分?jǐn)?shù)階Boost變換器的兩種預(yù)測(cè)電流控制

王允建， 霍星星， 張 偉

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院, 焦作 454000)

1 引 言

現(xiàn)有變換器的建模，多采用整數(shù)階模型描述[1-5]，實(shí)際上，電感電容等器件因損耗、飽和等原因表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階特性.Westerlund等[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段測(cè)定一些不同電解質(zhì)的電容器，結(jié)果表明,這些電容器的電壓電流關(guān)系都具有分?jǐn)?shù)階微分特性；Sch?fer等[7]以RLC振蕩電路為例說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階線圈模型的工作模式，指出繼電器線圈的階次是0.62.基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，王發(fā)強(qiáng)等[8-13]使用分?jǐn)?shù)階電容，研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)一步證實(shí)了物理系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性.文獻(xiàn)[14]研究了Boost變換器的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型，給出采用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型比整數(shù)階模型描述更準(zhǔn)確的結(jié)論.這表明Boost變換器在本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，但基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)研究Boost變換器的控制、系統(tǒng)設(shè)計(jì)等的報(bào)道較少，因此有必要對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)及控制進(jìn)行深入的研究.

文獻(xiàn)[15]依據(jù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理設(shè)計(jì)了控制器，并通過(guò)仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器具有良好魯棒性，但是只進(jìn)行了數(shù)值仿真，沒(méi)有進(jìn)行具體的電路仿真驗(yàn)證.文獻(xiàn)[16]針對(duì)分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模控制器，提高了系統(tǒng)輸出響應(yīng)的快速性和魯棒性.文獻(xiàn)[17]基于分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理和分?jǐn)?shù)階滑模面，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模控制器.文獻(xiàn)[18]在建立了Boost變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，仿真驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階PID控制器具有良好的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能.但是這些控制算法對(duì)參數(shù)調(diào)節(jié)困難，且輸出電壓波動(dòng)較大.近年來(lái)，預(yù)測(cè)控制作為一種先進(jìn)的控制理論，相比傳統(tǒng)控制算法具有動(dòng)態(tài)性能好和無(wú)需調(diào)節(jié)參數(shù)的特點(diǎn)，吸引了學(xué)者的研究.

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，建立Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型，對(duì)分?jǐn)?shù)階PI控制、整數(shù)階預(yù)測(cè)控制器和分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制作性能對(duì)比分析.最后通過(guò)Matlab對(duì)比仿真，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的正確性以及分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制的優(yōu)越性能.

2 分?jǐn)?shù)階Boost變換器

分?jǐn)?shù)階Boost變換器是指Boost變換器主電路中含有分?jǐn)?shù)階元件的電路，如圖1所示，含有分?jǐn)?shù)階電感Lα和分?jǐn)?shù)階電容Cβ，α和β分別是分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)且0<α<1,0<β<1，電感阻抗表達(dá)式為ZLα=Lαsα，電容阻抗表達(dá)式為ZCβ=1/(Cβsβ).圖1中,vin是輸入電壓;vo是輸出電壓;S是控制開(kāi)關(guān);Di是二極管;R為負(fù)載電阻.

根據(jù)周期均值的含義，建立分?jǐn)?shù)階Boost變換器的周期均值狀態(tài)方程為

(1)

式中,〈iL〉、〈vo〉、〈vin〉分別為一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)的電感電流平均值、輸出電壓平均值和輸入電壓平均值;d是開(kāi)關(guān)S的占空比.

圖1 分?jǐn)?shù)階Boost變換器電路原理圖

當(dāng)系統(tǒng)(1)處于輸出穩(wěn)態(tài)時(shí)，可求得Vo=Vin/(1-D)，Io=IL(1-D)，式中Vo、Io、IL、D分別是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的輸出電壓、輸出電流、電感電流均值、占空比.在控制過(guò)程中假設(shè)輸入電壓Vin不變，則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)的小信號(hào)模型為

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行基于Caputo定義的拉氏變換，可得輸出電壓對(duì)占空比傳函為

(3)

從式(3)可以看出，分?jǐn)?shù)階傳遞不僅與分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)有關(guān)，還與器件參數(shù)值有關(guān).因此,分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)無(wú)論是在頻域還是時(shí)域都會(huì)影響到系統(tǒng)的性能.當(dāng)α=β=1時(shí)，式(3)傳函就是整數(shù)階Boost變換器的傳函，從而說(shuō)明，整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特例.根據(jù)式(3)的傳遞函數(shù)，仿真對(duì)比相同參數(shù)下整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階Boost變換器的頻譜特性，如圖2所示.仿真時(shí)參數(shù)設(shè)置為Vo=120 V，L0.8=1.38 ΩS0.8，R=30 Ω，D=0.5，Cβ=4.7 mF，β=1.

由圖2可知,當(dāng)α≤1、β≤1時(shí)，在相同器件參數(shù)下，電感或電容的階數(shù)越小，頻帶越寬，通頻帶內(nèi)增益越平滑，相移逐漸平坦，越容易保證系統(tǒng)穩(wěn)定.

(a) β=1時(shí)不同α值Bode圖

(b) α=1時(shí)不同β值Bode圖

3 預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

3.1 分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制

預(yù)測(cè)控制作為一種先進(jìn)的控制理論，相比傳統(tǒng)的控制方法具有動(dòng)態(tài)性能好和無(wú)需參數(shù)調(diào)整的優(yōu)點(diǎn).

令T為采樣周期，其大小等于開(kāi)關(guān)周期.保持采樣與調(diào)制過(guò)程同步，可使得每次采樣都能獲得電感電流的均值.

對(duì)(1)式進(jìn)行離散化(PSE法)可得離散模型為

(4)

考慮控制器的一拍延遲，分?jǐn)?shù)階Boost變換器的離散模型修改為

(5)

(6)

同理可得，第k+2周期時(shí)的預(yù)測(cè)方程為

(7)

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，電感電流指令值iLref可由負(fù)載電流給定

(9)

式中,Vr為輸出電壓給定值.

采用該電流給定值，在負(fù)載和額定輸出電壓不變時(shí)，其值是一常數(shù)，電流指令簡(jiǎn)單.當(dāng)負(fù)載或電壓給定值突變時(shí)，指令電流將階躍性突變，容易引起系統(tǒng)響應(yīng)的較大超調(diào).為了克服指令電流的突變，采用如下思想給定電流指令.

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，在一個(gè)控制周期上，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)儲(chǔ)能為零.當(dāng)系統(tǒng)處于過(guò)渡過(guò)程時(shí)，動(dòng)態(tài)儲(chǔ)能為

(10)

在控制作用下，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)儲(chǔ)能逐漸趨于零.所以系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)儲(chǔ)能可以視為一壓縮響應(yīng)PLC(k+1)=γPLC(k)，0<γ<1.

根據(jù)一個(gè)控制周期上功率平衡可得，

(11)

則

(12)

綜上可得參考電流指令為

(13)

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，vo(k)=Vr，則iLref=γiL(k)+(1-γ)Vr2/Rvin(k)=Vr/(1-D)R.即當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，上述兩種給定指令電流是相同的.

上述預(yù)測(cè)電流控制本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，需要記錄的電壓、電流項(xiàng)較多.對(duì)分?jǐn)?shù)階Boost變換器使用分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制，能夠或得很好的動(dòng)態(tài)特性，但因需要較多的存儲(chǔ)單元和較大的計(jì)算量使得控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)硬件要求較高.在對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能要求不太高時(shí)可以考慮整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制.

3.2 整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制

仿真對(duì)比分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制分?jǐn)?shù)階Boost變換器和整數(shù)階Boost變換器的電感電流工作波形，如圖3所示.由圖3可知，無(wú)論是整數(shù)階還是分?jǐn)?shù)階Boost變換器，其電感電流波形都是三角波，當(dāng)開(kāi)關(guān)頻率和負(fù)載相同時(shí)，兩個(gè)三角波的相位和直流分量相同，僅幅值不同.在預(yù)測(cè)電流控制中，電感電流的幅值信息并不重要，重要的是其直流分量的變化.鑒于此，可將整數(shù)階電流預(yù)測(cè)控制器應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階Boost變換器.

圖3 整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階電感電流對(duì)比圖Fig.3 Comparison of integer and fractional inductor currents

借鑒文獻(xiàn)[1]，整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制的第k個(gè)控制周期的開(kāi)關(guān)占空比為

(14)

式中電感電流的預(yù)測(cè)值由下式給定

(15)

其中，電感電流指令iLref由(13)式給定.

該整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制，僅需記錄三個(gè)量，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得到控制占空比，在控制器結(jié)構(gòu)上比分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制器簡(jiǎn)單很多.

4 仿真分析

4.1 分?jǐn)?shù)階電感的實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法主要有解析解[19]和數(shù)值逼近求解兩類(lèi).其中電路模擬仿真求解法相比傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，具有求解結(jié)果穩(wěn)定準(zhǔn)確，運(yùn)算速度快等優(yōu)點(diǎn)[20].因此采用電路模擬仿真求解法.

分抗元件的實(shí)現(xiàn)方法是利用擬合算法和現(xiàn)有的元器件，在一定頻帶內(nèi)擬合出具有分?jǐn)?shù)階特性的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，本文的分?jǐn)?shù)階電感采用Oustaloup濾波器[21]逼近其特性.

分?jǐn)?shù)階電感阻抗表達(dá)式如式(16)所示.

ZLα=Lαsα

(16)

當(dāng)s=jω時(shí),

ZLα=Lα(jω)α=

RL+jLL, (0<α<1)

(17)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階電感阻抗表達(dá)式(17)，可得幅頻特性和相頻特性表達(dá)式如式(18)和式(19)所示.

ALα(ω)=Lαωα

(18)

(19)

因sα不是有理分式，無(wú)法直接實(shí)現(xiàn).在此采用Oustaloup算法在一定的頻帶內(nèi)逼近實(shí)現(xiàn).當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的電感值Lα=1.38 Ω S0.8，階數(shù)α=0.8時(shí)，用Oustaloup算法實(shí)現(xiàn)逼近電路的分?jǐn)?shù)階電感傳遞函數(shù)為

1.38×10-3s0.8≈P(s)/Q(s)

(20)

P(s)=13.8s11+2.392×105s10+4.552×

108s9+1.054×1011s8+3.001×1012s7+

1.054×1013s6+4.562×1012s5+2.434×

1011s4+1.601×109s3+1.296×106s2+

127.7s+0.00138

Q(s)=s11+9.252×104s10+9.395×108s9+

1.16×1012s8+1.764×1014s7+3.306×

1015s6+7.637×1015s5+2.175×1015s4+

7.635×1013s3+3.299×1011s2+1.734×

108s+104

將Oustaloup算法實(shí)現(xiàn)的此分?jǐn)?shù)階電感傳函轉(zhuǎn)化為電路實(shí)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖4.圖4中元件參數(shù)為RL1=369.019 Ω，RL2=26.498 Ω，RL3=4.035 Ω，RL4=0.5206 Ω，RL5=67.3 m Ω，RL6=8.7 mΩ，RL7=1.1 mΩ，RL8=144.78 μΩ，RL9=18.585 μΩ，RL10=3.0689 μΩ；電感值為L(zhǎng)1=66.42 μH，L2=34.226 μH，L3=67.315 μH，L4=112.14 μH，L5=187.18 μH，L6=311.99 μH，L7=521.2 μH，L8=867.7 μH，L9=1.4 mH，L10=6 mH.

圖4 分?jǐn)?shù)階電感的逼近電路

由式(17)、Oustaloup算法分別繪制ZLα(s)的bode圖，如圖5和圖6所示.由圖5和圖6可以看出，Oustaloup算法在一定的逼近頻帶內(nèi)可以很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階電感的逼近.

圖5 理想的ZLα(s)bode圖： α=0.8Fig.5 Bode diagram of ZLα(s) of ideal: α=0.8

圖6 Oustaloup算法ZLα(s)bode圖Fig.6 Bode diagram of ZLα(s) of Oustaloup arithmetic

4.2 仿真結(jié)果

將圖4所示的分?jǐn)?shù)階電感應(yīng)用于圖1的Boost電路，其他參數(shù)設(shè)置為：輸入電壓vin=60 V，輸出電壓Vr=120 V，負(fù)載R=30 Ω，開(kāi)關(guān)管工作頻率f=20 kHz，輸出端電容C=4.7 mF，階數(shù)β=1.在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建仿真系統(tǒng)，仿真時(shí)系統(tǒng)的初始輸出電壓為0，并考察負(fù)載電阻突變情況下的系統(tǒng)性能.

圖7給出了分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制和分?jǐn)?shù)階PI控制作用下的輸出電壓波形.圖中虛線代表分?jǐn)?shù)階PI控制，實(shí)線代表分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制.負(fù)載電阻在1 s時(shí)刻從30 Ω變化到50 Ω，分?jǐn)?shù)階PI控制下電壓波動(dòng)為1.7 V，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制下電壓波動(dòng)為0.15 V.負(fù)載電阻在2 s時(shí)刻從50 Ω變化到20 Ω，分?jǐn)?shù)階PI控制下電壓波動(dòng)為3.65 V，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制下電壓波動(dòng)為0.5 V.在啟動(dòng)階段，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制的超調(diào)明顯小于分?jǐn)?shù)階PI控制，且過(guò)渡時(shí)間短.所以對(duì)于分?jǐn)?shù)階Boost變換器，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制的效果優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PI控制.

圖7 負(fù)載突變仿真波形Fig.7 Load mutation simulation waveform

圖8給出了分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制和整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制作用下的輸出電壓波形.圖8中，虛線代表整數(shù)階預(yù)測(cè)控制器，實(shí)線代表分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制.負(fù)載電阻在1 s時(shí)刻從30 Ω變化到50 Ω，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制為0.2 V，整數(shù)階預(yù)測(cè)控制下電壓波動(dòng)為2.5 V.負(fù)載電阻在2 s時(shí)刻從50 Ω變化到20 Ω，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制電壓波動(dòng)為0.32 V，整數(shù)階預(yù)測(cè)控制下電壓波動(dòng)為2.9 V.分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制與整數(shù)階預(yù)測(cè)控制相比，輸出電壓波動(dòng)幅度的比較小.

圖8 負(fù)載突變仿真波形Fig.8 Load mutation simulation waveform

通過(guò)上述3種控制方法的對(duì)比仿真表明，在系統(tǒng)參數(shù)相同時(shí)，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制抵抗負(fù)載突變能力和調(diào)節(jié)性能方面優(yōu)于其它兩種控制方法.

5 結(jié) 論

本文討論了分?jǐn)?shù)階Boost變換器的兩種預(yù)測(cè)電流控制——分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制和整數(shù)階預(yù)測(cè)電流控制.在分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制中對(duì)電感電流和輸出電壓在一個(gè)控制周期上的均值均做一步預(yù)測(cè)，充分利用了當(dāng)前一段時(shí)間內(nèi)的多個(gè)歷史值；而在整數(shù)階預(yù)測(cè)控制中僅對(duì)電感電流在一個(gè)控制周期上的均值做一步預(yù)測(cè)，僅利用了當(dāng)前時(shí)刻的2個(gè)數(shù)據(jù).因此，分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制的性能更優(yōu)，但控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)硬件設(shè)備的要求高，適用于高性能控制場(chǎng)合.整數(shù)階控制性能雖然不如分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制，但控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，對(duì)硬件設(shè)備的要求相對(duì)較低，適用于一般性能的控制場(chǎng)合.對(duì)比仿真結(jié)果說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)電流控制能獲得更佳的控制性能.