借助編程開展數學教育的實證研究

劉曉挺 張華麗 李向超 楊世錳

摘?要：《利用二分法求方程的近似解》是北師大版《普通高中課程標準實驗教科書·數學1（必修）》的內容，本文借助編程的方式設計了利用二分法求方程的近似解的問題，再實踐后，筆者們發現這種方式能有效避免以往在教學過程中借助計算器求解時的復雜運算，同時可視化編程操作簡單，學生更易接受和感興趣，培養了學生的編程思維，再借助編程思維促進學生對數學知識的理解。

關鍵詞：編程 二分法 近似解

一、前言

圖形化編程工具，通過文字和拖拽的方式實現編程，無需學生掌握復雜的計算機代碼，只需利用好算法的三大結構拖動積木式程序即可進行創造，極大地降低了編程學習的門檻，提高了學生學習編程的興趣，有利于促進學生計算思維的發展。有學者[1-2]已經借助圖形化編程平臺開展小學階段的教育研究，但是編程在中學數學學科教學融合這塊領域發展得還不是很成熟，如何將編程與學科教學（以數學為例）真正深度融合是一個非常重要的課題，其研究結果對后期教學的指導和其他學科均具有參考價值。

高中課程[5]中很多例題可用科學計算器求解，但當問題的計算量較大或對結果精度要求較高時，運用科學計算器，顯然效率太低。有學者[3-4]運用Matlab軟件設計求解高中數學教材[5]中的利用二分法求方程的近似解問題，筆者認為是一個不錯的選擇，但需要學生和老師對代碼編程有一定的基礎，對于零基礎的孩子來說，并不太適合學習。本文將借助編程貓平臺來設計程序，解決用二分法求方程近似解的問題，帶領學生探究知識的生成過程，在實踐的過程中理解二分法的原理，解決從機械性記憶到理解性記憶的問題，通過將數學理論和實踐相結合的方式，培養學生的數學學習能力，落地核心素養。

二、借助圖形化編程平臺利用二分法求方程的近似解應用舉例

（一）相關知識

1.零點存在定理：若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上的圖像是連續曲線，并且在區間端點的函數值符號相反，即f（a）·f（b）<0，則在區間（a，b）內，函數y=f（x）至少有一個零點，即相應的方程f（x）=0在區間（a，b） 內至少有一個實數解。

2.二分法：對于在區間[a，b]上連續不斷，且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點（或對應方程的根）近似解的方法叫作二分法.

（二）案例探究

實例：用二分法求方程的實數解。（精度可任意輸入）。

步驟分析：①確定方程的初始有解區間：由于函數是減函數，是增函數，所以它們的圖像最多只有一個交點，即方程最多只有一個實數解。利用編程貓平臺畫出函數的圖像如下圖，由圖可知故函數的零點必在開區間（5，6）內（初始有解區間也可以包含區間（5，6），結果只是達到精度時二分法的次數不同而已）。

②利用二分法求解上述方程滿足精度的一個近似解：

當精度為0.1時，編程貓平臺運行結果表明：使用二分法迭代5次就可以得到一個滿足精度的方程近似解。

當精度為0.0001時，編程貓平臺實現結果表明：使用二分法迭代15次就可以得到一個滿足精度的方程近似解。

針對該實例，筆者設計了兩個作品，對應兩個二維碼。二維碼1是在學生利用計算器一步一步完成解題過程之后，此時讓學生掃碼體驗，并與之前的做題過程做對比，讓學生感受編程解決問題帶來的高效快捷，形成強烈的反差。但是數學教學是交給學生知識生成的過程，學會學習的能力，而不僅僅是答案，所以筆者又設計了作品2，對應的是二維碼2。作品2能看到每一步的分解步驟，也就是二分法每次的迭代過程是能夠展示給學生的，與此同時，作品中的計算器按鈕可以幫助學生小組內動手操作完成每一步的計算，當然這個計算器比普通的計算器要快捷多，只需輸入x，就能算出f（x）。

總結

通過教學嘗試，筆者們發現，學生對圖形化編程的接受比較順暢，在搭建程序的過程中也較好的理解了二分法的數學背景，課程結束后，有同學設想通過編程能不能更好的探討極限問題，嘗試設計用編程的方式去理解更多的數學原理和數學問題。

本文只簡單闡述了程序的內容和設計初衷，借助圖形化編程平臺，利用二分法求方程近似解，能夠更形象直觀地理解高中數學知識，這比以往借助于計算器代入求解更高效快捷。在人工智能時代來臨之際，我們應該更好的借助各種教學方式開展教學活動，在后期的教學中，我們打算進一步利用PBL的方式帶領學生在部分數學問題中通過編程來分析數學問題，實現跨學科融合，實踐數學理論，讓教學更加有生命力，希望更多的老師能加入借助編程開展數學教育的研究中。

參考文獻：

[1]阮德懷 吳海芳.培養小學生計算思維的教學實踐—以編程貓平臺為例[J].基礎教育參考2018（23）：40-42.

[2]胡蔡劼.圖形認識方法結構視角下（基于編程貓平臺的）正多邊形與正多角星的計算機繪制方法一例[J].數學學習與研究，2019（4）：92-93.

[3]強雨筱.Matlab軟件在高中數學學習中的應用[J].數學學習與研究，2019（1）：125.

[4]明廷堂.Matlab在方程求解中的應用與編程[J].電腦編程技巧與維護，2018（3）：148-157.

[5]北京師范大學出版社基礎教育分社，普通高級中學課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

（1.陜西省碑林教師進修學校;陜西省西安市第二十六中學太乙分校）