螺栓對壓電換能器性能參數影響的數學建模與仿真

謝歆鑫

（西安航空職業技術學院，西安 710089）

目前在大多數理論計算中，關于壓電換能器的大 量研究直接忽視了螺栓影響性。在換能器實際設計時，螺栓直徑一般都是以陶瓷孔大小為依據，長度則是人為給定，根本無法保障換能器性能參數準確性[1]。據此，本文對壓電換能器頻率與有效機電耦合系數，在螺栓尺寸與材料等影響的具體變化進行了數學建模與仿真研究。

1 壓電換能器結構

壓電換能器結構[2]具體如圖1所示。

圖1 壓點換能器結構Fig.1 Pressure point transducer configuration

圖中，1與2代表換能器前蓋板；3代表由壓電陶瓷片構成的壓電陶瓷晶堆；4 與5 代表換能器后蓋板；6 代表螺栓；L3代表陶瓷片厚度；L6代表螺栓總長；L1、L2代表前蓋板的1與2段長度；L4、L5則代表后蓋板的4與5段長度。

2 壓電換能器波長振子頻率數學建模

換能器為中心對稱結構形式，位移界面處于中心位置，可促使有效機電耦合系數保持最大狀態[3]。螺栓總長即：

一般來說壓電換能器包含2 個1/4 波長振子。換能器為中心對稱結構形式，因此只分析一個波長振子即可，其機電等效電路[4]具體如圖2所示。

圖2 四分之一波長振子的機電等效電路Fig.2 Electromechanical equivalent circuit of quarterwavelength oscillator

其中，C0代表壓電換能器靜態電容；n 代表機電轉換系數，阻抗值則：

其中：

L6為螺栓總長的1/2；ρ、c、k分別代表陶瓷片、后蓋板與螺栓的密度、波速、波數；S代表截面積。

基于螺栓的1/4 波長振子機電等效電路圖，輸入電導納[5]即：

在Yje→0 時，共振頻率數學方程即：

在Yje=∞時，反共振頻率數學方程即：

3 螺栓對壓電換能器性能參數影響的仿真分析

以壓電換能器前后蓋板為硬鋁，前蓋板長度即90mm；后蓋板長度即50mm；陶瓷片厚度即7mm；換能器總長即142mm。

3.1 螺栓長度的影響仿真

螺栓長度對壓電換能器的共振頻率、反共振頻率、有效機電耦合系數影響仿真結果[6]具體如圖3、圖4所示。

圖3 長度與頻率的關系Fig.3 Relationship between length and frequency

圖4 長度與機電耦合系數的關系Fig.4 Relationship between length and electromechanical coupling coefficient

在計算時，壓電換能器前蓋板、后蓋板、陶瓷片、螺栓直徑處于既定狀態。通過圖3、圖4 可知，在長度變化影響下，頻率與有效機電耦合系數等性能參數并未表現出單一形式的變化形態，相應某長度時，換能器的有效機電耦合系數達到最佳狀態。然而在相應頻率最大的時候，螺栓長度與有效機電耦合系數最大值狀態下的螺栓長度不一致。

3.2 螺栓直徑的影響仿真

螺栓直徑的影響仿真結果[7]具體如圖5、圖6所示。

圖5 直徑與振頻率的關系Fig.5 Relationship between diameter and vibration frequency

圖6 直徑與有效機電耦合系數的關系Fig.6 Relationship between diameter and effective electromechanical coupling coefficient

由圖5、圖6 可知，隨著螺栓直徑逐漸增大，壓電換能器共振頻率、反共振頻率呈現單一的逐步增大趨勢，但有效機電耦合系數保持持續縮減狀態。因此，可以適度縮小螺栓直徑，提升有效機電耦合次數，然而因為螺栓直徑變小，變細，壓電換能器容易折斷裂縫，因此在壓電換能器設計時必須做到全方位統籌兼顧。

3.3 螺栓材料的影響仿真

螺栓材料的影響仿真結果[8]具體如圖7、圖8所示。

圖7 材料與振頻率的關系Fig.7 Relationship between material and vibration frequency

圖8 材料與有效機電耦合系數的關系Fig.8 Relationship between material and effective electromechanical coupling coefficient

由圖7、圖8 可知，在螺栓長度既定狀態下，以45#鋼為材料，則換能器共振頻率、反共振頻率最大，其次是鈦，最小為銅。而45#鋼與鈦、銅對比，其有效機電耦合次數最小。在螺栓直徑既定時，鈦與銅作為螺栓材料，在長度大約60mm時，換能器有效機電耦合系數基本一致；而螺栓長度小于60mm 時，以鈦為材料，有效機電耦合系數相對較小，但差異不明顯；而螺栓長度大于60mm時，以鈦為材料，有效機電耦合系數相對較大，且在螺栓長度不斷增加影響下，有效機電耦合系數可達到最大值，因此，以鈦為材料最佳。

3.4 螺栓位置的影響仿真

螺栓位置的影響仿真結果[9]具體如圖9、圖10所示。

圖9 位置與頻率的關系Fig.9 Relationship between location and frequency

圖10 位置與有效機電耦合系數的關系Fig.10 Relationship between location and effective electromechanical coupling coefficient

其中，橫坐標代表螺栓后端和壓電換能器后端的具體間隔距離。由圖9、圖10可知，在螺栓處于壓電換能器內，從后端逐步向前移動時，相對應間距約22mm 左右時，壓電換能器頻率趨向于最大值狀態，然而換能器有效機電耦合系數卻表征為不斷縮減狀態。

就壓電換能器而言，科學合理設計螺栓，在確保機械強度的基礎上，以鈦為材料，螺栓較長、較細，則可在很大程度上顯著優化壓電換能器整體性能。

4 結語

綜上所述，本文基于螺栓對壓電換能器性能參數的影響，構建數學模型，并通過仿真驗證了螺栓具體影響作用。仿真結果表明，螺栓長度增加時，有效機電耦合系數呈現明顯增加趨勢；螺栓直徑增大時，換能器有效機電耦合系數則表征為縮減形態；而隨著螺栓位置的具體演變，換能器有效機電耦合系數隨之發生相應變化；螺栓材料選擇45#鋼時，有效機電耦合系數處于最低狀態，而選擇鈦或者銅時，有效機電耦合系數相對較大，而綜合考慮螺栓強度與耐腐蝕性，以鈦為最佳材料；綜上就壓電換能器而言，科學合理設計螺栓，在確保機械強度的基礎上，以鈦為材料，螺栓較長、較細，則可在很大程度上顯著優化壓電換能器整體性能。