碎軟煤層韌性破壞-滲流耦合本構關系及其間接壓裂工程驗證

李 浩，梁衛國,2,，李國富，白建平，王建美，武鵬飛

(1.太原理工大學 原位改性采礦教育部重點實驗室，山西 太原 030024; 2.山西能源學院，山西 晉中 030600; 3.太原理工大學 礦業工程學院，山西 太原 030024; 4.山西藍焰煤層氣集團有限責任公司，山西 晉城 048026)

碎軟煤層若直接水力壓裂，將導致水力裂縫很短、煤層鉆孔井壁坍塌，工程失敗[1]。為了解決煤層氣地面開發這一技術難題，張群等[2]提出了間接壓裂煤層(即頂板水平井分段壓裂)的新思路，并在淮北蘆嶺礦取得日產氣量1×104m3的記錄。此外，OLSEN等[3]、賈慧敏等[4]、韓保山[5]將間接壓裂技術分別用于美國Piceance盆地、山西鄭莊礦區、湖南洪山殿礦區，利用頂板巖層堅硬、脆性性質，在保護鉆井的同時實現頂板中較長的壓裂裂縫，增加煤層氣單井控制面積。然而，該技術往往受到碎軟煤層特殊力學性質、復雜工程條件的制約，使其成功與否的關鍵，即水力裂縫有效穿透煤巖界面并進入煤層的臨界條件與機理并不清楚。

建立適用于碎軟低滲煤層的韌性破壞-滲流耦合本構關系，是預測上述臨界條件、揭示煤巖界面阻礙水力裂縫擴展機理的重要手段。目前，多數學者基于線彈性斷裂力學理論開展相關研究，發現水力裂縫在靠近煤、巖層界面時會產生復雜的相互作用，而低應力差、低界面強度、低彈性模量之比等因素會造成裂尖應力強度因子鈍化，使得水力裂縫停止于界面[6-13]。

但是，前人研究并未考慮間接壓裂煤層技術中的一項關鍵設計參數，即水平井與煤巖界面的間距。更重要的是，水力壓裂會導致煤結構面出現韌性斷裂與滲流、煤基質出現塑性損傷并加劇壓裂液濾失，由此形成復雜的煤結構面與基質的韌性破壞-滲流耦合響應過程。這一過程深刻地影響水力裂縫穿透煤巖界面的機理，進而改變水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件。這一問題僅由線彈性斷裂力學、彈性損傷力學難以解決。

筆者針對這一根源問題，圍繞碎軟低滲煤層的韌性破壞-滲流特征，依次研究煤結構面韌性斷裂-滲流規律、煤基質塑性損傷-滲流規律，以及2者之間的應力-滲流耦合關系，建立了碎軟煤層的韌性破壞-滲流耦合本構方程組。在此基礎上，模擬研究了間接壓裂煤層過程中地應力、煤巖界面力學性能、水平井與煤巖界面間距等3個主要因素作用下水力裂縫的擴展形式，揭示了煤巖界面阻礙水力裂縫擴展的機理，得到了水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件表達式，并在山西晉城礦區趙莊礦得到初步應用和檢驗。

1 煤的韌性破壞-滲流耦合本構方程

水力壓裂過程中煤的韌性破壞-滲流耦合響應包括3個方面:煤結構面的韌性斷裂與滲流、煤基質的塑性損傷與滲流(或濾失)，煤基質與結構面之間的應力-滲流耦合作用(圖1)。

圖1 水力壓裂煤層過程中的流固耦合響應示意Fig.1 Schematic diagram of fluid-solid coupling response during hydraulic fracturing of coal

1.1 煤基質的雙標量型彈塑性損傷-滲流耦合本構關系

在數值模擬中，煤基質可視作多孔介質，可賦予實體單元模擬其流固耦合特性。煤基質的塑性變形和微裂隙的擴展是導致其出現韌性破壞的2個根本原因[14]。其中，微裂隙的基本破壞模式包括拉、壓兩類。張拉裂隙主要由拉應力引起，是引起煤基質滲透率改變、加劇壓裂液濾失的主要原因。因此，建立雙標量型彈塑性損傷-滲流本構模型之前需對應力進行分解。

規定拉應力為正，壓應力為負，引入函數:

(1)

式中，σ為有效應力張量中的元素;〈·〉為Macauley符號。

(2)

式中，σi和ni(i=1,2,3)分別為主應力和主方向。

設拉、壓損傷變量分別為d(+)和d(-)。假設在等溫絕熱條件下，彈性和塑性Helmholtz 自由能不耦合[15]。那么Helmholtz 自由能表達式為

Hp(-)(d(-),κs)]

(3)

(4)

將式(3)，(4)代入Clausius-Duhem不等式[16]，有

(5)

(6)

d=d(+)N(+)+d(-)(I-N(+))

(7)

α為有效應力系數，損傷前后表達式為

(8)

式中,Kb為多孔介質的排水體積模量；Ks為固體骨架的體積模量。

(9)

圖2 偏平面上的屈服面以及無結構面煤的壓、拉應力-應變曲線Fig.2 Yield surface and the compressive/tensile stress-strain curves of the intact coal

塑性勢函數的表達式為

(10)

式中，當參數δ=0.1時，可使偏平面上qeff-peff曲線與l直線交點處的尖點退化為一個圓弧，有利于數值計算的收斂[17];σUTS為煤的拉伸強度;ψ為剪脹角。

(11)

(12)

在彈性變形階段，煤基質的滲透系數knd主要由孔隙度npor和彈性體積應變εs,Ve控制;而在塑性損傷階段，其滲透系數主要由張拉損傷變量d(+)和塑性體積應變εs,Vp控制。結合滲流過程的立方定律以及滲透系數的定義[19]，可得到煤基質滲透系數的表達式:

(13)

此外，煤基質及其內的流體還需分別滿足平衡方程、幾何方程，以及質量守恒方程與動量守恒方程，詳見文獻[20]。

1.2 煤結構面的韌性斷裂-滲流本構關系

在數值模擬過程中，煤結構面可由黏聚力單元表示[21]。不同斷裂模式下煤的斷裂過程可以分為彈性變形和韌性斷裂2個階段(見1.1節)。彈性階段各要素本構關系表達式為

σc=D0,cεc

(14)

式中，εc為彈性應變矢量;D0,c為黏聚力單元的彈性剛度矩陣。

當黏聚力單元的應力達到以下條件時，煤結構面進入韌性斷裂過程:

(15)

為了得到煤結構面在韌性斷裂階段的力學本構關系，將適用于二維問題的Park-Paulino-Roesler(PPR)勢能函數[22]擴展到三維水力壓裂問題，勢能函數Ψ(Sn,SS)的表達式為

(16)

(17)

其中，Gn和GS=Gs+Gt分別為法向、切向方向總的斷裂能;β與γ控制純張拉型和純剪切型斷裂牽引力-位移曲線的形狀，可由曲線擬合得到;參數m，l與β，γ有關，且有

(18)

其中，χn=sn,p/sn,χS=sS,p/sS，sn,p和sS,p為拉、剪斷裂過程中的峰值位移。

通過計算Ψ(Sn,SS)對位移的一階導數，得到混合型韌性斷裂過程中應力與位移的關系式:

(19)

(20)

(21)

在數值模擬過程中，σc,n,σc,s和σc,t值可通過實體單元與黏聚力單元的共享節點處的節點力確定。由式(19)～(21)求解未知變量Sn,Ss和St的值。由此進一步得到3個方向的斷裂能Gn,Gs,Gt，彈性能Ge與非彈性能Gin的表達式依次為

(22)

(23)

Gin=Gn+Gs+Gt-Ge

(24)

裂縫中不可壓縮流體需要滿足動量守恒方程[20]。此外，采用立方定律模擬裂縫中的切向流，同時考慮煤基質塑性損傷引起壓裂液的濾失效應，推導得到結構面中流體的質量守恒方程:

(25)

式中，w為裂縫開度;pn,cen和pn,boun分別為裂縫中部和裂縫邊緣處的流體壓力;ν為動力黏度;pt為流體壓力梯度;Qc為裂縫入口處的總流量。

基于以上各式，建立了煤的韌性破壞-滲流(Ductile failure-seepage 或 DF-S)本構方程組，進而可開展數值計算(圖3)。

圖3 DF-S本構方程的數值計算流程Fig.3 Numerical calculation process of DF-S constitutive equations

圖4 斷裂力學實驗以及拉壓損傷演化規律Fig.4 Fracture mechanics experiments and the evolution law of tension/compression damage variables

2 參數識別與本構方程驗證

DF-S本構方程中的材料參數通過斷裂力學實驗、全應力-應變過程中的滲流實驗獲得。本構方程組的合理性可通過對比分析數值模擬與實驗結果給予評估。

2.1 材料參數識別

煤基質的滲透系數與壓縮損傷參考文獻[17]，結果分別如圖4(d)和表1，2藍色曲線所示。斷裂參數和張拉損傷變量可通過如下方法獲取:通過緊湊拉伸試驗和貫穿剪切實驗，得到張拉和剪切荷載下煤的荷載-位移曲線(圖4(c))。

表1 完整煤巖的材料參數Table 1 Material parameters of intact coal and rock

表2 煤結構面的材料參數Table 2 Material parameters of coal discontinuities

在此基礎上，根據式(12)反推得到煤基質的張拉損傷變量(圖4(d)紅色曲線)。對于斷裂力學參數，Gn和GS為荷載-位移曲線下的面積;β與γ通過擬合峰后曲線得到;Γn,ΓS與m，l通過結合圖4(c)與式(16)～(17)計算得到(表1～2)。

2.2 本構方程驗證

DF-S本構方程的合理性可通過3點彎曲斷裂力學實驗以及水力壓裂實驗來驗證。

建立3點彎曲數值計算模型，模型尺寸及邊界條件如圖5(c)所示。采用泰森多面體模擬煤中的結構面空間網絡[23]，并在此位置處嵌入零厚度的黏聚力單元，其力學屬性由式(14)～(21)確定。其余部分為實體單元，其力學屬性由式(6)～(12)確定。實驗與模擬結果如圖5所示。

如圖5(b),(c)所示，盡管混合斷裂模式下的荷載-位移關系是通過理論推導得到的，但是，由數值模擬所得的裂縫開裂模式以及荷載位移曲線與實驗結果高度一致，這表明DF-S本構方程組中韌性斷裂理論具有合理性。

圖5 3點彎曲數值模擬與實驗結果對比Fig.5 Comparison of 3-point bending numerical simulation and experiment results

DF-S本構方程可由水力壓裂實驗進一步驗證。為反映頂板中的水力裂縫穿透煤巖界面并進入煤層的過程，實驗對象為煤與水泥的組合體試件(圖6(b))，壓裂段位于水泥塊中，距離煤巖界面25 mm。實驗采用太原理工大學自主研制的TCHFSM-I型三軸壓裂滲流試驗機，壓裂液為蒸餾水，注入流量為20 mL/min，煤巖界面干燥且無黏結劑。水力壓裂實驗中豎向應力σv、最大水平主應力σH、最小水平主應力σh條件見表3。

圖6 水力壓裂試驗機以及試件尺寸Fig.6 Hydraulic fracturing test machine and specimen size

水力壓裂數值計算模型根據圖6(b)建立。其中，煤結構面的分布由文獻[23]確定;而水泥中的結構面布置在其中部且與σh平行。在上述結構面及界面位置處嵌入零厚度的黏聚力單元，其余部分為實體單元。煤采用DF-S本構方程組，其力學參數見表1，2和圖4所示;對于彈脆性水泥而言，其結構面的本構關系由式(14)～(15)和(26)確定，其實體單元的本構關系由式(6),(9),(10),(13)確定(其中d(+)=d(-)=0)。水泥的彈性模量為煤的3倍，斷裂位移為煤的1/2。對于干燥界面，其摩擦因數及剪切模量可由直剪試驗確定，且有fc,r=0.72，Ess=Ett= 0.032σn-0.018(單位:GPa)，為增加數值模擬的收斂性，Enn取值為煤的 1/3。數值模型中超孔隙水壓力設置為0，水泥與煤的孔隙比分別設置為0.2和0.01，飽和度設置為1。其余邊界條件與水力壓裂實驗一致。

表3 水力壓裂實驗的應力條件Table 3 Stress condition of hydraulic fracturing experiments MPa

分析模擬實驗結果(圖7)，可得:

(1)在干燥煤巖界面條件下，水力壓裂實驗與數值模擬結果均顯示水力裂縫穿透煤巖界面的應力差閾值為6 MPa。

圖7 水力壓裂實驗與模擬結果對比Fig.7 Comparison of hydraulic fracturing experiment and simulation results

(2)水力壓裂實驗與數值模擬所得的壓裂段處的水壓力-試件曲線相似，均可劃分為3個階段，以圖7(d)為例進行說明。在a—b段，水壓力隨著注水體積的增加而快速增加;b—c段，當水泥在b時刻破裂后水壓力迅速下降，而后在彈脆性水泥中，水力裂縫在很短時間內到達界面處(c點);c—d—e階段，若煤結構面在煤試件的中部且與水泥中的水力裂縫共面，則水壓力會快速增加(1號試件)，而當煤結構面與水泥中的水力裂縫不共面時，會導致水壓力緩慢增加至d點(2號試件)，而后隨著煤結構面的周期性的斷裂，使得水壓力隨時間呈現波動變化趨勢。最終，隨著煤或者水泥的完全斷裂，水壓力降為0。

需要注意的是，水力壓裂實驗所得的水壓力-時間曲線，其起裂時刻(b點)滯后于數值模擬結果。這是因為實驗所用的試件為干燥條件，而數值模擬假設試件為水飽和的。因此，在模擬過程中，一旦在壓裂段注水，壓裂段及其附近區域在瞬間產生由水壓力引起的附加應力;而在實驗過程中，只有當壓裂段周圍水泥逐漸飽和之后才會有較大的附加應力響應。

3 水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件

3.1 工程概況與數值計算模型

趙莊礦位于晉城礦區東部，主采煤層為3號煤，平均厚度5 m，開采深度約450 m，煤層含氣量在0.24～18.79 m3/t，其中CH4體積分數介于76.9%～99.6%，儲層壓力為1.97～6.25 MPa。井田北部無大的斷層和陷落柱，但是發育數個次級褶皺，導致地應力有所變化，同時也可能會導致煤巖界面的黏結狀態(即剪切強度)發生變化。

圖8 間接壓裂煤層技術的數值計算模型Fig.8 Numerical calculation model of indirect coal fracturing technology

為研究間接壓裂煤層過程中水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件，建立了數值計算模型(圖8)。考慮DF-S本構方程組的高度非線性，模型x，y，z三個方向上的尺寸控制在10,14和20 m。注水點位于xz平面的中心且與煤巖界面的間距D=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5 m。在注水點下方0.5 m范圍內設置初始斷裂區以模擬間接壓裂煤層工程中的射孔長度。數值模擬與工程條件一致，壓裂液為水，注水流量為8 m3/min并持續100 min。σv,σH,σh分別沿著y,z和x方向施加，巖層應力分別設計為15.8/12.2/8.5，15.8/13.2/9.5，15.8/14.2/10.5，15.8/15.2/11.5，15.8/15.2/12.5 MPa，煤層應力值設置為15.9/8.9/7.9，15.9/9.9/8.9，15.9/10.9/9.9，15.9/11.9/10.9，15.9/12.9/11.9 MPa，即煤層中應力差為Δσ=σv-σh=8～4 MPa。在此條件下，改變煤巖界面的摩擦因數fc,r，直至水力裂縫穿透界面為止。由此，得到水力裂縫穿透煤巖界面的臨界D，Δσ，fc,r這3個重要的參數。煤中結構面網絡采用泰森多面體近似表示[23]，材料參數與圖7一致。

3.2 模擬結果

不同D，Δσ，fc,r條件下的數值模擬結果共計115個，下面僅展示部分水力裂縫成功穿透煤巖界面的結果(圖9)。

圖9 不同D，Δσ，fc,r下水力裂縫擴展形式Fig.9 Hydraulic fracture propagation form in different D，Δσ，fc,r conditions

由圖9可知，當Δσ=4 MPa時，隨著D從0.5 m增加至2.5 m，臨界fc,r會從0.22快速增加至0.96;當D=0.5 m時，Δσ從4 MPa增加至8 MPa，臨界fc,r會從0.22降低至0.022。在其他Δσ與D值條件下，臨界fc,r也有類似的變化規律。以上規律說明:① 較大的Δσ(或較小的σh)會使水力裂縫更容易起裂與擴展，這與文獻[6]所得的結果是一致的;② 較大的fc,r值會使壓裂頂板的張拉荷載低損耗地通過界面傳遞至煤層中，有助于水力裂縫穿透煤巖界面;③ 在Δσ和fc,r較低的條件下，減小D值有助于實現水力裂縫穿透煤巖界面。

上述現象發生的機理可通過水力裂縫穿透煤巖界面時非彈性能占水力能量的比例解釋。裂隙表面能(即彈性能)的增加是驅動水力裂縫擴展的根本原因[25]。而在間接壓裂煤層工程中，水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件比較嚴格，根本原因在于松軟煤結構面的韌性斷裂、煤基質的塑性損傷以及由此引發壓裂液的濾失，會導致絕大部分水力能量消耗在無助于水力裂縫擴展的非彈性能上。如圖10所示，當Δσ=6 MPa且D=1.0 m時，隨著fc,r從0.05增加至0.58，煤巖界面附近的煤結構面的非彈性能占水力能量的比例從98%降低至84%;當D=1.0 m且fc,r=0.37時，隨著Δσ從4 MPa增加至8 MPa，煤巖界面附近的煤結構面的非彈性能占水力能量的比例從86%降低至74%;而當Δσ=6 MPa且fc,r=0.37時，隨著D從0.5 m增加至2.5 m，煤巖界面附近的煤結構面的非彈性能占水力能量的比例從70%增加至98%。

以上分析表明，在過小Δσ，fc,r和過大D值條件下，裂縫表面能(即彈性能)所占水力能量的比例最低會降低至2%。同時，水力壓裂過程中煤基質塑性損傷會導致其滲透系數增加3～5個數量級，大大增加了水力裂縫中壓裂液的濾失，導致水力能量耗散。為此，上述兩方面是導致水力裂縫難以穿透煤巖界面的根本原因。

如圖10所示，增加Δσ，fc,r并降低D可以將彈性能占水力裂縫的比例增加至30%，從而提高水力裂縫穿透煤巖界面的概率。為了進一步得到適用于工程實際的水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件，采用冪函數對數值模擬得到的臨界條件D，Δσ，fc,r值進行擬合，得到如圖11所示的藍色擬合曲面。

由此，得到水力裂縫穿透煤巖界面的臨界條件數學表達式為

0.689-0.569D-0.536+3.515Δσ-1.162-

1.238D-0.536Δσ-1.162-fc,r>0

(26)

式中，D為注水點與煤巖界面的間距；Δσ為豎向應力與最小水平主應力之差。

需要注意的是，上式只適用于與趙莊煤層氣地質與材料參數類似的區域，且限制條件為4 MPa<Δσ<8 MPa，0.5 m

基于上述結果，采用間接壓裂煤層技術，通過優化水平井位置(圖1紅線)從而增加Δσ至6 MPa，同時確保煤層完整使得fc,r穩定在0.72，再將D控制在1.0 m以下，取得煤層氣日產量3 000 m3以上的結果(圖12)。這表明水力裂縫成功穿透煤巖界面，從而驗證了上述結果的合理性。

圖10 不同D，Δσ，fc,r條件下非彈性能占水力能量的比例以 及滲透系數的演化規律Fig.10 Ratio of inelastic energy to hydraulic energy and the evolution law of permeability coefficient under different conditions of D，Δσ，fc,r

圖11 水力裂縫穿透碎軟煤與頂板界面的臨界D，Δσ，fc,r 條件Fig.11 Critical D，Δσ，fc,r conditions for hydraulic fractures to penetrate the interface between coal and roof

圖12 間接壓裂碎軟低滲煤層后日產氣量曲線Fig.12 Daily CBM production curve under indirect fracturing coal technology

4 結 論

(1)基于Helmholtz 自由能、Park-Paulino-Roesler勢能函數以及相應滲流理論推導得到的DF-S本構方程組，可以較好地反映碎軟低滲煤層結構面的韌性斷裂-滲流、煤基質的塑性損傷-滲流耦合響應，以及2者之間的應力-滲流相互作用。

(2)煤結構面的韌性斷裂、煤基質的塑性損傷以及由此引發的壓裂液濾失效應使得水力能量大量耗散，導致有助于水力裂縫擴展的彈性能最低只占到水力能量的2%，這是導致水力裂縫難以穿透煤巖界面的根本原因。

(3)水力裂縫穿透煤巖界面的臨界fc,r與D正相關，而與Δσ負相關。D對臨界fc,r的影響更大，將D控制在1 m之內有助于水力裂縫穿透煤巖界面，保證間接壓裂煤層技術的成功率。