煤礦沖擊地壓發生理論公式

潘一山，代連朋

(1.東北大學 深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819; 2.遼寧大學 環境學院，遼寧 沈陽 110036; 3.遼寧工程技術大學，遼寧 阜新 123000)

沖擊地壓是世界范圍內煤礦最嚴重的動力災害之一，中國、加拿大、波蘭、俄羅斯、美國和澳大利亞等國家煤礦安全生產均受到沖擊地壓災害的嚴重威脅[1-5]。2019年國家煤礦安全監察局組織調研查明，我國生產礦井中鑒定確認沖擊地壓礦井132個，至少涉及195個主采煤層，沖擊地壓礦井的煤炭產量約占我國煤炭總產量的12%[6-7]。2018-10-20，山東能源集團龍鄆煤業發生21人事故，2019-06-09，吉林煤業集團公司龍家堡煤礦發生9人事故，2020-02-22，山東新巨龍煤業有限公司龍堌礦發生4人事故[8]。

沖擊地壓的機理和理論是實現沖擊地壓監測預警和有效防治的前提和基礎。國際上最早研究沖擊地壓發生機理始于1915年，提出了一系列沖擊地壓發生理論。從“強度理論”、“剛度理論”、“能量理論”、“沖擊傾向性理論”到后來的“三準則”理論[9]、“變形系統失穩理論”[10]、“三因素”理論[11]、“沖擊啟動”理論[12]、沖擊地壓擾動響應失穩理論[13]、沖擊地壓擴容理論[14]和強度弱化減沖理論[15]等。此外，隨著數學、力學、數值計算與試驗研究等方法以及多學科的交叉應用，沖擊地壓發生的微細觀機理研究也取得了大量的研究成果[16-18]。這些理論都從不同角度在一定程度上揭示了沖擊地壓發生的基本原理與條件，對于認識煤礦沖擊地壓發生機理起到了重要的推動作用。但是，作為世界級難題，沖擊地壓具有復雜性，目前還沒有給出一個描述沖擊地壓基礎性、根本性問題的理論公式。

具體表現在:① 沒有給出煤巖力學參數、巷道或采場幾何參數、原巖應力或采動應力滿足什么樣的公式就將發生沖擊地壓;② 沒有給出沖擊地壓危險性和沖擊傾向性之間的理論關系。目前所有具有沖擊地壓危險的礦井都要進行沖擊傾向性鑒定，包括單軸抗壓強度、彈性能指數、沖擊能指數和動態破壞時間。針對獲得的沖擊傾向性參數、地應力或采動應力指標，還沒有給出一個計算沖擊地壓危險性的理論公式，對沖擊危險性進行評價和預警或對沖擊地壓防治后的危險性進行效果評價;③ 不能對沖擊地壓礦井存在一個沖擊地壓發生臨界開采深度給出理論解釋;④ 還沒有給出沖擊地壓發生的臨界載荷，無法對沖擊地壓防治工程進行安全設計，給出安全系數;⑤ 沒有給出支護在沖擊地壓發生過程中的作用。目前由于采煤工作面綜采液壓支架支護強度較大，采煤工作面沖擊地壓幾乎消除，沖擊地壓事故90%發生在巷道中，近5 a來有記錄的沖擊地壓事故均發生于工作面超前回采巷道，巷道沖擊地壓事故累計發生10余起，傷亡人數近百人。巷道支護強度在沖擊地壓防治中起到什么作用，還需理論公式加以揭示。

筆者在簡化提出沖擊地壓發生的力學模型基礎上，給出了沖擊地壓發生的理論公式，并采用該理論公式，對沖擊地壓的一些基礎性、根本性問題進行分析。

1 沖擊地壓發生的力學模型

1.1 沖擊地壓發生的幾何模型

井下存在各種各樣的煤體結構，沖擊地壓發生的典型幾何模型是巷道。將近90%以上沖擊地壓災害發生于巷道，巷道沖擊地壓一直是沖擊地壓機理、監測預警與防治工作的重中之重[13,19-20]，包括回采工作面超前巷道、工作面開切眼等類巷道結構等，如圖1(a)所示。

圖1 多種斷面形狀煤巖結構簡化幾何模型Fig.1 Simplified geometric model with various section shape of coal and rock structure

井工巷道斷面形狀雖然可能各有差別，典型如矩形巷道、圓形巷道、梯形巷道、直墻拱形巷道等，但對于沖擊地壓發生來說，巷道圍巖中具有承壓、蓄能特性的彈性區是釋放能量、導致沖擊啟動的主體區，如圖1(b)所示。任何斷面形狀的巷道，其承壓蓄能結構的輪廓邊界線均可近似為巷道斷面實際輪廓線的外接圓，出現明顯的“巷道承載外接圓效應”。現場巷道圍巖破壞也表明，非圓形巷道輪廓線與其外接圓輪廓線所包圍的面積正是易變形、垮落的軟化破碎區的一部分，是沖擊顯現的主體區域。煤礦沖擊地壓的分析對象將抽象為最典型的圓形巷道，如圖1(c)所示。

1.2 沖擊地壓發生力學模型邊界載荷條件

筆者將圓形巷道邊界載荷簡化為等壓的靜水壓力，即遠場地應力P。依據如下:① 我國地應力相關研究成果表明，隨著煤炭向深部開采，采深越大，水平地應力與垂直地應力數值越接近相等。對于深部開采條件，模型的靜水壓力邊界條件假設符合我國深井地應力的一般規律;② 等壓巷道沖擊地壓理論分析模型具有解析簡明直觀的優勢，臨界條件的理論公式簡潔且能有效指導工程現場的防沖設計;③ 可采用修正系數法，將等壓邊界條件下揭示的巷道沖擊地壓發生臨界條件進行修正，以實現進一步滿足指導非等壓防沖工程結構的需要。此外，將巷道內的支護應力簡化為圓形巷道內壁面上的均勻內壓強。

需指出的是，工程巷道邊界載荷條件一般會形成靜動加荷效應。針對巷道沖擊地壓傳統劃分的基本類型(煤體壓縮應變型、頂板斷裂誘發型和斷層錯動誘發型)[5]，筆者將頂板斷裂和斷層錯動視為誘發巷道沖擊的遠場擾動因素，并將遠場擾動應力等效視為地應力增量。因此，本文研究成果將適用于靜載自發型巷道沖擊地壓和擾動誘發型巷道沖擊地壓，對純動載強震型沖擊地壓將另做探究。

1.3 煤巖體變形破壞的本構關系

從單軸壓縮條件下煤巖標準試件的應力應變全程曲線上看，煤巖受載變形分為“壓實致密(OA)”、“彈性變形(AB)”、“塑性強化(BC)”、“損傷軟化(CD)”和“殘余變形(DE)”5個階段，如圖2所示。從沖擊地壓孕育、發生與顯現物理過程來看，煤巖樣單軸壓縮性質應分為峰前階段和峰后階段。峰前階段煤巖以壓實致密、彈性形變與彈性能積蓄為主要特征，峰后階段煤巖以損傷累積、殘余形變與能量耗散為主要特征。

圖2 煤巖試件單軸抗壓應力-應變曲線Fig.2 Uniaxial compressive stress-strain curve of coal rock specimen

1.3.1煤巖體的“雙線性”本構關系

由煤礦現場巷道觀察可知，大部分煤巖巷道圍巖處于深部煤巖彈性承載、淺部煤巖塑性軟化屈服承載狀態。據此，沖擊地壓力學分析模型應為“彈性區-塑性軟化區”兩分區結構[13,21]，如圖3所示，相應的煤巖本構應選取雙線性本構模型。

圖3 沖擊地壓巷道 “兩分區”結構模型[13]Fig.3 “Two zone” structure model of rockburst roadway[13]

對于脆性極強的巖體，單軸壓縮條件下巖樣應力應變曲線中的殘余階段不明顯，甚至出現缺失的現象，應力整體表現為峰前線性攀升、峰后急速下降的特征;對于此類本構屬性的巖石，通常簡化為“雙線性”本構關系，主要包括彈性階段和峰后軟化階段，如圖4所示;此類巖石巷道沖擊地壓災害與硬巖巖爆災害極為相似，巷道沖擊啟動時，巷道圍巖塑性軟化深度一般較小，崩落巖塊沖擊速度較大。

在“雙線性”本構關系假設中，將峰值強度前簡化為線彈性，彈性模量為E，煤巖的單軸抗壓強度為σc，對應的應變為εc，完全損傷狀態下煤巖應變為εf。峰值強度后，假設峰后煤巖呈現線性應變軟化，煤巖塑性軟化模量為λ。超過峰值強度后，煤巖損傷變量D為線性各向同性損傷演化，即于煤巖峰值強度處，D=0;達到完全破壞，D=1。

圖4 煤巖體兩線性本構模型Fig.4 Bilinear constitutive relation of coal and rock

根據煤巖體的“雙線性”本構關系模型和峰后線性損傷演化可知，煤巖體的應力應變關系方程、一維線性損傷演化方程，分別如式(1)，(2)所示:

(1)

(2)

進一步地，三維情況下煤巖損傷演化方程為

(3)

(4)

圖5 沖擊地壓巷道 “三分區”結構模型[23]Fig.5 “Three zones” structure model of rock burst roadway[23]

1.3.2煤巖體的“三線性”本構關系

進入深部開采后，大部分煤巖巷道圍巖處于深部煤巖彈性承載、淺部煤巖塑性軟化屈服承載，甚至殘余破碎承載狀態。據此，沖擊地壓力學分析模型應為“彈性區-塑性軟化區-破碎區”3分區結構[22-23]，如圖5所示，相應的煤巖本構應選取三線性本構模型。

對于脆性較弱的煤巖體，單軸壓縮條件下煤巖樣應力應變曲線中的殘余階段較為明顯，應力整體表現為峰前線性攀升、峰后急速下降與殘余階段緩慢衰減的特征;對于此類本構屬性的巖石，通常簡化為“三線性”本構關系，主要包括彈性階段、軟化階段和殘余階段，如圖6所示;此類煤巖巷道沖擊地壓災害，巷道沖擊啟動時，巷道圍巖塑性軟化深度一般較大，破壞拋出煤體速度相對較小、煤體量大，多發于深部煤層巷道。

圖6 考慮殘余強度的煤巖三線性本構關系Fig.6 Linear constitutive relationship of coal and rock considering residual strength

在“三線性”本構關系假設中，峰值強度前簡化為線彈性。ε′c為殘余強度對應的應變，εu為完全損傷狀態下煤巖應變。峰值強度后，假設峰后煤巖呈現雙線性應變軟化，煤巖塑性軟化模量、殘余模量分別為λs和λf，煤巖殘余強度σ′c=ξσc，其中，ξ為煤巖殘余強度系數。超過峰值強度后，煤巖損傷變量D為線性各向同性損傷演化，即于煤巖峰值強度處，D=0;于殘余強度處，D=1-ξ;達到完全破壞，D=1。

根據煤巖體的“三線性”本構關系模型和峰后線性損傷演化，可知，煤巖體的應力-應變關系方程、線性損傷演化方程，分別如式(5)，(6)所示:

(5)

(6)

式中，γ為中間變量,γ=λf/E+(1-ξ)λf/λs+ξ。

1.4 沖擊地壓發生的力學判據

(7)

則響應Δρ總可以滿足下面不等式：

(8)

若系統處于非穩定平衡狀態，則無論擾動ΔP，都會導致塑性軟化區半徑的無限增長，即

(9)

式(9)即為沖擊地壓發生的擾動響應判別準則，其物理意義在于[24]：在應力增量dP的作用下(諸如，頂板斷裂、斷層錯動或爆破振動等形式的采動應力增量)，塑性軟化區半徑增量dρ發生極大擴展，表征了巷道沖擊地壓本質是圍巖塑性區邊界非線性增速失穩擴展及其帶來的一系列的宏觀響應。

2 沖擊地壓發生的理論解

2.1 基于雙線性本構關系的模型解算

針對如圖3所示的兩分區沖擊地壓巷道力學模型，設巷道半徑a，塑性軟化區半徑ρ，巷道內壁支護應力為ps，遠處受地應力P作用。定義沖擊傾向性指數K=λ/E。取單位長度進行計算，巷道圍巖破壞采用摩爾-庫侖屈服破壞準則，視其為靜水壓力狀態的軸對稱平面應變問題。

由彈性理論，結合在彈性與軟化區交界處滿足莫爾-庫倫準則σθ(ρ)=mσr(ρ)+σc。因此，彈性區徑向應力σr、環向應力σθ為

(10)

(11)

(12)

據式(2)，可進一步得軟化區內損傷演化方程為

(13)

不考慮體積力，將σθ=mσr+(1-D)σc代入平衡方程:

(14)

由邊界條件σr(a)=ps，得軟化區內徑向應力分量為

(15)

由r=ρ處徑向應力連續條件，得到兩分區巷道系統方程:

(16)

(17)

將式(17)代回式(16)，得到發生沖擊地壓時的臨界載荷Pcr:

(18)

一般取內摩擦角φ=30°，代入式(18)，得

(19)

當支護力ps=0時，得

(20)

當沖擊傾向性指數K取值區間為[2.5，]時，得到

Pcr=(0.5～0.7)σc

(21)

這與實際工程中給出的硐室巖爆經驗判據(0.3～0.7)σc相一致[25-26]。

2.2 基于三線性本構關系的模型解算

針對如圖5所示的三分區沖擊地壓巷道力學模型。破碎區半徑為ρf，在此模型中，沖擊傾向性指數K將等于λs/E。

由彈性理論，結合在彈性區與塑性軟化區交界處滿足莫爾庫倫準則σθ(ρ)=mσr(ρ)+σc條件，得彈性區徑向應力σr、環向應力σθ為

(22)

與式(13)同理，在塑性軟化區內(ρf

(23)

不考慮體積力，將σθ=mσr+(1-D)σc代入平衡方程式(14)。

設破碎區與塑性軟化區交界處應力為pf，結合此邊界條件，得塑性軟化區徑向應力分量:

(24)

(25)

據式(6)，可進一步得破碎區煤巖損傷演化方程為

(26)

由式(10)，將σθ=qσr+(1-D)σc代入平衡微分方程得

(27)

結合邊界條件σr=a=ps，得破碎區對塑性軟化區的邊界作用應力pf:

(28)

由r=ρ徑向應力連續條件，聯立式(22)，(24)與(28)，得巷道系統方程:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

當λs=λf,ξ=0或ρf=a，“3分區”巷道模型將退化為“兩分區”巷道模型。相應地，臨界塑性軟化區半徑計算公式(31)將退化為式(17)，臨界載荷計算公式(32)將退化為式(18)。

(34)

其中，η為巷道斷面形狀系數，建議取值0.9～1.0。需要指出的是，該系數取值受到實際工程條件的綜合影響，應為經驗性系數，具體取值可通過物理模型試驗方法、數值計算方法和現場沖擊地壓歷史事件工程對比法等總結歸納得出。為加強各礦區臨界條件計算值的對比分析，下文η值暫取1.0。

3 沖擊地壓發生的臨界載荷理論公式

根據以上對沖擊地壓發生的力學分析模型的解析分析結果，現給出沖擊地壓發生的臨界載荷Pcr計算的基本理論公式，如式(35)所示。可知，沖擊地壓發生的臨界載荷Pcr與煤巖單軸抗壓強度σc、沖擊傾向性指數K密切相關。

(35)

K表征了煤巖沖擊傾向性，與沖擊能指數KE的本質相同。具體地，煤巖沖擊傾向性指數K越大，沖擊地壓發生臨界載荷Pcr越低。

特別地，雖然從理論公式中可以看到，煤巖單軸抗壓強度σc越大，臨界載荷Pcr越高，但統計研究發現[27]，對于脆性顯著的巖石材料而言，煤巖單軸抗壓強度σc增大往往意味著其沖擊傾向性也大幅增加，這就導致了強度大的巖石巷道沖擊危險性低的結論并不絕對成立，這一規律也是單軸抗壓強度為什么可以作為沖擊傾向性鑒定指標的原因所在。我國部分煤礦沖擊地壓發生的臨界載荷計算理論值見表1。

表1 我國部分煤礦沖擊地壓發生的臨界載荷理論值(ps =0)Table 1 Calculation of critical load of rock burst of coal mines in China(ps=0)

4 沖擊傾向性與沖擊危險性的理論關系

沖擊傾向性定義為煤巖試件發生沖擊破壞能力的介質固有屬性，可通過實驗室測試鑒定獲得。沖擊傾向性的表征對象為煤巖介質，因而全稱為“煤巖沖擊傾向性”，相應地，其評價工作稱為“煤巖沖擊傾向性鑒定”。在我國現行國家標準(GB/T 25217.2—2010)中，煤層沖擊傾向性鑒定指標有4個[28]，包括:動態破壞時間DT、彈性能指數WET、沖擊能指數KE與單軸抗壓強度。由沖擊地壓發生臨界載荷理論公式(35)可知，沖擊傾向性表征的理論指標為單軸抗壓強度和沖擊能指數。

沖擊危險性定義為特定地質賦存條件下工程巷道發生沖擊地壓顯現的可能性及危險程度，需要采用理論分析、數值計算、室內與現場試驗等方法分析獲得。沖擊危險性的表征對象為工程巷道。針對采區沖擊危險性開展的評價工作應稱為“采區沖擊危險性評價”，針對回采工作面稱為“回采工作面沖擊危險性評價”，針對掘進巷道稱為“掘進巷道沖擊危險性評價”等。目前國內外較為普遍采用綜合指數法評價沖擊危險性，還沒有公認的沖擊危險性理論表征指標和判據，因而現有研究也就未能從理論層面辯明沖擊傾向性與沖擊危險性之間的關系。

(36)

其中，Kcr為表征沖擊危險性的臨界應力指數;地應力P越高，巷道沖擊危險性的臨界應力指數Kcr越大，沖擊危險性越高，即發生沖擊地壓的可能性越高。由式(36)結合沖擊地壓發生臨界載荷理論公式(35)，可知:煤巖沖擊傾向性是沖擊危險性的主控因素之一。

煤巖沖擊傾向性鑒定是巷道沖擊危險性評價的前提，通過沖擊危險性評價得到的沖擊危險區域及其危險等級是沖擊地壓防治的依據。因此，沖擊地壓理論公式的提出為沖擊傾向性鑒定、沖擊危險性評價、監測預警與工程治理的一體化研究搭建了橋梁，并提供了量化依據。

5 沖擊地壓發生臨界采深理論公式

每個礦井都存在一個發生沖擊地壓的臨界開采深度[19]，即煤層開采水平處于地表以下的深度小于此值時，沖擊地壓幾乎不發生，大于此深度時，沖擊地壓頻繁發生，且強度也越來越大，沖擊地壓發生的臨界采深示意如圖7所示。據統計[20]，蘇聯基澤洛夫和庫茨涅茨等礦區沖擊地壓開始發生的深度為180～400 m，波蘭煤礦的沖擊地壓臨界深度為200 m。德國煤礦沖擊地壓的臨界深度為300～400 m。英國煤礦沖擊地壓的臨界深度為120～300 m。關于我國煤礦，門頭溝礦的臨界深度約200 m，大臺礦約為460 m，陶莊礦約為480 m，唐山礦約為540 m。

圖7 煤礦沖擊地壓發生的臨界采深示意Fig.7 Diagram of critical mining depth of rockburst

然而，由于現有沖擊地壓的理論研究未能系統量化揭示出沖擊地壓發生的臨界條件、主控因素及其規律，因此，未能對沖擊地壓發生存在一個礦井臨界開采深度給出理論解釋。沖擊地壓發生理論公式將成為定量驗算某一礦區臨界開采深度或定量預測新建礦井臨界開采深度的重要理論依據。

(37)

基于式(37)定義的關于沖擊地壓發生的礦井臨界開采深度計算方法，計算得到了我國部分煤礦典型沖擊地壓發生的臨界開采深度理論值，見表2，并與實際工程的統計值進行對比。通過對比可知，沖擊地壓發生的礦井臨界開采深度理論值一般比實際工程統計值要高，這主要是由煤層賦存環境中不同程度的地質構造應力造成的。

表2 我國部分煤礦沖擊地壓發生的臨界采深值(ps=0)Table 2 Calculation of critical load of rock burst of coal mines in China(ps=0)

6 支護作用影響沖擊地壓發生的理論公式

從理論層面清楚掌握支護對巷道沖擊地壓啟動的影響機制及其規律對于巷道防沖支護設計至關重要。由沖擊地壓發生臨界指標的理論公式，繪制“圍巖-支護”系統中隨著環境應力增加巷道圍巖塑性軟化及破碎深度的發育規律曲線，如圖8所示。從理論曲線來看，巷道圍巖塑性軟化區或破碎區邊界演化呈現非線性增速擴展規律，特別地，當巷道達到沖擊啟動臨界載荷Pcr時，圍巖塑性區和破碎區邊界將發生擴展增量為無窮大的演化趨勢。因此，也進一步印證了巷道沖擊地壓本質是圍巖塑性區邊界非線性增速失穩擴展及其帶來的一系列的宏觀響應。

分析可知，支護對沖擊地壓巷道圍巖穩定性的影響主要體現在2個方面:① 支護強度增加將有效抑制圍巖破碎發育速度;② 支護強度增加將大幅度提升沖擊地壓啟動的門檻值-臨界載荷Pcr。科學合理支護將對巷道圍巖具有防沖防冒的雙重穩控功能。

圖8 支護對巷道圍巖軟化區與破碎區擴展的影響[23]Fig.8 Influence of support on softening or fracture zone expansion of roadway surrounding rock[23]

為進一步直觀闡明支護對巷道沖擊地壓臨界載荷的影響規律，由式(19)，對臨界載荷Pcr和支護應力ps做增量形式計算，得

(38)

式中，ΔPcr為沖擊地壓啟動的臨界載荷增量，MPa;Δps為支護應力增量，MPa。

由式(38)可知，巷道支護強度增加能夠提升沖擊地壓啟動的臨界載荷，而提升程度將取決于圍巖的沖擊傾向特征。例如，當K=1時，當支護應力ps增加25%時，沖擊地壓啟動的臨界載荷將提升1倍。

7 沖擊地壓防治的安全系數

安全系數是工業設計中廣泛應用的重要指標。然而，由于沖擊地壓領域中長期缺少沖擊地壓發生的臨界條件理論計算公式，防沖安全系數一直未能被科學定義。

基于沖擊地壓發生的臨界載荷理論公式(35)，定義特定地應力P條件下巷道的防沖安全系數Ns:

(39)

重要的是，通過限定防沖安全系數Ns，可以有效實現巷道防沖支護強度的量化設計，從而達到防沖裝備選型的目的，此方法稱為防沖支護的安全系數設計法。采用此方法，核算我國部分煤礦巷道支護的防沖能力見表3。

表3 我國部分煤礦巷道支護的防沖能力定量核算Table 3 Quantitative calculation of anti-impact ability of roadway support

8 結 論

(1)基于煤礦沖擊地壓發生的擾動響應失穩理論，構建了沖擊地壓發生的力學分析模型，給出了沖擊地壓發生臨界指標及其理論公式，實現了沖擊地壓啟動臨界條件的定量計算，旨在深化推進煤礦沖擊地壓機理、評價、監測預警與防治工作向系統化、參數化與定量化方向發展。

(2)建立了與幾何結構參數、環境載荷和煤巖物性參數直接相聯系的沖擊地壓發生的力學分析模型。探究了解析分析涉及的幾何模型、邊界條件與煤巖本構方程，明確沖擊地壓力學判據及其物理意義，即表征沖擊地壓本質是圍巖塑性區邊界非線性增速失穩擴展及其帶來的一系列的宏觀響應。

(3)辯明了沖擊傾向性與沖擊危險性的理論關系。沖擊傾向性表征對象為煤巖介質，而沖擊危險性的表征對象為工程巷道(包括其他工程結構或區域);煤巖沖擊傾向性是工程結構沖擊危險性的主要影響因素之一，并明確巷道沖擊危險性表征指標包括圍巖臨界軟化區半徑、臨界破碎區半徑和臨界載荷。

(4)臨界載荷是表征巷道在特定地應力環境中受擾發生沖擊地壓難易程度的最重要指標之一，也是沖擊地壓防治理論中應力控制論的理論基礎。基于臨界載荷的理論公式，提出了沖擊地壓發生的礦井臨界開采深度的理論界定方法。

(5)基于沖擊地壓發生的理論公式，明確了支護強度增加不僅具有有效抑制圍巖破碎發育速度的作用，還具有大幅提升沖擊啟動臨界載荷的功能。由此，提出防沖支護的安全系數設計方法。