VMD 能量熵與隨機(jī)森林相結(jié)合的齒輪故障診斷

周旺平，王 蓉，許沈榕，宋曉莉

（1.南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)南京天文光學(xué)技術(shù)研究所，江蘇 南京 210042）

1 引言

齒輪作為機(jī)械配置中基礎(chǔ)的傳動(dòng)元件，在工業(yè)設(shè)備中具有普遍應(yīng)用[1]。檢測(cè)齒輪運(yùn)行狀態(tài)，識(shí)別齒輪故障類(lèi)型，對(duì)故障齒輪進(jìn)行及時(shí)更換或修復(fù)，可以預(yù)防事故突發(fā)情況，降低設(shè)備維修成本。

當(dāng)齒輪出現(xiàn)點(diǎn)蝕、裂紋、剝落、磨損等情況時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)性等特征[2]。針對(duì)此類(lèi)信號(hào)，傳統(tǒng)的時(shí)域分析或頻域分析很難準(zhǔn)確提取到齒輪的故障頻率。文獻(xiàn)[3]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）將振動(dòng)信號(hào)分解成有限個(gè)平穩(wěn)的固有模態(tài)函數(shù)，分離出噪聲和背景信號(hào)，驗(yàn)證了EMD 可以提取齒輪故障特征；文獻(xiàn)[4]針對(duì)EMD 抗模態(tài)混疊效果差，提出EEMD 和Teager-Huang 變換結(jié)合的齒輪故障診斷方法；文獻(xiàn)[5]提出一種新的自適應(yīng)信號(hào)分解方法—變分模態(tài)分解，將信號(hào)以非遞歸、變分模態(tài)方式進(jìn)行分解，具備一定的理論基礎(chǔ)；文獻(xiàn)[6]將VMD 應(yīng)用到齒輪狀態(tài)監(jiān)測(cè)中，結(jié)論證明該方法對(duì)于故障特征提取具有較高的識(shí)別度；文獻(xiàn)[7]對(duì)比分析了EEMD 與VMD 的分解結(jié)果，VMD 可以分離頻率相近的諧波，具有較好的魯棒性，避免模態(tài)混疊現(xiàn)象。

目前，應(yīng)用于齒輪箱故障識(shí)別的人工智能算法主要為支持向量機(jī)。SVM 在處理小樣本、非線性等問(wèn)題展現(xiàn)出良好的效果，多應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域[8]，但SVM 的參數(shù)尋優(yōu)難，針對(duì)多分類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)習(xí)能力弱，準(zhǔn)確率低[9]。齒輪不同狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的特征值往往具有多樣性，導(dǎo)致同一種特征值在不同狀態(tài)下的診斷效果不是最優(yōu)，為此需要提取多種特征。隨機(jī)森林作為集成學(xué)習(xí)中的一種經(jīng)典算法，利用多棵決策樹(shù)對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練并預(yù)測(cè)，可以集成多種特征向量，有效提高故障分類(lèi)的準(zhǔn)確率[10]。此外，隨機(jī)森林調(diào)參簡(jiǎn)單，默認(rèn)參數(shù)下，也可以較好的對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練與分類(lèi)。

鑒于VMD 與隨機(jī)森林的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種VMD 和隨機(jī)森林相結(jié)合的故障識(shí)別的方法。采用VMD 分解對(duì)齒輪振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，得到有限個(gè)模態(tài)分量，計(jì)算其能量熵，構(gòu)建高維特征向量輸入到隨機(jī)森林分類(lèi)器中，對(duì)齒輪進(jìn)行分類(lèi)故障識(shí)別，并與傳統(tǒng)的故障識(shí)別方法相對(duì)比。

2 變分模態(tài)分解

VMD 是2014 年提出來(lái)的一種非遞歸、自適應(yīng)的信號(hào)處理方法，它的主要核心是構(gòu)造變分問(wèn)題和求解變分問(wèn)題，由經(jīng)典維納濾波、頻率混合、希爾伯特變換為基礎(chǔ)來(lái)求解。VMD 可以將多組分信號(hào)非線性地分解成具有特定稀疏性的IMF 集合[11]。

2.1 構(gòu)造變分問(wèn)題

VMD 將實(shí)際信號(hào)f分解成K個(gè)離散的IMF 分量，使所有分量的帶寬之和最小。

（1）對(duì)分解的模態(tài)函數(shù)進(jìn)行Hilbert 變換，得出與各個(gè)模態(tài)相關(guān)的解析信號(hào)與其單邊譜；

（2）預(yù)估解析信號(hào)的中心頻率，加入指數(shù)項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整，將頻譜調(diào)制到對(duì)應(yīng)的基頻帶上；

（3）根據(jù)解調(diào)信號(hào)的高斯平滑度來(lái)估算帶寬，計(jì)算梯度L2的范數(shù)。

受約束的變分問(wèn)題表示為：

式中：×—卷積；f—實(shí)際信號(hào)；uk—模態(tài)函數(shù)；ωk—各模態(tài)對(duì)應(yīng)的中心頻率。

2.2 求解變分問(wèn)題

引入二次懲罰項(xiàng)α 和拉格朗日因子λ，把受約束的變分問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束的變分問(wèn)題，再對(duì)其進(jìn)行求解。定義增廣拉格朗日乘數(shù)，表示為：

根據(jù)交替方向乘子法（ADMM）解決無(wú)約束變分問(wèn)題，輪換更新求得鞍點(diǎn)。

根據(jù)parseval 定理，轉(zhuǎn)換到頻域的表達(dá)式為：

利用ω=ω-ωk進(jìn)行變量代換，最終得到：

3 VMD 能量熵

VMD 分解得到的模態(tài)分量中包含了不同頻段的信息。當(dāng)齒輪產(chǎn)生不同類(lèi)型的故障時(shí)，不同頻段的分量將發(fā)生改變，同時(shí)導(dǎo)致分量瞬時(shí)能量隨之變化[12]。計(jì)算各模態(tài)分量的能量熵，從而表示各分量的改變，能夠很好地反映出信號(hào)在不同尺度的故障特征。

原始信號(hào)f經(jīng)過(guò)VMD 分解處理后得到有限個(gè)模態(tài)分量，每個(gè)模態(tài)分量依次表示為E1，E2，…，EK。各分量包含了不同頻段的振動(dòng)信息，故總能量E=E1+E2+…+EK，構(gòu)成振動(dòng)信號(hào)在不同頻域的能量分布。因此，VMD 能量熵定義為：

4 隨機(jī)森林分類(lèi)算法

隨機(jī)森林是Leo Breiman 提出的一種綜合多棵決策樹(shù)的分類(lèi)器，基本原理是利用多棵樹(shù)對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練并預(yù)測(cè)，其中每棵樹(shù)所使用的數(shù)據(jù)為隨機(jī)子集，分類(lèi)測(cè)試相互獨(dú)立[13]。單個(gè)決策樹(shù)的分類(lèi)能力較弱，隨機(jī)森林即隨機(jī)產(chǎn)生多棵決策樹(shù)，對(duì)每棵樹(shù)的分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)投票，選擇最可能的分類(lèi)結(jié)果，分類(lèi)精度高且避免過(guò)擬合問(wèn)題。隨機(jī)森林屬于有監(jiān)督的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，具體執(zhí)行過(guò)程如下：

（1）采用Bootstrap 方法從原始數(shù)據(jù)集中進(jìn)行有放回地采樣替換，隨機(jī)生成k個(gè)訓(xùn)練樣本集，即生成k棵決策樹(shù)；

（2）假設(shè)生成的訓(xùn)練集對(duì)應(yīng)的決策樹(shù)中有m個(gè)屬性，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處從m個(gè)屬性中隨機(jī)選n個(gè)屬性（n＜＜m），從中選擇最優(yōu)屬性作為節(jié)點(diǎn)的分類(lèi)屬性進(jìn)行生長(zhǎng)；

（3）不限制每棵決策樹(shù)的生長(zhǎng)，不做任何修剪；

（4）利用多個(gè)決策樹(shù)構(gòu)成的隨機(jī)森林對(duì)新的數(shù)據(jù)集進(jìn)行識(shí)別與分類(lèi)，采用投票方式，最終結(jié)果以票數(shù)多的為準(zhǔn)。

5 基于VMD 能量熵和隨機(jī)森林的診斷

齒輪在正常、點(diǎn)蝕、斷齒、磨損四種狀態(tài)下，VMD 分解的模態(tài)分量的能量熵值不同，故把VMD 能量熵作為特征向量，輸入至隨機(jī)森林分類(lèi)器進(jìn)行訓(xùn)練與預(yù)測(cè)。工作流程圖，如圖1 所示。

圖1 流程圖Fig.1 Flow Chart

具體步驟如下：

（1）在相同采樣頻率以及采樣點(diǎn)數(shù)的情況下，對(duì)正常、斷齒、點(diǎn)蝕、磨損4 種狀態(tài)下的齒輪進(jìn)行數(shù)據(jù)采集；

（2）對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行VMD 處理，得到有限個(gè)IMF 分量；

（3）計(jì)算各IMF 的能量，構(gòu)建能量特征向量：

由于能量數(shù)值大，不方便計(jì)算，故對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，得到：

（4）將特征向量T′輸入至隨機(jī)森林分類(lèi)器中，進(jìn)行訓(xùn)練，并預(yù)測(cè)分類(lèi)，計(jì)算故障識(shí)別的準(zhǔn)確率。

6 仿真分析

為了檢測(cè)VMD 算法的有效性，將該方法與EEMD 分解方法進(jìn)行對(duì)比分析。

模擬齒輪仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)：

x1（t）與x2（t）為諧波信號(hào)，諧波頻率為30Hz 和50Hz；x3（t）為周期性衰減信號(hào)，其頻率為20Hz；n（t）為標(biāo)準(zhǔn)差為1 的高斯白噪聲信號(hào)；設(shè)置采樣頻率為1000Hz，采樣時(shí)間是1s，得到信號(hào)y（t）的時(shí)域波形及頻譜，如圖2 所示。

圖2 仿真信號(hào)及頻譜Fig.2 Simulation Signal and Spectrum

該實(shí)驗(yàn)對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行處理，主要為了提取信號(hào)中的脈沖頻率20Hz，抑制頻率為30Hz 和50Hz 的諧波信號(hào)，濾除高斯白噪聲，提高主頻幅值。VMD、EEMD 分解結(jié)果（取EEMD 分解的前三個(gè)分量）分別，如圖3～圖4 所示。EEMD 分解時(shí)受到高斯白噪聲的影響，產(chǎn)生了模態(tài)混疊以及端點(diǎn)效應(yīng)。EEMD 處理后的包絡(luò)譜圖，如圖5 所示。沖擊頻率20Hz 及其二倍頻被提取得到，但同時(shí)出現(xiàn)大量的白噪聲。仿真信號(hào)經(jīng)過(guò)VMD 與包絡(luò)譜分析后，可以清晰地提取到脈沖頻率及其2 倍頻、3 倍頻，抑制頻率30Hz 和50Hz 以及高斯白噪聲，如圖6 所示。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，圖5 中出現(xiàn)沖擊頻率20Hz 的幅值為0.4538，且周?chē)嬖谳^多噪聲，圖6 中沖擊頻率的1 倍頻幅值為0.6105，且2 倍頻、3 倍頻的幅值也較為明顯，噪聲被有效抑制。故相比較EEMD 方法，VMD 分解有效地抑制了諧波信號(hào)與噪聲，提高了脈沖頻率的幅值，提取出脈沖頻率的2 倍頻、3 倍頻，沒(méi)有出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。

圖3 VMD 分解結(jié)果Fig.3 Results of VMD Decomposition

圖4 EEMD 分解結(jié)果Fig.4 Results of EEMD Decomposition

圖5 EEMD 處理后包絡(luò)譜Fig.5 The Envelope Processing by EMD

圖6 VMD 處理后包絡(luò)譜Fig.6 The Envelope Processing by VMD

7 實(shí)例分析

選擇VB500 機(jī)械故障模擬與轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖7 所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.7 The Structure of Test Bench

該實(shí)驗(yàn)臺(tái)中大齒輪齒數(shù)75，小齒輪齒數(shù)55，采樣頻率為5120Hz。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)NI 9233 采集卡和AC102-1A 加速度傳感器采集得到。選擇轉(zhuǎn)速為1500r/min，采集齒輪正常、斷齒、點(diǎn)蝕、磨損四種狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)。以斷齒故障為例，采樣點(diǎn)數(shù)為5120，故障頻率為25Hz，時(shí)域波形以及頻譜圖，如圖8 所示。本研究采用VMD 算法和EEMD 算法對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行分解，通過(guò)對(duì)大量齒輪數(shù)據(jù)測(cè)試，默認(rèn)VMD 分解的模態(tài)分量個(gè)數(shù)為5，避免信號(hào)丟失或過(guò)度分解的問(wèn)題，各模態(tài)分量的頻譜，如圖9 所示。采用EEMD 對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，共獲得13 個(gè)IMF 分量，能量主要集中在前幾個(gè)分量，為方便與VMD 分解對(duì)比，故選取EEMD 分解中的前五個(gè)IMF 做頻譜分析，如圖10 所示。對(duì)比圖9 和圖10，EEMD 分解的IMF1 中出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，難以區(qū)分每個(gè)成分的個(gè)體貢獻(xiàn)；因此，模態(tài)分量缺乏實(shí)際物理意義，受IMF1 影響，IMF2～I(xiàn)MF5 都被扭曲。而VMD 方法能夠?qū)崿F(xiàn)振動(dòng)信號(hào)中自適應(yīng)分解，有效避免EEMD 分解過(guò)程中出現(xiàn)的模態(tài)混疊現(xiàn)象，各IMF分量集中在中心頻率附近，避免能量泄漏。同時(shí)，為了驗(yàn)證各模態(tài)分量攜帶故障信息的有效性，VMD 以及EEMD 分解后各模態(tài)的細(xì)化包絡(luò)譜圖，如圖11、圖12 所示。VMD 處理后IMF1～I(xiàn)MF5 的細(xì)化包絡(luò)譜能夠清晰地看到故障頻率25Hz 及其2 倍頻50Hz、3倍頻75Hz，EEMD 處理后的細(xì)化包絡(luò)譜中僅有IMF1 能得到故障頻率及其倍頻，IMF2～I(xiàn)MF4 皆只能觀察到1 倍頻，IMF5 已看不到明顯的故障特征，說(shuō)明VMD 分解提取的故障信息更為準(zhǔn)確。

圖8 時(shí)域波形圖及頻譜Fig.8 Time Domain Waveform and Spectrum

圖9 VMD 分解的頻譜Fig.9 Spectrum of VMD Decomposition

圖10 EEMD 分解的頻譜Fig.10 Spectrum of EEMD Decomposition

圖11 VMD 分解的包絡(luò)譜Fig.11 The Envelope Processing by VMD

圖12 EEMD 分解的包絡(luò)譜Fig.12 The Envelope Processing by EEMD

分別采集上述4 種狀態(tài)的信號(hào)各100 組，每組信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為2560，利用VMD 對(duì)每組信號(hào)進(jìn)行分解，計(jì)算各模態(tài)分量的能量熵。每組數(shù)據(jù)的5 個(gè)能量熵組成一組特征向量，每種狀態(tài)產(chǎn)生 100 組特征向量，構(gòu)成一個(gè)（200×5）的特征向量集，如表 1 所示。每種狀態(tài)下隨機(jī)選擇50 組特征向量輸入隨機(jī)森林進(jìn)行訓(xùn)練，剩余50 個(gè)特征向量用于測(cè)試。在隨機(jī)森林的訓(xùn)練與測(cè)試過(guò)程中，數(shù)字標(biāo)簽1～4 分別對(duì)應(yīng)著齒輪正常、斷齒、點(diǎn)蝕、磨損4 種狀態(tài)。測(cè)試樣本存放順序?yàn)椋?～50 為正常狀態(tài)（標(biāo)簽 1）；51～100 為斷齒故障（標(biāo)簽 2）；101～150 為點(diǎn)蝕故障（標(biāo)簽 3）；151～200 為磨損故障（標(biāo)簽4）。

表1 特征向量集Tab.1 Feature Vector Set

袋外數(shù)據(jù)OBB 誤差率收斂曲線，隨著決策樹(shù)個(gè)數(shù)的增多，誤差逐漸減小，當(dāng)隨機(jī)森林中決策樹(shù)的個(gè)數(shù)為200 時(shí)，誤差率穩(wěn)定在0.05 附近，因此分類(lèi)器中決策樹(shù)的數(shù)量取200，保證樣本數(shù)據(jù)的正確率穩(wěn)定。

圖13 誤差曲線圖Fig.13 Error Graph

采用VMD-RF 和VMD-SVM 分類(lèi)器的識(shí)別結(jié)果圖，如圖14、圖 15 所示。

圖14 VMD-RF 分類(lèi)結(jié)果Fig.14 Classification Result of VMD-RF

圖15 VMD-SVM 分類(lèi)結(jié)果Fig.15 Classification Result of VMD-SVM

從圖中看出，采用隨機(jī)森林對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)，正常狀態(tài)的樣本中有2 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，斷齒故障的樣本中沒(méi)有錯(cuò)誤分類(lèi)，點(diǎn)蝕故障的樣本中存在7 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，磨損故障的樣本中存在1 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)；采用SVM 對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)，正常狀態(tài)的樣本中有10 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，斷齒故障的樣本中有5 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，點(diǎn)蝕故障的樣本中有13 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，磨損故障的樣本中有1 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)。圖15 中采用SVM 識(shí)別故障，正常狀態(tài)與點(diǎn)蝕故障易判別錯(cuò)誤，點(diǎn)蝕故障誤判為正常狀態(tài)，正常狀態(tài)誤判為點(diǎn)蝕故障，而圖14 中采用隨機(jī)森林識(shí)別則明顯改善了錯(cuò)判的狀況，正常狀態(tài)下僅2 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)，點(diǎn)蝕故障也從13 個(gè)錯(cuò)誤分類(lèi)降低為7 個(gè)。最后對(duì)測(cè)試樣本的錯(cuò)誤判斷個(gè)數(shù)以及準(zhǔn)確率做了統(tǒng)計(jì)，如表2 所示。隨機(jī)森林分類(lèi)的整體準(zhǔn)確率達(dá)到了95.5%，與SVM 分類(lèi)相比，準(zhǔn)確率提高了10%，不同狀態(tài)下的分類(lèi)精度也明顯高于SVM 分類(lèi)。

表2 VMD-RF 與VMD-SVM 分類(lèi)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of VMD-RF and VMD-SVM Classification Results

8 結(jié)論

（1）VMD 作為一種自適應(yīng)信號(hào)處理方法，相對(duì)于EEMD 分解，可以有效抑制模態(tài)混疊，避免故障信息丟失，特征提取效果更加準(zhǔn)確。（2）隨機(jī)森林將多個(gè)單決策樹(shù)的分類(lèi)結(jié)果集成起來(lái)，提高分類(lèi)精度。基于VMD 能量熵與隨機(jī)森林相結(jié)合的齒輪故障分類(lèi)準(zhǔn)確率高于VMD 能量熵與SVM 結(jié)合的方法。由此可見(jiàn)，隨機(jī)森林在齒輪故障識(shí)別方面有著不錯(cuò)的應(yīng)用前景。