基于Chebyshev逼近的分數階譜微分算子矩陣

張光輝

(宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州 234000)

分數階微分方程作為一種新的建模工具，在彈性材料、信號處理、流體力學和控制系統等領域有非常廣泛的應用[1-5].分數階微分方程解的存在唯一性已被眾多學者給出和討論[6].下文將基于Chebyshev逼近，推導整數s階和分數α階譜微分算子矩陣，并建立用于計算α階導數的Chebyshev譜微分算子矩陣的遞推公式.

1 預備知識

定義1Caputo意義下的分數階導數[7]：

(1)

其中a≤x≤b,m-1<α≤m，m∈N.

Tn(x)=cos(narccosx)，|x|≤1.

(2)

引理1關于Caputo意義下的分數階導數算子Dα，滿足[7]：

Dα(λ1f1+λ2f2)=λ1Dαf1+λ2Dαf2，λ1,λ2∈R.

(3)

引理2n次Chebyshev多項式[8]Tn(x)=cos(narccosx)，對?n≥1，成立：

(a)Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)，

2 Chebyshev譜微分矩陣的構建

2.1 整數階譜微分矩陣

記區間[-1,1]上次數不大于n的所有代數多項式空間為:

(4)

例如n=5時，(4)式為

2.2 分數階譜微分矩陣

當-11時可做類似分析)，由定義1得f(x)的α階導數為：

(5)

(6)

其中J=[J0(x),J1(x),…,Jn(x)]|X，T=[T0(x),T1(x),…,Tn(x)]|X.

下面給出計算Jk(xi)的迭代公式，以完成矩陣J的計算[10].

定理1[-1,1]上由Chebyshev多項式Tn(x)生成的序列Jn(x)滿足遞推關系：

(1+x)1-α(-1)n+1，

考慮積分式

類似的，有

考慮積分式

由引理2(a)遞推關系，進一步計算，得

整理，得

2.3 [0,T]上譜微分算子矩陣

當0

3 數值實驗

N圖1 函數的階Chebyshev譜導數精度

N圖2 函數的階Chebyshev譜導數精度

4 結 論

將用分數階譜微分算子矩陣計算的數值結果和解析解進行比較，發現隨著f(x)的Chebyshev級數展開式中截取項數n的增加，解析解和數值解誤差的無窮范數迅速收斂，且在算例2中達到了譜精度，從而驗證了譜微分算子矩陣的有效性和高精度.