。

三、變換角度假設，感悟各算法的異同

以上都是從滿足8 個頭的條件進行假設的（頭的數量少，方便調整）。教師還可以引導學生變換角度繼續思考：“我們還能從其他條件出發進行假設嗎？”當然，我們也可以從腳的只數出發進行假設：假設26 只腳全是雞的腳，然后調整。不過腳的數量復雜，調整起來也更麻煩些。

“雞兔同籠”問題還有許多解法。如“抬腿法”，解題思路與記載在《孫子算經》中的解題方法“半足法”相同：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得（腳數除以2，結果減頭數得兔，再用總頭數減兔，得雞）。除了《孫子算經》，中國古代數學書籍《算法統宗》中也記載了一道“雞兔同籠”的問題，還有一個同類型的“米麥問題”。《算法統宗》采用的解題方法是與“半足法”不同的“倍頭法”和“四頭法”，即：倍頭減足折半是兔（頭數乘2，足數減掉乘積后除以2 得兔）；四頭減足折半是雞（4 乘頭數，減掉足數除以2 得雞）。

整理算法后我們發現，“半足法”是從滿足腳的條件出發的假設法，而“倍頭法”“四頭法”則是從滿足頭的條件出發的假設法。

四、對比方程法，發展代數思維

不管是古書中的“半足法”“倍頭法”，還是教材中的“假設法”，都只呈現了解決問題的步驟。任何程序化的算法背后都有創造算法的思路。教學中，教師應引導學生充分經歷算法背后思路的思考過程，溝通猜測法、列表法與假設法之間的關系，消除心中的疑惑。

“半足法”和“倍頭法”用解二元一次方程的“消元法”理解更具有去情境化的優勢。以“半足法”為例。

假設有x只雞，y只兔：

方程法解決“雞兔同籠”問題具有去情境化、結構化的特點。學習方程之后，可以讓學生用方程方法再來解決“雞兔同籠”問題，比較代數思維和算術思維的不同，感受不同解法背后的相通之處。