布氏硬度自動測量中多圓檢測方法?

（東北大學軟件學院 沈陽 110819）

1 引言

硬度是材料最重要的參數之一，其測試在生產過程中具有非常重要的意義。布氏硬度以其測量精確度高、可重復性好等優點，得到了廣泛應用。布氏硬度試驗方法原理為以一定的壓頭和試驗力在試樣上壓出壓痕后，測量試樣表面壓痕的直徑，換算為布氏硬度［1］。

傳統的布氏硬度測試方法采用讀數顯微鏡人工測量壓痕尺寸，基于機器視覺的測量具有非接觸式、測量速度快、精度高、柔性好等特點，越來越受到重視，其關鍵是檢測并準確測量壓痕圓的直徑。另外圓檢測在很多方面都有應用。如虹膜檢測［2］，細胞計數［3］、圓形器件或圖標識別和定位［4］，圓形物計數［5］，標記定位［6～7］等。

目前圓檢測方法主要有三類：圓霍夫變換、隨機抽樣一致性（random sampling consistency，RANSAC）和最小二乘法，以及它們的改進［8～12］。這些方法在特定領域內均取得了良好的效果。但它們均假定邊緣檢測到的絕大多數點為圓周上的點，而且難以處理圓分裂或者多圓的情況，影響了其實用價值。本文根據分裂圓的特點，利用部分圓周與其最緊致矩形的切點關系、找到三個確定的切點求初始圓，自動判別屬于同一圓的不同部分，且能檢測多個圓。利用凸包濾除非圓周點，結合迭代純化最小二乘法，可以得到精確的圓半徑，實驗表明了本方法的有效性。

2 布氏硬度圓的特點與分析

2.1 布氏硬度圓的特點

在實際應用中，尤其是布氏硬度測量，檢測圓時經常遇到多個圓、圓分裂、圓殘缺不全的情況，如圖1所示。一般的做法是，對圖像進行預處理、閾值化、邊緣檢測之后，采用圓Hough變換或最小二乘得到圓心和圓半徑。大多數圓檢測方法適用于單個圓檢測，如果是多個圓的情況，則需要明確給出圓的個數或百分比。

對于圖1中的幾種情況，傳統方法存在以下問題：1）對于多個圓，一般需要給出準確的圓個數或百分比，難以完全自動化；2）如果圓分裂，難以確定哪些分裂部分屬于同一圓，從而影響到圓檢測的準確性；3）對于不完整圓，由于檢測結果不可靠，一般采取放棄的策略；4）即使對于完整的圓進行檢測，也嚴重依賴于邊緣檢測的精度，而由于實際采集的圖像中噪聲的影響，邊緣點位置的偏差對造成最終檢測到的圓心位置或半徑的偏差。

圖1 布氏硬度壓痕圓圖像

本文提出的方法能很好地解決上述問題。本文方法的優勢在于：1）能夠自動判斷圓是否分裂，對于分裂的圓，能夠自動將分裂的各部分合并為一個完整的圓；2）能夠自動檢測多個圓，而毋需給出圓的個數或百分比；3）采用迭代純化最小二乘法，能夠得到亞像素的圓心和半徑，對部分圓也能夠準確檢測。

2.2 部分圓及其最小外接矩形的切點

圖像中的局部區域，可以用矩形框包圍。這些矩形框可以有多個，其中面積最小的稱為最小外接矩形。

完整圓弧的最小外接矩形為正方形，圓弧與外接矩形的切點是正方形各邊的中點。據此可以判斷圓是否分裂，同時估算圓心位置和半徑。

對于部分圓弧，有如下的定理：

定理1部分圓弧的最小外接矩形邊長不全相等，最小外接矩形長邊的中點在圓弧上，且是其與圓弧的切點。

證明：如圖2所示，實線表示以圓弧的弦為一條長邊的外接矩形，顯然其另一條長邊在中點與圓弧相切，設該矩形的長和寬分別為L與W，而其他任意的外接矩形（用虛線表示）的長和寬分別為L'與W'，兩個外接矩形的夾角為θ，則有：

以上兩式左右兩邊分別相乘，可得：

因此圓弧的最小外接矩形長邊的中點是圓弧與矩形的切點，短邊與圓弧相交或相切。

根據此定理，在得到一段曲線的最小外接矩形后，就可以根據矩形長邊中點是否為曲線點來確定該段曲線是否為圓弧，如果是圓弧，則可以得到圓弧上三個點，從而得到相對確定的候選圓。

圖2 部分圓及其最小外接矩形

2.3 圓交叉的判斷及合并

如果一個圓分裂成兩個或多個部分，則各個部分的外接圓之間有交叉，即兩圓半徑之和大于圓心之間的距離。對于交叉的圓，需要進行合并。設圓Cp、Cq的圓心分別為(xp,yp)、(xq,yq)，半徑分別為Rp、Rq，則合并后的圓心和半徑分別為

圖3 輪廓（實線）及凸包（點）

2.4 區域凸包

區域凸包是指區域的外接凸多邊形，這個凸多邊形將該區域所有像素點都包含在內［13］。將合并之后的圓的各部分看作一個區域，則原來部分圓的圓弧部分將會包含在凸包點中，而非圓弧部分由于違反凸包的外凸特性，所以不包含在凸包點中。如圖3所示。圖中實線為圓區域輪廓，虛線為其凸包。可以看出，凸包可以將分裂圓上的非圓弧點排除，同時如果分裂圓內有區域，其輪廓點也不會保留。但凸包輪廓點中也包含非輪廓點，可以通過凸包與原區域輪廓點求交集得到合并圓弧點。

3 迭代純化最小二乘擬合

如果能夠得到三個以上同屬一個圓的圓弧點，就可以利用圓Hough變換法或最小二乘擬合，得到較為精確的圓參數［12］。圓Hough變換要遍歷三維參數空間，對內存和時間的消耗特別大，且檢測結果精度受參數離散化程度的影響也大，但近年來提出了很多改進算法。最小二乘法理論嚴密、精度高，擬合效果佳，是目前圓測量的主要方法［12］。

在實際圖像的獲取和處理過程中，難免會受到各種干擾，造成檢測到輪廓點不準確，或者將噪聲點誤認為輪廓點，影響最終擬合結果。而最小二乘法在圓擬合時盡量去適應所有點，包括噪聲點和不準確的輪廓點（本文稱之為離群點），顯然這些離群點會大大影響擬合精度。為此提出RANSAC圓擬合算法［11］，但RANSAC算法中抽樣耗時占算法總耗時的比重較大，且RANSAC并不能保證結果一定正確，為了保證算法有足夠高的合理概率，必須小心的選擇算法的參數（參數配置）。但在圓擬合過程中，特別是在離散點非均勻采集的情況下，經常會出現只運用最小二乘法時擬合精度不高的狀況。

為了克服以上方法的局限性，本文提出迭代純化最小二乘法。與文獻［12］的方法不同，本文方法主要是基于3σ準則［14］。在前次最小二乘擬合的基礎上，剔除離群點之后再進行最小二乘擬合，直到符合設定條件為止。而文獻［12］提出的迭代優化最小二乘圓曲線擬合方法，是為了提高離散點非均勻采集情況下的擬合精度，并不剔除離群點。

根據3σ準則，干擾或噪聲造成的奇異數據的難以滿足正態分布。設μ代表均值，σ代表標準差。根據數理統計，觀測值分布在（μ-3σ，μ+3σ）中的概率為0.9973。因此可以認為，觀測值幾乎全部集中在（μ-3σ，μ+3σ）區間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%。如果一組測量數據中某個測量值的殘余誤差的絕對值大于3σ，則可認為該測量值為異常值，應剔除，不參加擬合。

本文提出的迭代純化最小二乘圓擬合算法如下。

輸入：N個輪廓點的坐標{(Xi,Yi)|1 ≤i≤N}，允許標準差σ，迭代次數j=0。

輸出：圓心坐標(xC,yC)和圓半徑R。

步驟2：根據每一個輪廓點坐標和上一步得到的圓心坐標，計算輪廓點和圓心之間的距離（輪廓點半徑），計算其均值（平均半徑）Rj和標準差；

步驟3：對每一個輪廓點，計算輪廓點半徑與平均半徑差的絕對值

步驟4：若輪廓點數Nj＞10且σj＞σ，剔除掉的輪廓點，得到新的輪廓點集，重復步驟1～步驟3。

否則，結束。

4 算法流程

本文方法的流程框圖見圖4。輸入為待檢測圖像，輸出為一個或多個圓心坐標和半徑值。算法說明如下。

1）由于布氏硬度檢測的壓痕圓表面平滑，非圓部分一般較為粗糙，其成像結果表現為壓痕圓部分灰度較低且灰度變化小。因此先進行圖像增強，強化圖像灰度變化。一般可采用像素局部方差、梯度強度和信息熵，這三種值越大，則灰度變化越大，反之亦然。根據布氏壓痕圓圖像的形成機理，也可采用Gabor濾波［15］進行增強。

2）對增強后的圖像采用Otsu法進行二值化［16］。由于噪聲干擾，且工件表面不平整，取閾值之后有許多細小的非圓坑黑點，采用數學形態學運算去除孤立小目標，形成多個連通區域。進而提取每個目標區域的輪廓。

3）根據目標區域輪廓，得到其最小外接矩形。根據目標區域最小外接矩形的面積和長寬比，可以排除非圓區域。

圖4 本文方法流程框圖

4）根據2.2節的方法，判斷最小外接矩形長邊中點是否在圓弧上，如果在，則該輪廓為候選圓弧。由長邊中點、兩條短邊上與短邊中點最近的圓弧的公共點，得到三點，根據這三點得到初步圓。判斷相鄰的兩個區域的初步圓是否有交叉，如果有交叉，則按照式（3）進行合并。并將它們的輪廓點歸并。

5）圓歸并后，其輪廓點中包含非圓弧點，不能直接擬合。為此，對歸并的區域，求合并圓的凸包。求合并區域的輪廓點與凸包點的交集，得到的點大概率為最終所求圓輪廓點上的點。

6）按照第3節的方法，進行迭代純化最小二乘擬合，得到最終所求圓。輸出圓心坐標與半徑值。

5 實驗結果與分析

本文的研究目標是準確檢測出在實際生產環境下布氏硬度測量圖像中可能分裂的多個圓，并精確測量其半徑。為了驗證本文方法的有效性，在Windows10平臺上，采用Python 3.5語言，結合OpenCV3.0，實現了本文圓檢測及擬合算法。計算機配置為Intel Core i5-2400處理器，主頻3.10G Hz，內存4G。實驗圖像為用布氏硬度計實際拍攝的圖像，部分典型圖像如圖1所示，圖像分辨率為1024×1280。由圖中可看出，布氏硬度圖像存在光照無法統一、背景紋理復雜多樣、尺度大小不一、圓個數不定、圓面光照不均等特點，給圓檢測及測量造成困難。

5.1 本文方法結果

圖1（a）中的圓明顯分為兩部分，圖5給出了本文方法的主要中間結果及最終結果。由圖5（a）可以看出，紋理增強極大突出了圓坑與周圍背景的對比度，給后面取閾值帶來很大方便。雖然經過二值化、形態學濾波之后，仍然有少數噪音點，但通過面積、長寬比等排除掉幾乎所有的噪音點，我們只需要在保留下來的目標區域求最小外接矩形，并判斷長邊中點是否為圓弧切點，如圖5（c）所示。圖5（d）中的細線圓為各目標區域的初步圓，同一圓分裂后的各部分之間有交叉，可以被合并。粗線圓為合并后的圓。圖5（e）為圓弧輪廓點與區域凸包點求交集后的結果，可以看出，只有區域的最外圍的輪廓點被保留下來，但此時輪廓中仍然可能包含小突起噪聲點。對此我們采用迭代純化最小二乘擬合，逐步排除這些離群點的影響，就可以得到精確的圓半徑。

檢測到圓并得到亞像素的圓半徑值之后，結合攝像機標定值，可以得到實際圓坑半徑大小，進而得到布氏硬度值。

執行效率方面，平均每幅圖像處理時間為29.4ms，滿足硬度計的實際要求。

5.2 與其他方法的比較

為了檢驗本文方法的性能，在實拍的28幅布氏硬度壓痕圖像（每幅圖像可能有一個或多個圓，共47個圓）上，將本文方法與目前常用的典型方法做了對比。這三種方法分別是曲率輔助的霍夫變換（CACD）［5］，經典霍夫變換（CHT），和隨機霍夫變換（RHT）［11］，四種方法的檢測結果見表1，其中準確率=正確檢測數/（實際數+誤撿數）。圖6是四種方法對圖1（f）的檢測結果。

圖5 圖1（a）圓檢測的主要中間結果及最終結果

圖6 各方法對圖1（f）圓檢測的效果

表1 四種方法的平均準確率及運行時間

用于比較的三種方法均是在閾值化之后的基礎上檢測圓的，可以看出三種方法均不能檢測到所有圓，具有隨機性。CACD方法由于要進行弧長歸一化，傾向于檢測小圓，CHT方法檢測多圓個數不能確定，RHT方法傾向于檢測完整圓。本文方法可以處理多圓、分裂圓、部分圓的情況。

對28幅實拍圖像統計，四種方法的平均準確率和平均每幅運行時間對比如表1所示，可以看出本文方法運行效率最高。

6 結語

圓檢測在很多方面都有應用，尤其在布氏硬度測量中，壓痕圓的提取與測量是其關鍵。本文方法在紋理增強二值化的基礎上，采用最小外接矩形切點判斷，準確得到圓弧上的三個點，得到了基本確定的候選圓。圓交叉和合并能夠處理圓分裂的情況，求凸包有效保留最外圓弧點，迭代純化最小二乘擬合更進一步剔除了非圓弧點，并且得到亞像素半徑值，為布氏硬度的精確測量打下了基礎。今后將研究本文圓檢測方法在其他領域的應用，以及維氏硬度壓痕圖的提取等。