三相異步電動機驅動振動系統的Sommerfeld效應分析

姜 嬌，孔祥希，羅園慶，許 琦，陳長征

(1.沈陽工業大學 機械工程學院，沈陽 110870；2.沈陽城市學院 智能工程學院，沈陽 110112)

原動機是機械設備中的重要驅動部分，是提供現代生產、生活中所需動力的主要來源，包括汽油機、柴油機、直流電動機、三相異步電動機、泵等。幾乎所有的原動機所能提供的動力均是有限的：汽油機、柴油機有它們所能提供的最大馬力；直流電動機、三相異步電動機不能長時間工作于超載狀態；泵等驅動機械同樣具有額定功率的限制。這些提供有限動力的原動機稱為非理想原動機。由于不平衡激勵的作用，原動機驅動機械系統在工作過程中將會產生振動，機械系統的振動必然會影響原動機的運動狀態；反過來，原動機運動狀態的改變必將影響機械系統的振動。這種充分考慮振動系統與非理想原動機相互作用的系統稱之為非理想振動系統[1]。但是，在很多對于非理想振動系統的研究中[2-3]，往往忽略原動機與振動系統的相互作用，沒有考慮原動機提供動力的限制，將其視為理想振動系統，這勢必對研究結果產生影響。

當充分考慮原動機系統與振動系統的相互作用時，由于原動機所提供的動力是有限的，原動機驅動的非理想振動系統會出現一種直接由共振前跳躍至共振后的非線性跳躍現象，稱之為Sommerfeld效應[4]。近些年，已經有很多國外學者對于非理想振動系統的Sommerfeld效應的進行了相關研究工作。Bharti等[5]將直流電動機視為非理想原動機驅動的二自由度的單盤剛性轉子系統，并對其出現在兩個不同臨界轉速處的Sommerfeld效應進行了研究。Bisoi等[6]對非理想直流電機驅動的懸臂梁單盤轉子系統的Sommerfeld效應進行了分析。Sinha等[7]研究了非理想原動機-直流電動機驅動的曲柄滑塊機構的動力學問題，并對其產生的Sommerfeld進行分析。Rocha等[8]對非理想原動機-直流電動機驅動的三自由度非線性振動系統的動力學問題進行了研究。Palacios等[9]研究了動力吸振系統與非理想系統耦合系統的動力學問題。Jaime等[10]研究了非理想直流電機驅動的非線性系統的動力學問題。此外，Kovriguine[11]對雙機驅動振動系統的自同步與Sommerfeld效應問題進行了研究。Djanan等[12]對矩形板支撐的兩臺加速移動電機的自同步及Sommerfeld效應問題進行了研究，以減小矩形板的振動。但是，國內學者對于非理想振動系統的Sommerfeld效應的研究還是較少的。易園園等[13]建立了三相異步電機-多級齒輪系統的機電耦合動力學模型，并對其沖擊載荷下的動態特性進行了研究，但并未對Sommerfeld效應進行研究。張力豪等[14]對電機驅動轉子系統進行升速過臨界實驗，從其實驗結果可以看出，轉子系統的振幅在臨界轉速之前平緩增大，而在轉速通過臨界轉速之后，振幅并不是平緩降低，而是突然急劇降低，發生了明顯非線性跳躍現象，即Sommerfeld效應，但其并未對此現象進行深入研究。上述實驗結果在文獻[15-17]中也可以得到，但相關作者同樣并未對Sommerfeld效應進行相關研究。

綜上所述，以上研究工作往往采用了簡單的直流電動機作為原動機，對直流電機驅動振動系統的Sommerfeld效應進行了分析。本文在前人研究的基礎上，采用復雜的三相異步電動機代替直流電動機，對三相異步電動機與振動系統間的相互作用進行分析。將三相異步電動機的模型引入到振動系統中，建立三相異步電動機驅動振動系統動力學模型，應用所建模型，對三相異步電動機驅動振動系統的Sommerfeld效應進行研究，為振動系統的動力設計與原動機的選型提供借鑒。

1 數學模型

圖1為所研究振動系統的機電耦合模型。如圖所示，一個剛體由一組彈簧和阻尼器支撐。一臺三相異步電動機帶動偏心轉子沿著逆時針方向轉動。僅僅考慮剛體在豎直方向的運動，用坐標y表示。

圖1 三相異步電動機驅動振動系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of a vibration system driven by three-phase asynchronous motor

偏心轉子質心的坐標可表示為

(1)

(2)

式中:mb為剛體質量;m1為偏心轉子的質量;J1為偏心轉子的轉動慣量，包括三相異步電機的轉動慣量J01和偏心塊的轉動慣量，即J=J01+m1r2。

可以計算得到系統的勢能為

V=ky2/2

(3)

式中，k為彈簧y方向的剛度系數。

系統耗散函數D可表示為

(4)

式中:c為彈簧y方向的阻尼系數；c1為三相異步電機的阻尼系數。

根據Lagrange方程建立系統的振動微分方程

(5)

式中:qj為系統廣義坐標;Qj為廣義力。

對于圖1所示系統，廣義坐標向量為q=(yφ)T，廣義力向量為Q=(0Te)T，其中，Te為三相異步電機的電磁轉矩，可表示為[18]

(6)

式中:np為極對數;U為相電壓;Rs為定子電阻;Rr為轉子電阻;ωs為同步角速度;Ω為機械角速度;L1s=Ls-Lm為定子漏感，L1r=Lr-Lm為轉子漏感，Ls為定子自感，Lr為轉子自感，Lm為互感系數。

將式(2)～式(4)代入式(5)，可以得到系統的振動微分方程為

(7)

由于電機轉速的波動遠遠小于平均轉速，因此可以忽略轉速波動，則式(7)變為

(8)

2 理論計算與穩定性分析

2.1 理論計算

引入無量綱參數

則式(8)第一式變為

(9)

式(9)的解為

其中，

(11)

式中，To為電機的平均輸出轉矩。

(12)

將式(12)代入式(11)，可以得到關于ω的方程

(13)

可以看出，式(13)是關于ω的非線性高次超越方程，不能得到ω的解析解，需要通過數值方法計算ω的值。

2.2 穩定性分析

下面研究解ω的穩定性。設ω0是已求得的ω的解，ε為ω在ω0處的攝動量，則

(14)

將式(14)代入式(8)的第二個方程，并略去關于ε的高階小量，可以得到關于ε的攝動方程

(15)

其中，

η2mr2ζωnμ2(1+4μ2(ωn/ω0)2(2ζ2+(ωn/ω0)2-1))

式(15)可整理為

(16)

其中，

λ=ce-cL-c1

顯然，如果λ<0，ω=ω0的解是穩定的；反之，ω=ω0的解是不穩定的。

3 研究案例

本節對所研究的機電耦合系統進行分析，并基于Matlab/Simulink數值仿真對所提出理論方法的正確性進行驗證，最后分析偏心質量及三相異步電動機功率對振動系統的影響規律。三相異步電動機參數以及振動系統參數分別如表1、表2所示。

表1 三相異步電動機參數Tab.1 Parameters of three-phase asynchronous motor

表2 振動系統參數Tab.2 Parameters of vibration system

3.1 理論分析與仿真驗證

選擇偏心質量m1=1.3 kg，采用所提出的解析方法得到不同頻率下的機電耦合振動系統的響應曲線，如圖2所示。圖2(a)為電機轉速隨頻率的變化曲線，可以看出：隨著頻率的增加，電機的轉速并不是線性增大的；當供電頻率低于25 Hz或高于36 Hz時，隨著頻率的增加，電機轉速快速增加；而當25 Hz

圖2 振動系統非線性響應曲線(m1=1.3 kg)Fig.2 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1.3 kg

圖3為不同頻率條件下平均電磁與平均輸出轉矩隨轉速的變化曲線。由式(11)、式(12)可知，To與機體的振動有關，隨著轉速由0增加到100 rad/s，To先增大后減小，當機體共振時(ω≈ωn)，達到最大值。由式(6)可知電機的電磁轉矩與供電頻率和電機轉速均相關，當頻率不同時，電磁轉矩隨轉速的變化情況不同。由式(13)可知，不同頻率條件下，Te與To的交點所對應的橫坐標就是該頻率條件下的電機轉速。當f=33.8 Hz，34 Hz及34.2 Hz時，Te與To隨轉速的變化曲線存在三個交點，即轉速存在三個解，而通過所提出的穩定性判據，中間解是不穩定的，最終得到圖2所示結果。

下面從能量角度對產生Sommerfeld效應的原因進行分析。作為典型的機電耦合系統，電機所提供的能量一部分用于維持電機的轉動，而另外一部分用于滿足機體振動所需的能量，當電機轉速遠遠小于機體固有頻率(ω<<ωn)時，機體振動所需能量較小，電機能量主要用于維持電機轉動，因此隨著頻率的增加，電機轉速線性增大，此時平均電磁轉矩與輸出轉矩隨轉速的變化曲線存在一個交點，如圖3(a)所示；當電機轉速接近于機體固有頻率時，機體振動所需能量大大增加，對電機轉速產生影響，隨著頻率的增加，電機轉速緩慢增加，此時平均電磁轉矩與輸出轉矩隨轉速的變化曲線存在三個交點，如圖3(b)所示；當電機轉速達到固有頻率時，機體振動所需能量達到最大，電機轉速出現尖點(A)，此時平均電磁轉矩與輸出轉矩隨轉速的變化曲線存在兩個交點；當供電頻率繼續增大，平均電磁轉矩與輸出轉矩隨轉速的變化曲線的交點直接跳躍至共振后，電機轉速迅速增大，機體振幅大大減小，機體所需能量大大減小，電機能量主要用于維持電機轉動，電機轉速隨著頻率的增大線性增加。

圖3 不同頻率條件下轉速-轉矩變化曲線(m1=1.3 kg)Fig.3 Speed-torques curves with different frequency for m1=1.3 kg

為了驗證所采用理論分析方法的正確性，基于Matlab/Simulink進行了仿真分析。為了保證仿真的準確性，采用Matlab/Simulink中的三相異步電動機模塊，采用V/F開環控制方式實現電機頻率的調節，電機頻率f由20 Hz變化至50 Hz，每1 Hz進行一次仿真計算，仿真時間均為10 s，最終得到電機與振動系統穩態時的平均轉速與幅值如圖2所示。可以清楚地看出：在35 Hz附近，電機轉速以及振動系統的幅值均出現了跳躍現象；而在其他頻率范圍內，仿真結果與解析計算結果也是完全一致的。圖4為電機轉速、振動系統位移響應及電機的電磁轉矩、負載轉矩隨時間的變化曲線。仿真時間為10 s，電機轉速由0啟動，當t=5 s時，f由34 Hz增加到35 Hz。由圖4(a)轉速隨時間的變化曲線可知，當t=2 s時，轉速達到了穩定狀態，但是由于機體是振動的，因此電機轉速不是常數而是波動的，但波動幅度與平均轉速相比較是非常小的，因此在理論分析中忽略電機轉速的波動是合理的；當f由34 Hz增加到35 Hz時，由于頻率的突然變化，轉速出現波動，而當轉速再次達到穩定時，電機的轉速不是緩慢增加的，而是由約60 rad/s跳躍至70 rad/s，明顯出現了非線性跳躍現象，再次說明了理論分析方法的正確性。電機轉速由60 rad/s跳躍至70 rad/s，跳過共振點，機體響應的幅值迅速減小，如圖4(b)所示。電機負載轉矩與機體響應的變化是一致的，幅值的減小，電機的負載轉矩的波動也相應的減小，如圖4(c)所示。此外，從共振區跳躍至共振后，平均負載轉矩也有所減小，因此，電機提供的電磁轉矩也相應的減小。對比理論計算與仿真分析的結果可以充分說明所提出的理論計算方法是正確的。

圖4 振動系統瞬時響應曲線(m1=1.3 kg)Fig.4 Transient responses curves of vibration system for m1=1.3 kg

3.2 參數影響

通過上面的分析可知，振動系統的運動狀態是由電機所能提供的能量與系統運動所需的能量之間的相互關系決定的。當電機所能提供的電磁轉矩不滿足系統運動所需轉矩時，系統出現Sommerfeld效應。下面，分析偏心質量與電機功率對系統運動狀態的影響規律。

首先，分析偏心質量對系統運動狀態的影響。當偏心質量較小時(m1=1 kg)，電機運動狀態與系統響應如圖5所示。由于偏心質量較小，系統振動對電機運動狀態的影響較小，與η=0(即m1=0 kg)相比較，電機轉速僅僅在共振區附近略有降低，不會出現Sommerfeld效應，如圖5(a)所示。電機運動狀態與系統響應相互作用，相互影響，系統響應同樣不會出現跳躍現象，如圖5(b)所示。圖5(c)更清晰地表明，在不同的頻率條件下，電機轉速的值是唯一的且穩定的。當偏心質量較大時(m1=2 kg)，電機運動狀態與系統響應如圖6所示。由圖6(a)可知：當f<36 Hz時，電機轉速存在唯一穩定解；而當f>36 Hz時，電機轉速存在三個不同的解，且有兩個穩定解，根據圖6(c)判斷，其中一個穩定轉速始終低于系統固有頻率，而另外一個穩定轉速大于系統固有頻率且隨著頻率的增加迅速增大。振動系統的響應發生相應的變化，如圖6(b)所示。由于偏心質量較大，系統通過共振區，需要更大的能量，電機功率略有不足，施加適當的條件，轉速與系統響應將會直接跳過系統固有頻率，即出現Sommerfeld效應。由圖7可以看出，繼續增加偏心質量(m1=3 kg)時，電機運動狀態與系統響應隨頻率的變化規律與m1=2 kg時相似，僅僅是轉速出現多解的頻率有所增大，當頻率大于多解所對應的臨界頻率時，系統有出現Sommerfeld效應的可能性。由上述結果可以推測，當偏心質量增大到一定值時，電機轉速將始終低于固有頻率，系統將不能通過共振區。當偏心質量增加到m1=6 kg時，電機功率完全不能滿足系統通過共振區的要求，電機轉速始終低于系統固有頻率，如圖8所示。

圖5 振動系統非線性響應曲線(m1=1 kg)Fig.5 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1 kg

圖6 振動系統非線性響應曲線(m1=2 kg)Fig.6 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=2 kg

圖7 振動系統非線性響應曲線(m1=3 kg)Fig.7 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=3 kg

圖8 振動系統非線性響應曲線(m1=6 kg)Fig.8 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=6 kg

接下來，分析電機功率對振動系統運動狀態的影響。選擇偏心質量m1=6 kg，由圖8可知，當P=0.2 kW時，電機轉速將始終低于固有頻率，系統將不能越過共振區。下面，分別選擇P=0.75 kW,2 kW及4 kW的電機驅動系統，采用所提出的理論方法對其系統的運動狀態進行分析。電機相關參數如表3所示。當電機額定功率為P=0.75 kW時，電機運動狀態與系統響應隨頻率的變化曲線，如圖9所示。可以看出，當f>40 Hz時，轉速出現多解，系統出現Sommerfeld效應，轉速可以越過固有頻率，系統可工作于非共振狀態。當電機額定功率P=2 kW時，轉速出現多解所對應的頻率減小至約35 Hz，如圖10所示。但從上述兩種工作狀態可以看出，當頻率大于臨界頻率時，電機轉速存在兩個穩定的解，系統既可以穩定工作于共振前，也可以穩工作于共振后。當電機額定功率增大到P=4 kW時，電機的供電頻率大于34 Hz，系統將直接跳過共振區，隨著頻率的增大，系統將快速遠離共振區，如圖11所示。

圖11 振動系統非線性響應曲線(P=4 kW)Fig.11 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=4 kW

圖10 振動系統非線性響應曲線(P=2 kW)Fig.10 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=2 kW

圖9 振動系統非線性響應曲線(P=0.75 kW)Fig.9 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=0.75 kW

表3 三個不同功率三相異步電動機參數Tab.3 Parameters of three three-phase asynchronous motors with different powers

4 結 論

將三相異步電動機的模型引入振動系統，在充分地考慮三相異步電動機與振動系統相互作用的基礎上，對非理想三相異步電動機驅動振動系統的動力學問題進行了研究。從工程實際出發，忽略電機轉速的波動，采用解析方法，計算得到不同頻率條件下的電機轉速，并對其穩定性進行了分析。基于Matlab/Simulink進行仿真驗證，充分說明了所采用理論分析方法的正確性。此外，對偏心質量以及電機功率對系統動力學特性的影響進行了分析。通過上述研究，得到以下結論：

(1)與理想振動系統相比較，三相異步電動機驅動振動系統出現了Sommerfeld效應，電機轉速出現非線性跳躍現象，振動系統表現出硬式非線性現象。

(2)三相異步電動機驅動振動系統的動態特性是由電機所能提供的電磁轉矩與振動系統所需轉矩之間的關系決定的。當振動所需轉矩較小時，振動系統響應對電機運動狀態影響較小，系統不會出現Sommerfeld效應；當振動系統所需轉矩較大時，電機所能提供的電磁轉矩不能滿足系統所需轉矩要求，系統出現非線性跳躍現象，即Sommerfeld效應；當振動系統所需轉矩完全超過電機所能提供的電磁轉矩時，電機轉速將始終低于系統共振頻率，系統不能通過共振區。

(3)針對振動系統不能通過共振區的問題，可以采用兩種方法來解決：?減小系統的幅值以減小電機負載轉矩，最終使振動系統通過共振區；?選擇更大功率的電機，滿足系統通過共振區所需電磁轉矩的要求。