用耦合模原理分析RLC串聯(lián)電路

陳希有, 齊 琛, 李冠林, 董維杰

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 遼寧 大連，116023)

0 引言

在電網(wǎng)絡(luò)或其他系統(tǒng)中，廣泛存在著能量的往返傳遞現(xiàn)象。例如，電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量、動(dòng)能與勢(shì)能、一個(gè)系統(tǒng)的能量與另一個(gè)系統(tǒng)的能量等，它們可以振蕩性地相互傳遞和轉(zhuǎn)換。這種傳遞和轉(zhuǎn)換物理上叫做模式耦合。著眼于這種模式耦合的分析方法是一種叫做耦合模原理的方法。

早在1963年以前就有專門介紹耦合模原理的著作[1]。耦合模已在行波管、回波振蕩器、參量放大器、均勻傳輸線中得到不同程度的應(yīng)用。耦合模原理為認(rèn)識(shí)這類具有模式耦合的系統(tǒng)提供了有效的統(tǒng)一方法。

近些年，由于無線電能傳輸技術(shù)的研究熱潮，以及MIT學(xué)者在他們的研究文獻(xiàn)中使用了耦合模原理，使得耦合模又重新被人們所關(guān)注[2,3]。所謂無線電能傳輸，就是不通過物理接觸或電氣接觸，借助某種物理場(chǎng)或波，在一定距離內(nèi)實(shí)現(xiàn)電能從發(fā)射系統(tǒng)到接收系統(tǒng)的傳遞。由于電磁現(xiàn)象的固有規(guī)律，在系統(tǒng)工作過程中，能量是往返傳遞的。因此無線電能傳輸系統(tǒng)剛好符合耦合模的研究對(duì)象。

本文結(jié)合筆者在無線電能傳輸技術(shù)中的研究，以及“電路理論”課程教學(xué)，以簡(jiǎn)單的RLC串聯(lián)電路為例，介紹了用耦合模原理分析電路的方法和特點(diǎn)。如能將耦合模原理應(yīng)用到更多的電路分析內(nèi)容，定會(huì)給電路理論帶來一股別樣氣息。

1 耦合模的電路定義

在含有電容與電感的電路中，如圖1所示，由電容電壓和電感電流按下式組成的復(fù)數(shù)形式的狀態(tài)變量稱為耦合模，即

(1)

圖1 含有電容和電感的電路

由耦合模的上述定義，不難總結(jié)出耦合模的下列性質(zhì)：

(1)耦合模是隨時(shí)間變化的復(fù)數(shù)。

(3)耦合模絕對(duì)值的平方等于它所聯(lián)系的電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量的總和，即

(2)

(4)由耦合模按照下式可以分別求得電容電壓和電感電流，即

(3)

(5)由耦合?？梢苑謩e求得電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量，即

(4)

(6)以下各式也可作為耦合模的定義：

(5)

(6)

(7)

當(dāng)使用不同的定義時(shí)，由耦合模計(jì)算電容電壓、電感電流，以及元件和電路儲(chǔ)能時(shí)，計(jì)算公式是不同的，但都不難從耦合模的定義推導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式。

所謂耦合模分析，就是以耦合模為狀態(tài)變量，依據(jù)電路定律列寫狀態(tài)方程并求解。下面用具體電路說明用耦合模概念分析電路的方法和特點(diǎn)。

2 理想LC回路的零輸入響應(yīng)

電路如圖2所示。以耦合模為狀態(tài)變量，列寫電路方程的一般步驟如下：

圖2 理想LC回路

(1)依據(jù)基爾霍夫定律，對(duì)電路列寫狀態(tài)方程得

(8)

(2)將式(3)代入式(8)，消去電容電壓和電感電流得

(9)

(3)整理后得到以耦合模為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程

(10)

其中 表示電路的固有角頻率，即

(11)

方程(10)就是圖2電路的耦合模方程。式中的兩個(gè)方程不是聯(lián)立關(guān)系，可以很容易地單獨(dú)求解，得到

(12)

式中A+、A-由初始條件確定，即

(13)

而a+(0)、a-(0)又由電容電壓和電感電流的初值，并通過耦合模的定義來計(jì)算。例如，設(shè)u(0)=U，i(0)=0，則由耦合模定義即式(1)得

(14)

代入式(12)得耦合模的零輸入響應(yīng)：

(15)

可見a±分別代表了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量，如圖3所示。矢量長(zhǎng)度相等且為常量，即

(16)

因?yàn)轳詈夏＝^對(duì)值的平方就是總能量，所以長(zhǎng)度為常量意味著在時(shí)間進(jìn)程中，電路的總能量保持不變，這與理想LC回路的無損性質(zhì)是一致的。

從電路課程可知，對(duì)于圖2所示的理想LC回路，開關(guān)接通后，電路立即按正弦規(guī)律變化，并且表達(dá)式為

(17)

由式(17)及耦合模的定義式(1)，也可得到式(15)的耦合模響應(yīng)，即

(18)

由此驗(yàn)證了式(15)的耦合模響應(yīng)。

如果按式(2)計(jì)算電路的總能量，結(jié)果是

圖3 理想LC回路中耦合模的幾何意義

(19)

3 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

電路如圖4所示，將固有角頻率和阻尼因子分別記作：

(20)

圖4 RLC串聯(lián)電路

按照與圖2相似的分析步驟，先依據(jù)基爾霍夫定律列寫狀態(tài)方程：

(21)

將式(3)代入式(21)，整理后得到關(guān)于耦合模的齊次狀態(tài)方程，即

(22)

利用耦合?？梢苑治鲭娮柘牡墓β?，對(duì)此有多種途徑。

(1)利用耦合模求出電流，然后代入電阻功率公式，即

(23)

(2)利用電阻消耗的功率必然等于系統(tǒng)總能量隨時(shí)間減少的速率，得

(24)

pR=Ri2=R[(2/L)Wm(t)]=4ΓWm(t)

可見電阻消耗能量的速率與磁場(chǎng)能量成正比，這是因?yàn)槎叨颊扔陔娏鞯钠椒健?/p>

為求解耦合模方程(22)，可以利用拉普拉斯變換。在“自動(dòng)控制原理”等課程中已經(jīng)給出了求解齊次狀態(tài)方程的公式，即

(25)

下面按照公式(25)給出主要計(jì)算結(jié)果。

系數(shù)矩陣行列式為

(26)

特征根為

(27)

逆矩陣為

(28)

其中各部分分式的系數(shù)為

(29)

拉普拉斯反變換為

(30)

根據(jù)公式(25)得耦合模方程即式(22)的解為

(31)

根據(jù)耦合模的解答，進(jìn)一步可以求得電場(chǎng)能量We(t)與磁場(chǎng)能量Wm(t)，及電路總能量W(t)隨時(shí)間的變化規(guī)律。圖5是根據(jù)式(31)和式(4)，并通過數(shù)值計(jì)算獲得的響應(yīng)波形，它們與用傳統(tǒng)的電路分析方法獲得的波形完全一致。

圖5 用耦合模計(jì)算的電路儲(chǔ)能

由于方程組(22)的兩個(gè)方程中存在耦合項(xiàng)，即第一個(gè)方程中的Γα-和第二個(gè)方程中Γα+，因此需要聯(lián)立求解，求解過程略顯復(fù)雜。然而，對(duì)某些問題，這些耦合項(xiàng)的作用相對(duì)其他項(xiàng)很小，因此可以忽略它們。這樣就得到相對(duì)簡(jiǎn)單的狀態(tài)方程，即

(32)

振蕩頻率足夠高，且R很小時(shí)可以這樣忽略。對(duì)無耦合項(xiàng)的齊次方程(32)，很容易求得解答為

(33)

由耦合模的解答即式(33)，可以求得系統(tǒng)總能量的近似變化規(guī)律，

W(t)=a+a-=A+A-e-2Γt=W(0)e-2Γt

(34)

總能量近似按指數(shù)規(guī)律減少，指數(shù)規(guī)律的時(shí)間常數(shù)為1/(2Γ)=L/R。用式(34)表示的能量隨時(shí)間的近似變化規(guī)律如圖6所示。雖然它與精確計(jì)算結(jié)果存在誤差，但由于忽略了耦合項(xiàng)，使得耦合模方程的求解變得極其容易。

圖6 用簡(jiǎn)化耦合模方程計(jì)算的電路儲(chǔ)能

4 RLC串聯(lián)電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖7是正弦激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路。根據(jù)基爾霍夫定律列出狀態(tài)方程，即

(35)

圖7 正弦電壓激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路

(36)

將耦合模的性質(zhì)即式(2)及式(36)，代入方程(35)，并利用與式(20)相同的定義，得到正弦激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的耦合模方程，寫成矩陣形式就是

(37)

這是關(guān)于耦合模的非齊次狀態(tài)方程。為求其正弦穩(wěn)態(tài)解，即微分方程的一個(gè)特解，可使用疊加定理按如下步驟進(jìn)行。

(1)ejωt對(duì)應(yīng)項(xiàng)單獨(dú)作用

此時(shí)耦合模方程是

(38)

由于激勵(lì)是ejωt形式的函數(shù)，根據(jù)微分方程性質(zhì)，它的特解也具有相同的形式，因此令

(39)

其中B'和D'是需要待定的系數(shù)。待定方法是，將式(39)代入方程(38)，約掉等號(hào)兩邊的ejωt項(xiàng)后再簡(jiǎn)單整理得到

(40)

下面給出求解方程(40)的主要結(jié)果。系數(shù)行列式：

(41)

代數(shù)余子式：

(42)

因此，待定系數(shù)為

(43)

(2)e-jωt對(duì)應(yīng)項(xiàng)單獨(dú)作用

此時(shí)耦合模方程是

(44)

此時(shí)須令耦合模的特解

(45)

其中待定系數(shù)B"和D"，可以仿照B'和D'的求解過程來得到。但由于

(46)

B"=D'*，D"=B'*

(47)

根據(jù)耦合模計(jì)算出電路儲(chǔ)能的變化規(guī)律，如圖8所示。計(jì)算條件是R=2Ω，L=0.01H，C=0.1mF,ω=0.8ω0。

圖8 RLC串聯(lián)電路正弦穩(wěn)態(tài)下儲(chǔ)能變化情況

當(dāng)ω=ω0，即滿足諧振條件時(shí)，由電路理論早已知道，此時(shí)電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量實(shí)現(xiàn)完全互補(bǔ)交換，電路總能量保持不變。這一結(jié)論也可由耦合模方程的解答得到驗(yàn)證。當(dāng)ω=ω0時(shí)，根據(jù)式(43)和(47)可知

B"=D'*=0

(48)

此時(shí)耦合模解答中只有一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，即

(49)

上述耦合模的絕對(duì)值平方為常量，正好符合諧振時(shí)電路總儲(chǔ)能不隨時(shí)間變化的性質(zhì)。

根據(jù)耦合模計(jì)算出諧振時(shí)電路儲(chǔ)能的變化規(guī)律，波形如圖9所示。

圖9 諧振條件下的電路儲(chǔ)能變化情況

在耦合模方程(37)中，由于存在耦合項(xiàng)，使得待定系數(shù)的求解變得比較復(fù)雜，需要求解二元聯(lián)立方程。如果忽略耦合項(xiàng)(R很小時(shí)可以這樣忽略)，則可簡(jiǎn)化待定系數(shù)的計(jì)算。忽略后的耦合模方程為

(50)

其穩(wěn)態(tài)解可以令為

(51)

仍然按照疊加定理的思路確定待定系數(shù)，但無需求解聯(lián)立方程，得到的待定系數(shù)分別是

(52)

并且D'=B"*，D"=B'*

(53)

根據(jù)簡(jiǎn)化后的耦合模方程及其解答，近似計(jì)算諧振條件下電路儲(chǔ)能的變化規(guī)律，波形如圖10所示。總能量不再是常量。

圖10 諧振時(shí)電路儲(chǔ)能的近似計(jì)算

5 結(jié)語

本文介紹了用耦合模原理分析電路的方法和特點(diǎn)，結(jié)論如下：

(1)本文介紹的耦合模在電路中的基本概念，以及在RLC串聯(lián)電路分析中的應(yīng)用。從分析RLC串聯(lián)電路這個(gè)簡(jiǎn)單例子看，用耦合模分析暫態(tài)響應(yīng)或正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并沒有表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)。但它以復(fù)數(shù)形式的狀態(tài)變量為待求量的認(rèn)識(shí)問題的角度是獨(dú)特的，是對(duì)電路理論的一種豐富。

(2)在分析更多儲(chǔ)能元件的電路、含有耦合回路的電路、機(jī)電耦合系統(tǒng)、電熱耦合系統(tǒng)等，還有待深入研究。