基于交互式多模型無跡卡爾曼濾波的懸架系統狀態估計

王振峰， 李飛， 王新宇， 楊建森， 秦也辰

(1.中國汽車技術研究中心有限公司 汽車工程研究院， 天津 300300； 2.中汽研(天津)汽車工程研究院有限公司， 天津 300300；3.北京理工大學 機械與車輛學院， 北京 100081)

0 引言

車輛電動化、智能化、網聯化以及共享化是汽車工業發展的必然趨勢，自動駕駛車輛底盤性能的提升仍是當今國際學術界與工業界研究的熱點與難點問題[1]。可控懸架系統能夠根據車輛系統運動狀態，通過對應控制器優化算法，間接改變懸架部件輸出力特性，進而達到優化系統振動抑制的目的。在此過程中，合理高效地獲取車輛懸架系統實時狀態，為可控懸架提供準確的狀態輸入顯得尤為重要[2]。由于部分狀態難以直接測量，基于狀態觀測器算法進行的車輛懸架系統實時狀態估計得到了廣泛研究[3]。卡爾曼濾波(KF)方法是目前應用最為廣泛的狀態觀測算法，但傳統KF算法性能高度依賴于系統模型準確度，且需滿足過程與測量噪聲均為高斯白噪聲的假設才能夠保證觀測最優性[4]。由于懸架系統時變參數與隨機路面激勵復合輸入的影響，使得傳統KF方法難以滿足復雜多變行駛條件下的懸架狀態準確估計。

在復雜系統建模與非線性控制方面，人工智能(AI)算法在受控對象控制精度及工作效率方面較傳統控制算法具有突出的優勢，因而在工業界得到了越來越多的應用[5]。交互式多模型卡爾曼濾波(IMMKF)方法具有計算高效、運行低廉的特點，所以作為典型的AI方法被廣泛使用[6-9]。文獻[10]中設計了一種新型交互多模型擴展卡爾曼濾波算法以改善系統識別精度。仿真數據表明，該方法相較傳統模型切換方法具有更高的識別精度。文獻[11]中利用交互多模型濾波方法對路面附著系數與側向加速度進行了實時估計，Matlab&Carsim聯合仿真結果表明所設計的觀測器具有較高的狀態識別精度。然而，以上文獻中的系統模型均基于參數時不變假設建立。

時變系統參數會導致基于模型的狀態估計算法識別誤差劇增[12]。為提升時變參數下的系統狀態估計準確率，文獻[13]采用無跡卡爾曼濾波(UKF)方法識別車輛簧載質量參數，并通過仿真方法驗證其有效性。在文獻[14]中利用自適應卡爾曼濾波(AKF)與擴展卡爾曼濾波(EKF)相結合的非線性狀態觀測算法，通過仿真與試驗方法對比驗證了車輛簧載質量有效估計。然而，以上文獻在設計觀測器過程中未充分考慮系統參數或模式之間的轉移或切換。

為有效解決上述問題，進一步提升具有參數時變以及非線性特性的懸架系統的狀態觀測精度，本文提出了基于交互式多模型無跡卡爾曼濾波(IMMUKF)算法。結合基于馬爾可夫鏈的蒙特卡羅(MCMC)方法與隨機穩定判定理論，校驗所設計非線性觀測器的估計效果；通過與傳統UKF方法的對比，驗證了所設計觀測器的精確性與高效性。

1 路面模型

由于路面具有平方可積的性質且路面高程為隨機過程，其特性可以用功率譜密度(PSD)函數的形式描述[3]。基于國際標準化組織ISO-8608定義可知，利用PSD函數可有效表征路面不平度特征[15]，具體為

(1)

為有效避免路面不平度低頻誤差，此處基于有理數方法進行路面PSD描述[16]：

(2)

式中：ε為道路特性參數；η2為路面不平度參數。基于最小二乘非線性參數辨識方法， (2)式中參數識別結果如表1所示[16]。

表1 路面不平度識別參數

利用以上識別參數可較好實現不同等級路面不平度函數的模擬，更多信息可參考文獻[16]。

2 懸架系統建模

圖1 半主動懸架模型Fig.1 Semi-active suspension model

半主動懸架垂向運動線性化模型，具體如圖1所示，且對應的動力學方程為

(3)

表2 懸架系統模型參數

為進一步驗證線性化懸架模型的識別精度，此處選取表2中簧載質量410 kg與阻尼參數2 000 N·s/m對比分析了ISO-E級壞路面激勵工況下非線性與線性化懸架模型系統響應誤差，其均方根值(RMS)結果如表3所示。由表3可知，ISO-E級路面激勵工況下非線性與線性化懸架系統響應誤差RMS不超過12%。

表3 ISO-E級路面激勵非線性與線性化懸架系統模型響應RMS對比

在下面研究中，將基于上述線性化模型進行狀態估計研究。

3 MCMC狀態轉移矩陣的構建

懸架系統狀態觀測精度易受模型參數的影響[18]，為求解IMMUKF算法中狀態轉移矩陣，進而獲取更高的系統識別精度，此處引入馬爾可夫鏈自適應采樣(AS)的概念。

首先，利用隨機數產生并映射隨機變量；通過生成的隨機數創建向量ι～φ(ι|θk)，其中：ι為Zn的元素單元，Zn屬于有序數集，且n=1，2，…為正自然數；φ是馬爾可夫鏈映射函數；θk是馬爾可夫鏈，且k=1，2，…為正自然數。對應的ι～φ(ι|θk)可定義如下可逆轉移：即在任意Znθ子空間中建立馬爾可夫轉移矩陣，對于任意密度ι～φ(ι|θk)，其階躍傳遞過程如下:

(4)

3.1 Metropolis-Hastings采樣

一般的φ(θ,ι)∶=φ(ι|θk)φ(θ)可設計為θk～φ(·)與(θk,ι)～φ(·)的組合，φ(·)為θk的密度函數，且在t時刻以接收率α(θk,ι)的速度獲取采樣因子，其中不同修正值φ(·)可得到不變的采樣密度[19]。

(5)

式中：uu為區間[0，1]的選取量。

利用馬爾可夫鏈可定義：

(6)

式中：φ(θk,ι)與其邊界值φ(θk)為常值；|JT(θk,ι)|是階躍傳遞矩陣T核心因子的絕對值。

具體證明如下：

假設θk～φ(·)?θk+1～φ(·)且不包含反向識別，可得簡化形式：

若α(x)≥u且y=x，則y=T(x).

(7)

對于任何限制或最小值y∈dy，z∈dz，其可表示為z∈dz=T-1(dy)，且當φ(z)和φ(y)正定時：

(8)

式中：P為矩陣函數；dz是自然數集合且為幾何測量；對應的反函數定義為

(9)

則α∶=φ(y)/φ(z)|JT(z)|=(φ(y)/φ(z)|JT(y)|)-1.

利用上述理論，可有效驗證φ(y)=0工況下(8)式的有效性，即y～φ(θ,ι)?θk+1～φ(θ)。

3.2 自適應采樣

由(6)式可知，矩陣T(θk,ι)可寫成：

θk+1=θk+ι′e，κ=-ι′，且ι′,κ，e∈Zn，

(10)

式中：ι′代表φ(·)函數的條件密度；e為方向函數。則對于隨機方向e可表示為

(11)

具體證明如下：

若定義|JT|=1,?e∈Znθ，則對應的接受率可表示為

(12)

利用識別函數，可對上述T(θk,ι′)函數進行可逆驗證，且在φ(·)函數具有較強多維交互關聯工況下，AS較Gibbs采樣可有效改善采樣的接受率[19-20]。

3.3 MCMC隨機穩定性分析

此部分主要說明在不確定狀態轉移率(TR)工況下確定系統兼容性的穩定性判據，具體描述如下[20-21]。

首先，在懸架簧載質量不確定工況下對應系統方程(3)式的增廣狀態空間表達式為

(13)

且

此時，假設當正自然數λ>0與μ>1，且d是矩陣系數時，若存在任意的非奇異矩陣Pa,i及正定對稱矩陣Qa,i>0，Za,i>0,Va,i>0,Wa,i>0,Ta,i>0,Ua,i>0與合理維度Mα,i, 對任意可逆矩陣E，系統(13)式的不確定TR隨機兼容設置條件為

(14)

(15)

(16)

若i∈Ia,m,?l∈Ia,m,Ia,m∈{ka,1,ka,2,…,ka,m}，且m=1,2,…為自然數，則

(17)

Qa,i-Qa,l≥0.

(18)

(19)

(20)

且

ETPa,i≤μETPβ,j,Qa,i≤μQβ,j,Qa≤μQβ,
Za≤μZβ,?a,β∈S1,i1,j1∈S2,a≠β,

(21)

式中：β是矩陣因子系數；j為自然數，且S1與S2均為自然數集。

同時，平均計算間隔時間Ta需滿足：

(22)

且

4 UKF與IMMUKF算法分析

此部分的目的主要是精確獲取不同路面激勵工況下懸架簧載質量及其瞬態運動狀態，對應具體的估計算法框架如圖2所示。

圖2 懸架系統IMM-UKF算法狀態估計框圖Fig.2 Block diagram of state estimation of suspension system using IMM-UKF algorithm

4.1 簧載質量UKF估計算法

基于文獻[12]的描述，利用UKF算法可對懸架系統簧載質量進行有效估計：

(23)

(24)

圖3 懸架系統簧載質量UKF算法估計框圖Fig.3 Block diagram of sprung mass estimation of suspension system using UKF algorithm

4.2 懸架IMMUKF估計算法

利用懸架動力學與控制理論，可得線性系統離散狀態方程為

(25)

式中：x(k)∈Rn、z(k)∈Rp分別是離散時間狀態與測量變量；m(k)是離散狀態，m(k)∈{1，2，…，r}；Am，k和Cm，k為系統矩陣；過程噪聲wm，k(k)和測量噪聲vm，k(k)分別近似為相互獨立均值為0的高斯序列。同時m(1),m(2),…,m(k)是馬爾可夫鏈模式轉換矩陣的矩陣因子且可用第3節中方法求解。

基于上述分析，則IMMUKF算法具體描述如下。

步驟1模型q定義交互輸入。

模型q的預測處理:

(26)

式中：p、q為正自然數；Ppq為模型p到模型q的模型轉移概率；μq(k-1)是步驟t=k-1時的模型轉移概率；r是正自然數。

模型p對模型q的混合概率:

(27)

模型q的混合狀態估計：

oq(k-1|k-1)=

(28)

模型q的混合協方差估計；

(29)

步驟2更新模型q.

由時刻k-1到k的過渡狀態預測為

(30)

時刻k-1到k的過渡協方差預測為

(31)

計算UKF在k時刻的增益：

(32)

UKF濾波狀態計算：

q(k|k)=q(k|k-1)+
Kq(k)[z(k)-zq(k|k-1)]，

(33)

式中：z為k時刻輸出狀態計算變量；zq為k-1時刻輸出狀態測量變量。

UKF濾波器協方差：

(34)

步驟3更新模型q的概率。

模型q可表示為

(35)

模型q亦可表示為

(36)

步驟4計算交互模型q.

基于以上分析，整體估計狀態可由以下加權因子計算：

(37)

總體協方差估計：

(k|k)][q(k|k)-(k|k)]T}.

(38)

綜合以上分析，IMMUKF算法的求解流程如圖4所示。

圖4 IMMUKF算法狀態估計框圖Fig.4 Block diagram of state estimation using IMM-UKF algorithm

5 仿真與驗證

5.1 仿真設置概述

此部分主要驗證IMMUKF算法對懸架系統狀態的識別準確性，以下仿真中，行駛條件設定為ISO-C/E及車速60 km/h.

通過研究m=590 kg附加簧載工況下，結合IMMUKF算法與UKF算法，計算不同觀測器算法的均方根(RMS)誤差值如表4所示，且對應的懸架系統狀態估計仿真結果如圖5和圖6所示。

圖5 ISO-C級激勵工況下懸架系統UKF算法和IMMUKF算法狀態估計Fig.5 Results of state estimation of suspension system using UKF and IMM-UKF algorithms under ISO-C road excitation

圖6 ISO-E級激勵工況下懸架系統UKF算法和IMMUKF算法狀態估計Fig.6 Results of state estimation of suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-E excitation

表4 ISO-C/E級激勵工況下不同估計模式計算的RMS數值誤差(車速60 km/h，m=590 kg)

5.2 仿真驗證

通過計算可知，UKF算法與IMMUKF算法的懸架系統狀態估計絕對誤差值如圖7和圖8所示。由圖7和圖8仿真結果表明，非簧載速度與簧載質量速度的狀態估計精度低于其他狀態觀測精度。由表4可知：IMMUKF算法的狀態估計RMS誤差數值不超過7.5%；在不同路面輸入工況下，相應的懸架動行程與簧載質量速度的RMS誤差值均小于0.3%。

圖7 ISO-C級激勵工況下懸架系統UKF算法和IMMUKF算法狀態估計絕對誤差結果Fig.7 Results of absolute error state estimation of suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-C excitation

圖8 ISO-E級激勵工況下懸架系統UKF算法和IMMUKF算法狀態估計絕對誤差結果Fig.8 Results of absolute error state estimation of the suspension system using UKF&IMMUKF algorithm under ISO-E excitation

為進一步說明計算運行時間對所設計狀態估計算法的影響，此處利用Matlab仿真環境(電腦配置參數：i7@2.9 GHz+12 GB內存運行環境)分析了不同離散計算時間步對IMMUKF算法運算周期的影響，具體如表5所示。

表5 不同離散計算時間步的IMMUKF算法運算時間

由表5可知，隨著運算離散時間步長的增加，IMMUKF算法計算時間呈逐漸減小趨勢，且運算離散時間步長增加對IMMUKF算法整體運算時間影響不明顯。

基于以上分析及不同的仿真結果相比可知，不同路面激勵工況下IMMUKF算法可獲得更高的非線性懸架狀態估計精度。

5.3 試驗驗證

為進一步驗證所設計IMMUKF算法的有效性，此處搭建了車輛1/4懸架狀態估計試驗臺架，具體如圖9所示。圖9中：路面激勵由MTS液壓伺服系統模擬施加在車輪上；質量塊和車身框架組成簧上質量，且簧上質量可依據實際需求增減質量塊數量來協調；對應的路面激勵模擬設備參數如表6所示。

圖9 車輛1/4懸架狀態估計試驗臺架Fig.9 State estimation of a quarter vehicle suspension test rig

表6 道路模擬臺架參數

利用上述臺架可獲取ISO-C路面(車速40 km/h)激勵下半主動懸架系統簧上/簧下加速度、輪胎變形等信號，依據5.2節仿真部分的參數及變量定義，可得依據試驗數據獲取半主動懸架動行程、輪胎變形識別狀態的RMS誤差值，如表7所示。

表7 ISO-C級路面激勵不同估計模式計算的RMS數值誤差(車速40 km/h，m=590 kg)

由表7可知，ISO-C路面仿真與臺架參考數據識別的懸架系統狀態RMS誤差數值一致性較好，且均未超過5%。此處需要說明的是，由于輪胎自身及臺架結構非線性特性，將會影響不同輸入工況下對應的半主動懸架系統狀態識別精度。

綜合以上仿真與試驗驗證結果可知，所設計的IMMUKF算法可較好實現對半主動懸架系統實時狀態的有效估計。

6 結論

本文提出了基于懸架系統模型的IMMUKF非線性狀態觀測識別算法，驗證了不同路面激勵工況下UKF&IMMUKF算法識別系統狀態的有效性，進而為懸架系統控制提供了更加精確的狀態輸入。得到主要結論如下：

1) 利用MCMC方法能對懸架簧載質量交互變化工況下的狀態轉移矩陣進行實時求解。

2) 設計基于MCMC方法的IMMUKF算法可對懸架系統狀態進行有效識別。

3) 在ISO-C/E級路面激勵工況下，結合傳統UKF算法，有效驗證了IMMUKF算法的正確性，且系統仿真估計RMS數值誤差不超過8%。

同時，IMMUKF算法后續將應用于實際路面激勵工況下半主動懸架系統控制算法的驗證，以此達到優化車輛懸架系統性能的目的。

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