以史為鑒積累數學活動經驗

郭耀宇

歷史是教學的指南，數學史能夠呈現數學知識的來龍去脈。數學學科知識中有不少來源于人們在現實生活中的觀察與實踐總結。數學教師如果能夠結合數學史料，精心設計一些探究活動或實驗操作，那么學生便能親身經歷數學知識的發生發展過程，做到知其然并知其所以然。本文試以圓面積計算公式的推導為例，以圓面積計算在數學史上的發生發展來設計相關活動，從借鑒數學史教學價值的角度來談談如何積累數學活動經驗，提高學生的數學素養。

一、重現數學史，通過實驗操作積累數學活動經驗

古埃及萊茵德草書第50題這樣記錄：假設一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。這說明古埃及人有了圓面積的近似計算公式。基于這一史實，筆者先請學生回憶以前長方形面積公式的推導過程，明確了是用單位正方形先去數個數，然后再推導公式。接著在課堂上安排了兩個實驗，實驗一：以觀察為主，課件展示用單位正方形來鋪滿圓，發現總有縫隙或超出，無法契合鋪滿，引出用直邊圖形面積直接代替曲邊圖形面積的矛盾沖突。實驗二：以操作為主，告知學生古埃及圓的面積計算公式相傳是從數谷粒的方法中歸納得到的，讓學生通過實驗操作來經歷這個過程。給每個學習小組（四人一組，共十組）分發一個“外方內圓”的圖形（圖1），每個小組圓的直徑大小不等。實驗步驟1：挑一挑——學習小組從組長帶來的米粒中挑選出大小均勻的米粒（討論并明確為什么要大小均勻）。步驟2：鋪一鋪——把大小均勻的米粒鋪滿整個圓并記錄下米粒數，然后把四個邊角的空白也鋪滿，即鋪滿與其外切的正方形，并記錄下米粒數。步驟3：說一說——討論鋪的過程為什么要盡量做到不重疊又不留縫隙（這樣才能盡最大可能逼近圖形的近似面積）。步驟4：算一算——計算鋪滿圓與鋪滿正方形的米粒數量之間的比值（表1）。步驟5：辨一辨——明確這個比值就是這兩個圖形面積間的關系，用正方形的面積乘這個比值就等于圓的面積。步驟6：想一想——此時因為有了各組實驗數據的支撐，而學生又知道正方形的面積是可以用公式計算的，所以完全可以拋開正方形內的米粒數而用正方形的面積乘這個比值，圓的面積就可以被粗略地計算出來了，即圓的面積大約等于正方形面積的。

這個實驗操作雖然無法精確地得到圓的面積計算公式，但學生通過“挑—鋪—說—算—辨—想”等實驗操作積累了一定的數學活動經驗，知道了圓面積計算最早發生的形態。這會激起學生的學習興趣，更重要的是在積累活動經驗的過程中感知到曲邊圖形（圓）與直邊圖形（正方形）的面積有一定的關聯，這使得后續將圓轉化為長方形來求得面積變得更為順理成章。

二、借鑒數學史，通過合作探究積累數學活動經驗

學生在上述實驗操作中萌發了把圓面積轉化成直邊圖形面積來研究的想法，于是筆者啟發學生回顧平行四邊形的面積是如何通過割補法轉化成長方形面積的過程。在轉化思想的支撐下，進行了如下對話。

師：“大家能應用轉化的方法合作探究出圓的面積嗎？”生1：“可以把圓切開，重新拼接。”師：“任意切可以嗎？”生2：“可以在圓里面切出一個正方形或長方形。”師：“切完四邊形后，外圍剩下的4小塊還是曲邊圖形，沒法計算。”生3：“可以沿著半徑切。”生4：“可以沿著直徑切。”……此時，筆者再順水推舟介紹數學史上古印度數學家關于圓面積的探究：古印度數學家受切西瓜的啟發，把圓切成小瓣，然后把這些小瓣上下對接（介紹到此為止，不再往下）。接下來在切西瓜這一動作表象的作用下，請學生用帶來的圓形紙片在小組內合作學習，探究圓面積該如何計算。為了使探究活動更為高效，筆者建議學習小組對圓進行偶數等分。各個學習小組分別對圓進行了四等分、六等分、八等分、十等分、十二等分、十六等分，然后重新拼接。隨著等分的份數逐漸增加，筆者使用希沃授課助手將各小組拼擺的圖形投影到屏幕上進行對比，學生強烈地感受到分的份數越多，拼接出來的圖形越接近于長方形，這樣就可以把圓的面積轉化成長方形的面積來計算。此時筆者再追問：“圓的面積大小有變化嗎？”生：“不變，圓的面積轉化成長方形的面積。”師：“長方形的面積=長×寬，那么這個長方形的長和寬分別是哪條？等于什么？”因為有親身的探究經歷，學生輕松答出長方形的長等于圓周長的一半，即πr，寬等于半徑，即r，于是得到了圓的面積計算公式：S=πr2。在整個公式的推導過程中，學生密切合作，他們完成了等分、拼接、交流、推導四個探究活動。通過這些探究活動，學生經歷了圓面積轉化及其計算公式產生、發展、形成的過程，既感受了數學邏輯推理的嚴謹性，又發展了思維能力。這不僅幫助學生積累活動經驗，而且極大地提升了學生的數學素養。

三、聯系數學史，通過學以致用積累數學活動經驗

學習金字塔告訴我們：輸出式學習是一種最高效的學習方式。學以致用則是輸出式學習的直接表現。讓學生在學會圓的面積計算之后，立刻加以應用，不但能鞏固所學，而且在應用中能體會到數學與生活的聯系。

筆者在課堂上設計了一道馬兒吃草的問題：馬的韁繩被綁在一個樹樁上，已知繩子的長度是5米，求這匹馬能吃到草的最大面積是多少？在解決這個問題的過程中，能幫助學生體驗從生活經驗向數學活動經驗的升華，這樣的升華能幫助學生從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題并選擇適當的策略加以解決。接下來，學生展示了這道題的兩種解決策略：一是直接應用公式S=πr2進行解答;二是應用S=πr×r進行計算。從學生的發言中得知，在解題的過程中他們想到了圓的面積就是轉化后的長方形面積，長方形的長是圓周長的一半，寬是圓的半徑，當想到了長×寬就想到了πr×r。第二種解決策略說明了學生對探究活動的過程和結果已完成了內化，凸顯了利用數學活動獲得知識、形成能力的獨特價值。此時可聯系數學史，借助多媒體展示“圓田術”：大約在1800多年前，漢代數學家劉徽對《九章算術》中記載的圓面積公式（圓田術）進行注解——半周半徑相乘，得積步。也就是說圓面積等于圓的一半周長乘半徑，這樣聯系數學史的學以致用，讓學生的數學活動經驗得以積累，學習的熱情得以激發。

總之，數學史猶如一座神奇的數學寶藏，它蘊含著豐富的知識、方法和思想，只要我們深入挖掘，精心設計，必能為學生提供實驗操作、合作探究、學以致用機會，讓學生經歷數學知識發生發展的全過程，從而積累豐富的數學活動經驗。