最優控制理論在智能汽車橫向控制中的應用*

隋官昇，王昊斌，周草草，呂俊成

最優控制理論在智能汽車橫向控制中的應用*

隋官昇1，王昊斌1，周草草2，呂俊成3

（1.吉林大學 汽車工程學院，吉林 長春 130022；2.中動智輪科技有限公司，廣西 柳州 545006； 3.上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西 柳州 545007）

針對汽車轉向幾何學和運動學模型適合低速軌跡跟蹤、精度低等特點，利用簡化后的線性二自由度車輛模型和預瞄誤差模型，建立了預瞄式軌跡跟蹤模型。結合最優控制理論，設計LQR控制器計算期望的車輪轉角并增加前饋控制器消除穩態誤差，實現車輛跟隨期望路徑。通過CarSim與Simulink的聯合仿真，驗證了橫向控制策略具有較好的控制效果。

智能車輛；橫向控制；線性二次型調節器

引言

以提高道路交通安全、減少能源損耗與環保為主要目的，智能車輛成為汽車行業轉型發展新的風向標，世界各國政府投入了大量的經費，相關科研人員也開展了廣泛的研究。而運動控制是智能汽車領域的研究重點和難點，是實現無人駕駛汽車落地行駛的一項關鍵技術，直接確保了車輛在道路上行駛的安全和穩定。

橫向控制是依據車輛和道路等信息，設計某種控制策略對智能汽車的車輪轉角進行控制，進而實現車輛對期望路徑快速精確地跟隨。車輛橫向控制研究開始于20世紀50年代，隨著研究的深入，對于車輛動力學模型的了解和掌握也趨于成熟，其中應用廣泛且相對簡單的便是單軌模型。

國內外學者針對橫向控制問題提出了許多研究方法，比如PID控制，最優控制，滑模控制，模型預測控制等。文獻一[1]通過設計自適應PID控制器實現了控制器參數的實時調整，提高了軌跡跟蹤的精度，而且系統的穩定性也得到了優化；文獻二[2]研究了一種上層模糊控制，下層PID反饋控制的分層式控制器，并驗證了該控制器的有效性；文獻三[3]在車輛動力學模型的基礎上，研究了反饋線性化的軌跡跟蹤橫向控制器；文獻四[4]利用滑模控制理論，以車輛線速度和角速度為輸入，實現了車輛對目標軌跡的跟蹤；文獻五[5]設計了三維模糊控制算法，并驗證了該算法具有良好的適應性。

汽車的轉向幾何學和運動學模型僅適用于低速工況下的軌跡跟蹤研究，忽略了車輛本身的動力學特征，一旦車速過快或者曲率發生突變的情況發生，控制算法便無法滿足車輛軌跡跟蹤精度和穩定性要求，甚至導致危險的發生。本文主要介紹車輛的軌跡跟蹤模型，包括車輛動力學模型和預瞄式跟蹤模型，基于最優控制理論建立軌跡跟蹤控制器并驗證了控制效果。

1 軌跡跟蹤模型

1.1 車輛線性二自由度動力學模型

對于基于車輛動力學模型的控制方法，動力學建模是首要的工作。由于車輛動力學模型具有非線性和時變性的特征，因此整個車輛的精確建模難度很大。在橫向控制中，車輛側向運動特性是關注重點，通常將車輛動力學模型簡化為的二自由度橫向動力學模型。假設車身的縱向速度保持不變，其橫向動力學模型的只有側向運動和橫擺運動兩個自由度。

為了保證路徑跟蹤控制的實時性，需要在二自由度動力學精確模型的基礎上進行一些簡化計算，得到二自由度動力學簡化模型，如圖1所示。

圖1 汽車二自由度動力學模型

由簡化后的車輛動力學模型可以得到，車輛橫向運動和橫擺運動的微分方程為：

式中：

m——汽車質量（kg）；

v——汽車橫向車速（m/s）；

F、F——汽車前、后輪縱向力（N）；

F、F——汽車前、后輪側向力（N）；

——汽車橫擺角速度（deg/s）；

I——汽車相對 z 軸的轉動慣量（kg.m2）。

在輪胎模型是線性的情況下，前、后輪側向力簡化得：

式中：

、——前、后輪的輪胎側偏角（deg）；

c、c——前、后輪的輪胎的側偏剛度（N/rad）；

將式（2）代入式（1）得：

1.2 預瞄誤差模型

車輛的軌跡跟蹤可以分為兩種：預瞄式軌跡跟蹤和非預瞄式軌跡跟蹤。預瞄式軌跡跟蹤考慮了道路的幾何特性，魯棒性好，因此本文采用預瞄跟蹤模型，如圖2所示。

其中，L為預瞄距離；a和b為汽車質心到前、后軸的距離；為車身縱向軸線與道路中心線之間的夾角；和分別表示車輛前后軸中心至道路中心線的橫向偏差；和分別為預瞄點和車輛質心到道路中心線的橫向偏差。

圖2 預瞄誤差模型

從圖2的幾何關系可以得到：

因為θ足夠小，所以式（4）可以近似為：

預瞄誤差變化率為：

1.3 軌跡跟蹤偏差狀態方程

利用汽車質心處與道路中心線之間的距離建立路徑跟蹤誤差模型，車輛跟蹤目標軌跡時的期望向心加速度和期望橫擺角速度可以表述為：

當θ足夠小時，質心處的橫向跟蹤誤差和角度跟蹤誤差θ滿足：

假設汽車縱向速度恒定，將式（8）微分后得到：

將式（8）代入式（6），則預瞄點處的橫向循跡誤差滿足：

將式（10）兩邊求導得：

將式（9）、（10）、（11）代入式（3）得到的狀態空間方程為：

3 智能汽車橫向跟蹤控制器設計

3.1 橫向跟蹤LQR控制器

在現代控制理論中，用狀態空間方程表示的線性系統是線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator，LQR）的主要研究對象，將控制輸入的二次型函數或控制對象的狀態設計為目標函數。

考慮一個系統：

式中，（）為狀態變量，（）為控制量。

假設初始狀態（0）=0，二次型評價函數的一般形式如下：

式中，0（）為半正定終端加權矩陣，（）為半正定加權矩陣，（）為正定加權矩陣。（）、（）通常取對角陣。

通過使目標評價函數獲得最小值，求得系統的最優控制量（），將系統從初始狀態轉移到最終狀態，達到以最小的消耗量保持較小誤差的控制效果，實現能量和誤差綜合最優的目的。

設計系統的反饋控制律：

其中，為黎卡提方程+AP--1BP+=0的解。

3.2 前饋控制器

將式（15）的反饋控制律代入狀態空間方程（12）中，得到系統的穩態反饋方程：

令前饋控制輸出的車輪轉角為δ，則加入前饋模塊的橫向跟蹤LQR控制器的完整控制律表示為：

將式（17）代入式（12）得到：

對式（18）進行拉普拉斯變換，利用終值定理求極值可以得到距離偏差和航向偏差的穩態誤差：

其中，e為橫向跟蹤距離偏差的穩態值；為橫向跟蹤航向偏差的穩態值。

由式（19）可以得知，通過前饋控制進行補償可以消除距離偏差的穩態值e；但是，δ無法改變橫向跟蹤角度誤差的大小，因此航向偏差的穩態值無法收斂至零。

當δ滿足式（20）時，可以使穩態誤差e收斂至0：

4 智能汽車橫向跟蹤控制器仿真驗證

4.1 參考軌跡設置

本文使用雙移線道路進行橫向跟蹤控制器的效果驗證。雙移線軌跡的函數如下：

4.2 仿真實驗

利用MATLAB工具箱中的LQR()函數計算出反饋控制律，從而得到期望的車輪轉角。為消除穩態誤差的影響，根據式（20），在橫向跟蹤LQR控制器的基礎上加入前饋控制器。整車參數如表1所示。

表1 汽車整車參數

以10m/s、15m/s、20m/s的車速在良好路面上進行橫向軌跡跟蹤，仿真結果如圖4、圖5所示。以15m/s的恒定車速分別在道路摩擦系數為0.4和0.85的路面上進行軌跡跟蹤實驗，結果如圖6、圖7所示。

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圖4 不同車速的軌跡跟蹤效果

圖5 不同車速的航向角變化

圖6 不同道路摩擦系數的軌跡跟蹤效果

由圖4可以看出，以10m/s的車速沿著目標軌跡行駛時，汽車可以較好的跟蹤目標路徑，橫向跟蹤誤差保持在較小的范圍之內；當車速為15m/s時，橫向跟蹤誤差逐漸增大，但是仍在比較合理的范圍內；當車速達到20m/s時，橫向控制器的軌跡跟蹤精度有了明顯的下降。圖5描述了航向角的變化，在中低速工況下航向角能較好地跟蹤期望的航向角，車輛行駛穩定性較好，高速工況下穩定性變差。

圖7 不同道路摩擦系數的航向角變化

由圖6、圖7可以看出，當車輛在摩擦系數為0.4的低附著系數路面上行駛時的軌跡跟蹤效果要差于在摩擦系數為0.85的高附著系數路面行駛，航向角也出現了較大的偏移，行駛的穩定性下降。因為在低附著系數路面行駛到轉彎時，輪胎更容易達到飽和，前軸發生側偏，造成車輛偏離參考軌跡，對此可以通過添加動力學約束或改進輪胎的方法減小偏差。

5 結束語

本文介紹了車輛二自由度動力學模型和預瞄誤差模型，在二者基礎上建立了預瞄式軌跡跟蹤模型。結合最優控制理論，設計了橫向跟蹤控制策略，為了消除橫向控制器在軌跡跟蹤過程中產生的穩態誤差，在原有LQR控制器的基礎上加入前饋模塊。最后，驗證了在不同車速工況和不同道路附著系數工況下，該橫向控制策略具有良好的軌跡跟蹤效果。

[1] Ziegler J,Bender P,Schreiber M,et al.Making Bertha Drive An Autonomous Journey on a Historic Route[J].Intelligent Transporta -tion Systems Magazine, IEEE,2014,6(2):8-20.

[2] Perezn J,Milanes V,Onieva E.Cascade Architecture for Lateral Con -trol in Autonomous Vehicles[J]. Intelligent Transportation Systems, IEEE Transactions on,2011,12(1):p.73-82.

[3] 陳楊,劉大學,賀漢根,等.基于車輛動力學的軌跡跟蹤器設計[J].中國工程科學,2007,009(011):68-73.

[4] 李淵,馬戎,付維平.智能車輛的滑模軌跡跟蹤控制[J].測控技術, 2012,31(09):71-74.

[5] 周俊,姬長英.智能車輛橫向控制研究[J].機器人,2003(01):26-30.

Application of Optimal Control in Lateral Control of Intelligent Vehicle*

Sui Guansheng, Wang Haobin, Zhou Caocao, Lv Juncheng

（1.School of Automotive Engineering, Jilin University, Jilin Changchun 130022; 2.China Power Intelligent Wheel Technology Co., Ltd, Guangxi Liuzhou 545006; 3.SAIC GM Wuling Automobile Co., Ltd., Guangxi Liuzhou 545007）

Aiming at the characteristics of vehicle steering geometry and kinematics model suitable for low-speed trajectory tracking and low precision, a preview track tracking model is established by using the simplified linear two degree of freedom vehicle model and preview error model. Combined with the optimal control theory, LQR controller is designed to calculate the expected wheel angle, and a feed forward controller is added to eliminate the steady-state error and realize the vehicle to follow the desired path. Through the joint simulation of CarSim and Simulink, it is verified that the lateral control strategy has good control effect.

Intelligent vehicle; Lateral control; Linear quadratic regulator

10.16638/j.cnki.1671-7988.2021.06.015

U495

A

1671-7988(2021)06-48-04

U495

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1671-7988(2021)06-48-04

隋官昇（1998-），男，碩士研究生，就讀于吉林大學汽車工程學院，研究方向為車輛動力學。

柳州市科技計劃項目（2018AA20501）。