最優(yōu)控制理論在智能汽車(chē)橫向控制中的應(yīng)用*

隋官昇，王昊斌，周草草，呂俊成

最優(yōu)控制理論在智能汽車(chē)橫向控制中的應(yīng)用*

隋官昇1，王昊斌1，周草草2，呂俊成3

（1.吉林大學(xué) 汽車(chē)工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；2.中動(dòng)智輪科技有限公司，廣西 柳州 545006； 3.上汽通用五菱汽車(chē)股份有限公司，廣西 柳州 545007）

針對(duì)汽車(chē)轉(zhuǎn)向幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型適合低速軌跡跟蹤、精度低等特點(diǎn)，利用簡(jiǎn)化后的線性二自由度車(chē)輛模型和預(yù)瞄誤差模型，建立了預(yù)瞄式軌跡跟蹤模型。結(jié)合最優(yōu)控制理論，設(shè)計(jì)LQR控制器計(jì)算期望的車(chē)輪轉(zhuǎn)角并增加前饋控制器消除穩(wěn)態(tài)誤差，實(shí)現(xiàn)車(chē)輛跟隨期望路徑。通過(guò)CarSim與Simulink的聯(lián)合仿真，驗(yàn)證了橫向控制策略具有較好的控制效果。

智能車(chē)輛；橫向控制；線性二次型調(diào)節(jié)器

引言

以提高道路交通安全、減少能源損耗與環(huán)保為主要目的，智能車(chē)輛成為汽車(chē)行業(yè)轉(zhuǎn)型發(fā)展新的風(fēng)向標(biāo)，世界各國(guó)政府投入了大量的經(jīng)費(fèi)，相關(guān)科研人員也開(kāi)展了廣泛的研究。而運(yùn)動(dòng)控制是智能汽車(chē)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)，是實(shí)現(xiàn)無(wú)人駕駛汽車(chē)落地行駛的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，直接確保了車(chē)輛在道路上行駛的安全和穩(wěn)定。

橫向控制是依據(jù)車(chē)輛和道路等信息，設(shè)計(jì)某種控制策略對(duì)智能汽車(chē)的車(chē)輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行控制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)車(chē)輛對(duì)期望路徑快速精確地跟隨。車(chē)輛橫向控制研究開(kāi)始于20世紀(jì)50年代，隨著研究的深入，對(duì)于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型的了解和掌握也趨于成熟，其中應(yīng)用廣泛且相對(duì)簡(jiǎn)單的便是單軌模型。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)橫向控制問(wèn)題提出了許多研究方法，比如PID控制，最優(yōu)控制，滑模控制，模型預(yù)測(cè)控制等。文獻(xiàn)一[1]通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)PID控制器實(shí)現(xiàn)了控制器參數(shù)的實(shí)時(shí)調(diào)整，提高了軌跡跟蹤的精度，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性也得到了優(yōu)化；文獻(xiàn)二[2]研究了一種上層模糊控制，下層PID反饋控制的分層式控制器，并驗(yàn)證了該控制器的有效性；文獻(xiàn)三[3]在車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究了反饋線性化的軌跡跟蹤橫向控制器；文獻(xiàn)四[4]利用滑模控制理論，以車(chē)輛線速度和角速度為輸入，實(shí)現(xiàn)了車(chē)輛對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤；文獻(xiàn)五[5]設(shè)計(jì)了三維模糊控制算法，并驗(yàn)證了該算法具有良好的適應(yīng)性。

汽車(chē)的轉(zhuǎn)向幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型僅適用于低速工況下的軌跡跟蹤研究，忽略了車(chē)輛本身的動(dòng)力學(xué)特征，一旦車(chē)速過(guò)快或者曲率發(fā)生突變的情況發(fā)生，控制算法便無(wú)法滿足車(chē)輛軌跡跟蹤精度和穩(wěn)定性要求，甚至導(dǎo)致危險(xiǎn)的發(fā)生。本文主要介紹車(chē)輛的軌跡跟蹤模型，包括車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型和預(yù)瞄式跟蹤模型，基于最優(yōu)控制理論建立軌跡跟蹤控制器并驗(yàn)證了控制效果。

1 軌跡跟蹤模型

1.1 車(chē)輛線性二自由度動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于基于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型的控制方法，動(dòng)力學(xué)建模是首要的工作。由于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型具有非線性和時(shí)變性的特征，因此整個(gè)車(chē)輛的精確建模難度很大。在橫向控制中，車(chē)輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)特性是關(guān)注重點(diǎn)，通常將車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化為的二自由度橫向動(dòng)力學(xué)模型。假設(shè)車(chē)身的縱向速度保持不變，其橫向動(dòng)力學(xué)模型的只有側(cè)向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)兩個(gè)自由度。

為了保證路徑跟蹤控制的實(shí)時(shí)性，需要在二自由度動(dòng)力學(xué)精確模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)化計(jì)算，得到二自由度動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，如圖1所示。

圖1 汽車(chē)二自由度動(dòng)力學(xué)模型

由簡(jiǎn)化后的車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型可以得到，車(chē)輛橫向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

式中：

m——汽車(chē)質(zhì)量（kg）；

v——汽車(chē)橫向車(chē)速（m/s）；

F、F——汽車(chē)前、后輪縱向力（N）；

F、F——汽車(chē)前、后輪側(cè)向力（N）；

——汽車(chē)橫擺角速度（deg/s）；

I——汽車(chē)相對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg.m2）。

在輪胎模型是線性的情況下，前、后輪側(cè)向力簡(jiǎn)化得：

式中：

、——前、后輪的輪胎側(cè)偏角（deg）；

c、c——前、后輪的輪胎的側(cè)偏剛度（N/rad）；

將式（2）代入式（1）得：

1.2 預(yù)瞄誤差模型

車(chē)輛的軌跡跟蹤可以分為兩種：預(yù)瞄式軌跡跟蹤和非預(yù)瞄式軌跡跟蹤。預(yù)瞄式軌跡跟蹤考慮了道路的幾何特性，魯棒性好，因此本文采用預(yù)瞄跟蹤模型，如圖2所示。

其中，L為預(yù)瞄距離；a和b為汽車(chē)質(zhì)心到前、后軸的距離；為車(chē)身縱向軸線與道路中心線之間的夾角；和分別表示車(chē)輛前后軸中心至道路中心線的橫向偏差；和分別為預(yù)瞄點(diǎn)和車(chē)輛質(zhì)心到道路中心線的橫向偏差。

圖2 預(yù)瞄誤差模型

從圖2的幾何關(guān)系可以得到：

因?yàn)?i>θ足夠小，所以式（4）可以近似為：

預(yù)瞄誤差變化率為：

1.3 軌跡跟蹤偏差狀態(tài)方程

利用汽車(chē)質(zhì)心處與道路中心線之間的距離建立路徑跟蹤誤差模型，車(chē)輛跟蹤目標(biāo)軌跡時(shí)的期望向心加速度和期望橫擺角速度可以表述為：

當(dāng)θ足夠小時(shí)，質(zhì)心處的橫向跟蹤誤差和角度跟蹤誤差θ滿足：

假設(shè)汽車(chē)縱向速度恒定，將式（8）微分后得到：

將式（8）代入式（6），則預(yù)瞄點(diǎn)處的橫向循跡誤差滿足：

將式（10）兩邊求導(dǎo)得：

將式（9）、（10）、（11）代入式（3）得到的狀態(tài)空間方程為：

3 智能汽車(chē)橫向跟蹤控制器設(shè)計(jì)

3.1 橫向跟蹤LQR控制器

在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)空間方程表示的線性系統(tǒng)是線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）的主要研究對(duì)象，將控制輸入的二次型函數(shù)或控制對(duì)象的狀態(tài)設(shè)計(jì)為目標(biāo)函數(shù)。

考慮一個(gè)系統(tǒng)：

式中，（）為狀態(tài)變量，（）為控制量。

假設(shè)初始狀態(tài)（0）=0，二次型評(píng)價(jià)函數(shù)的一般形式如下：

式中，0（）為半正定終端加權(quán)矩陣，（）為半正定加權(quán)矩陣，（）為正定加權(quán)矩陣。（）、（）通常取對(duì)角陣。

通過(guò)使目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)獲得最小值，求得系統(tǒng)的最優(yōu)控制量（），將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到最終狀態(tài)，達(dá)到以最小的消耗量保持較小誤差的控制效果，實(shí)現(xiàn)能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的反饋控制律：

其中，為黎卡提方程+AP--1BP+=0的解。

3.2 前饋控制器

將式（15）的反饋控制律代入狀態(tài)空間方程（12）中，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)反饋方程：

令前饋控制輸出的車(chē)輪轉(zhuǎn)角為δ，則加入前饋模塊的橫向跟蹤LQR控制器的完整控制律表示為：

將式（17）代入式（12）得到：

對(duì)式（18）進(jìn)行拉普拉斯變換，利用終值定理求極值可以得到距離偏差和航向偏差的穩(wěn)態(tài)誤差：

其中，e為橫向跟蹤距離偏差的穩(wěn)態(tài)值；為橫向跟蹤航向偏差的穩(wěn)態(tài)值。

由式（19）可以得知，通過(guò)前饋控制進(jìn)行補(bǔ)償可以消除距離偏差的穩(wěn)態(tài)值e；但是，δ無(wú)法改變橫向跟蹤角度誤差的大小，因此航向偏差的穩(wěn)態(tài)值無(wú)法收斂至零。

當(dāng)δ滿足式（20）時(shí)，可以使穩(wěn)態(tài)誤差e收斂至0：

4 智能汽車(chē)橫向跟蹤控制器仿真驗(yàn)證

4.1 參考軌跡設(shè)置

本文使用雙移線道路進(jìn)行橫向跟蹤控制器的效果驗(yàn)證。雙移線軌跡的函數(shù)如下：

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB工具箱中的LQR()函數(shù)計(jì)算出反饋控制律，從而得到期望的車(chē)輪轉(zhuǎn)角。為消除穩(wěn)態(tài)誤差的影響，根據(jù)式（20），在橫向跟蹤LQR控制器的基礎(chǔ)上加入前饋控制器。整車(chē)參數(shù)如表1所示。

表1 汽車(chē)整車(chē)參數(shù)

以10m/s、15m/s、20m/s的車(chē)速在良好路面上進(jìn)行橫向軌跡跟蹤，仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。以15m/s的恒定車(chē)速分別在道路摩擦系數(shù)為0.4和0.85的路面上進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖6、圖7所示。

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圖4 不同車(chē)速的軌跡跟蹤效果

圖5 不同車(chē)速的航向角變化

圖6 不同道路摩擦系數(shù)的軌跡跟蹤效果

由圖4可以看出，以10m/s的車(chē)速沿著目標(biāo)軌跡行駛時(shí)，汽車(chē)可以較好的跟蹤目標(biāo)路徑，橫向跟蹤誤差保持在較小的范圍之內(nèi)；當(dāng)車(chē)速為15m/s時(shí)，橫向跟蹤誤差逐漸增大，但是仍在比較合理的范圍內(nèi)；當(dāng)車(chē)速達(dá)到20m/s時(shí)，橫向控制器的軌跡跟蹤精度有了明顯的下降。圖5描述了航向角的變化，在中低速工況下航向角能較好地跟蹤期望的航向角，車(chē)輛行駛穩(wěn)定性較好，高速工況下穩(wěn)定性變差。

圖7 不同道路摩擦系數(shù)的航向角變化

由圖6、圖7可以看出，當(dāng)車(chē)輛在摩擦系數(shù)為0.4的低附著系數(shù)路面上行駛時(shí)的軌跡跟蹤效果要差于在摩擦系數(shù)為0.85的高附著系數(shù)路面行駛，航向角也出現(xiàn)了較大的偏移，行駛的穩(wěn)定性下降。因?yàn)樵诘透街禂?shù)路面行駛到轉(zhuǎn)彎時(shí)，輪胎更容易達(dá)到飽和，前軸發(fā)生側(cè)偏，造成車(chē)輛偏離參考軌跡，對(duì)此可以通過(guò)添加動(dòng)力學(xué)約束或改進(jìn)輪胎的方法減小偏差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了車(chē)輛二自由度動(dòng)力學(xué)模型和預(yù)瞄誤差模型，在二者基礎(chǔ)上建立了預(yù)瞄式軌跡跟蹤模型。結(jié)合最優(yōu)控制理論，設(shè)計(jì)了橫向跟蹤控制策略，為了消除橫向控制器在軌跡跟蹤過(guò)程中產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，在原有LQR控制器的基礎(chǔ)上加入前饋模塊。最后，驗(yàn)證了在不同車(chē)速工況和不同道路附著系數(shù)工況下，該橫向控制策略具有良好的軌跡跟蹤效果。

[1] Ziegler J,Bender P,Schreiber M,et al.Making Bertha Drive An Autonomous Journey on a Historic Route[J].Intelligent Transporta -tion Systems Magazine, IEEE,2014,6(2):8-20.

[2] Perezn J,Milanes V,Onieva E.Cascade Architecture for Lateral Con -trol in Autonomous Vehicles[J]. Intelligent Transportation Systems, IEEE Transactions on,2011,12(1):p.73-82.

[3] 陳楊,劉大學(xué),賀漢根,等.基于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)的軌跡跟蹤器設(shè)計(jì)[J].中國(guó)工程科學(xué),2007,009(011):68-73.

[4] 李淵,馬戎,付維平.智能車(chē)輛的滑模軌跡跟蹤控制[J].測(cè)控技術(shù), 2012,31(09):71-74.

[5] 周俊,姬長(zhǎng)英.智能車(chē)輛橫向控制研究[J].機(jī)器人,2003(01):26-30.

Application of Optimal Control in Lateral Control of Intelligent Vehicle*

Sui Guansheng, Wang Haobin, Zhou Caocao, Lv Juncheng

（1.School of Automotive Engineering, Jilin University, Jilin Changchun 130022; 2.China Power Intelligent Wheel Technology Co., Ltd, Guangxi Liuzhou 545006; 3.SAIC GM Wuling Automobile Co., Ltd., Guangxi Liuzhou 545007）

Aiming at the characteristics of vehicle steering geometry and kinematics model suitable for low-speed trajectory tracking and low precision, a preview track tracking model is established by using the simplified linear two degree of freedom vehicle model and preview error model. Combined with the optimal control theory, LQR controller is designed to calculate the expected wheel angle, and a feed forward controller is added to eliminate the steady-state error and realize the vehicle to follow the desired path. Through the joint simulation of CarSim and Simulink, it is verified that the lateral control strategy has good control effect.

Intelligent vehicle; Lateral control; Linear quadratic regulator

10.16638/j.cnki.1671-7988.2021.06.015

U495

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1671-7988(2021)06-48-04

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隋官昇（1998-），男，碩士研究生，就讀于吉林大學(xué)汽車(chē)工程學(xué)院，研究方向?yàn)檐?chē)輛動(dòng)力學(xué)。

柳州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2018AA20501）。