一類帶時變系數的退化拋物系統的奇性

胡 麗, 樊明書

(西南交通大學數學學院， 成都 610031)

1 引 言

在本文中, 我們研究以下的方程組：

(1)

其中Ω?Rn是一個光滑有界區域,m,n>1， 系數k1(t),k2(t)是關于t>0的正連續函數. 我們假設非線性項f1(v),f2(u)滿足f1(v)>0,f2(u)>0,f1′(v)>0,f2′(u)>0,(u,v>0)，f1(0)=f2(0)=0，且初值u0(x)，v0(x)是非平凡的非負連續函數, 在邊界?Ω上為零.

自上世紀60年代以來, 很多學者對非線性拋物方程的整體解和爆破進行了研究[1-6].如，2007年Payne等[7]研究了帶Dirichlet邊界條件的下述半線性拋物問題

ut=Δu+f(u), (x,t)∈Ω×(0,t*),

證明了該方程存在爆破解, 并對爆破時間進行了估計.2016年, Xia等[8]研究了半線性拋物方程

ut=Δum+f(t)g(u), (x,t)∈Ω×(0,T),

其邊界條件為u(x,t)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)，證明了解的全局存在性, 解在有限時間內爆破, 并給出了爆破時間的上下界估計. 同年，Xia等[9]研究了方程組的相似情形. 其它的相關工作還可參見文獻[10-13].

另一方面，在文獻[5]中, Du給出了擬線性退化方程(組)爆破解的處理方法. 受此啟發, 我們利用該文中的方法對問題(1)進行研究. 我們將首先建立(1)的局部存在性和比較原理，在此基礎上給出(1)的整體存在和爆破的條件. 我們的主要結果如下.

定理1.3假設存在正常數p,q及ξ>0使得f1(ξ)≥ξp,f2(ξ)≥ξq成立, 且k1=min{infk1(t),infk2(t)}>0. 若pq>mn, 則問題(1)的每個古典解對大的初值u0(x),v0(x)在有限時間內爆破.

2 比較原理

在本節中我們證明定理1.1.固定ε>0并定義u0,v0為

u0=u(x,0)+ε,v0=v(x,0)+ε

(2)

對n=1,2,3,…, 歸納定義un,vn為下述問題的解：

(3)

容易看出,un≤un-1,vn≤vn-1(n=1,2,…). 對n=1, 該不等式是我們的假設. 換言之, 我們假設u0≥u1,v0≥v1. 設該不等式對n-1成立, 即

un-1≤un-2,vn-1≤vn-2.

那么

un-1,t-Δun-1(x)m-k1(t)f1(vn-1)≥

un-1,t-Δun-1(x)m-k1(t)f1(vn-2)=0,

vn-1,t-Δvn-1(x)n-k2(t)f2(un-1)≥

vn-1,t-Δvn-1(x)n-k2(t)f2(un-2)=0,

un-1(x,0)≥un(x,0),vn-1(x,0)≥vn(x,0).

因而(un-1,vn-1)是問題(3)的一個上解，從而

un≤un-1,vn≤vn-1.

定義

當IΩ(u,v,χ)=JΩ(u,v,χ)=0時，我們稱(u,v)是(1)的弱解.

設η滿足

且

因此

同理,

這意味著

3 整體解的存在性

為了后面證明方便, 我們首先不加證明地引入下邊兩個引理.記

引理3.1若pq(0,0)T對所有c>0成立.

引理3.2若pq>mn, 則存在正常數l1,l2使得AL<(0,0)T且A(cL)<(0,0)T對所有c>0成立.

設φ(x)是

(4)

(5)

(1+φ(x))ml1-2|φ(x)|2+

(1+φ(x))ml1-1Δφ(x)}≥

-ml1Kml1(1+φ(x))ml1-1Δφ(x)=

ml1Kml1(1+φ(x))ml1-1≥

ml1Kml1(1+C)ml1-1

(6)

(7)

類似可得

nl2Knl2(1+C)nl2-1

(8)

及

(9)

其中

(10)

若pq0,l2>0，使得ml1-pl2>0，nl2-ql1>0且ml1<1,nl2<1.從而我們可以選擇充分大的K使得K>max{K1,K2}，且

(K(φ(x)+1))l1≥u0(x),

(K(φ(x)+1))l2≥v0(x)

(11)

4 解的有限時間爆破

在定理1.3的證明中，我們采用Du在文獻[5]中的證明思想.

首先，由比較原理, 我們構造問題(1)在Ω的某個子區域內的上解, 其中u,v>0.

設ψ(x)是一個平凡的非負連續函數且在?Ω上為零. 不失一般性, 我們假定0∈Ω且ψ(0)>0. 接下來, 我們構造問題(1)的一個爆破上解. 記

(12)

其中

對充分小的T，記

B(0,R(T-t)α)?B(0,RTα)?Ω

(13)

(14)

且

(15)

其中T>0充分小.

(16)

(17)

從而

(18)

(19)

(20)

(21)

如果pq>mn, 由引理3.2知存在兩個正常數l1,l2, 使得

ml1-pl2<-1,nl2-ql1<-1，

(m-1)l1>1, (n-1)l2>1.

這樣，我們得到

pl2>ml1+1>l1+1,ql1>nl2+1>l2+1

pl2>ml1+1>l1+1,ql1>nl2+1>l2+1.

因此, (13)式對充分小的α>0和T>0成立. 應用式(18)～(21)得

(22)