一種球形機器人高速直線運動的自適應控制方法

馬 龍，孫漢旭，宋荊洲，蘭曉娟

(北京郵電大學 自動化學院，北京 100876)

球形機器人是一種基于內部驅動機構產生的偏心力矩與慣性力進行運動的新型移動機器人，能夠實現防傾覆且全向穩定快速移動，具有運動效率高、能耗低的優勢，在危險環境探測、狹窄空間作業、監控偵察等領域有著廣泛應用前景[1]。球形機器人系統具有強耦合、欠驅動、非完整約束、非線性的特點，常規運動控制方法無法對其進行有效控制，同時運動過程中存在動力學模型構建不完整以及周圍環境對運動產生未知干擾等不可測且不穩定的因素[2]。隨著運動速度逐漸增大，上述不穩定因素給球形機器人運動控制帶來的影響迅速增加，運動精度大幅下降，導致球形機器人無法應對如軍事偵察爆破、通信網絡中繼等需要具備高速運動能力的任務。因此，開展面向球形機器人高速高精度運動的控制方法研究有重要意義。

近年來，國內外專家學者關注的球形機器人驅動機制主要分為以下三種：基于全向輪的偏心力矩驅動機制、基于摩擦的內驅動機制以及基于重擺的偏心力矩驅動機制，且相關研究主要集中在低速(對于20 kg左右的小型機器人，高速界定標準是2.5 m/s[3-4])運動狀態下的控制策略方面，對高速運動狀態下球形機器人控制策略的研究成果幾乎未見。與另外兩種驅動機制相比，基于重擺式偏心力矩驅動機制是一種具有較高可操作性和易于實現的驅動機制，但是運動過程中球殼與重擺運動的強耦合與欠驅動是導致其控制難度高的原因，然而其在運動速度方面有明顯優勢。因此以基于重擺的偏心力矩驅動機制進行驅動的球形機器人為研究對象，針對球形機器人典型運動形式——直線運動，本文開展高速運動狀態下球形機器人直線運動的自適應控制研究。

針對基于重擺的偏心力矩驅動機制進行驅動的球形機器人直線運動控制，國內外學者開展了廣泛的研究。Liu等[5]針對球形機器人的直線運動，提出了基于線性二次型調節器(linear quadratic regulator,LQR)的速度和角度控制器，但直線運動模型的線性化使該控制方法的準確性難以保證。趙勃等[6]通過在控制器中引入非線性摩擦模型進行反饋控制。Madhushani等[7]利用PID(proportional integral derivative)反饋正則化方法對基于重擺式偏心力矩驅動機制的環形機器人進行運動控制，該方法保證了對恒定擾動的魯棒性。上述三種典型的研究成果對外界不可測的時變擾動不具備魯棒性和自適應性。近年來，對基于重擺的偏心力矩驅動機制進行驅動的球形機器人直線運動控制的研究主要圍繞滑模控制展開。滑模控制(sliding mode control,SMC)能夠克服系統的不確定性,對未建模的干擾具有很強的魯棒性，尤其是對非線性系統的控制具有良好的控制效果[8-9]。Yu等[10]提出一種對球形機器人直線運動進行解耦滑模控制的方法，通過設計系統的分層滑動面，使系統控制由多目標轉換為單目標，大大降低控制器設計難度。Yu等[11]針對球形機器人直線運動問題提出一種模糊滑模控制(fuzzy sliding mode control,FSMC)方法，通過將第二層滑動面作為模糊邏輯系統的輸入，通過運用模糊推理來得到滑模控制量。Yue等[12]運用自適應分層滑模控制(adaptive hierarchical sliding mode control,AHSMC)進行球形機器人直線運動速度的控制，通過與滾動摩阻的實時估算，使控制效果較為理想，但是超調量較大。另一種非常流行的對球形機器人直線運動控制的魯棒控制方法是基于分數階微積分的控制技術。分數階微積分是普通導數和積分的任意階數，能夠提高球形機器人直線運動過程中穩態誤差、收斂速度和軌跡跟蹤性能[13]。周挺等[14]提出了基于分數階微積分的分層滑模控制(fractional hierarchical sliding mode control,F-HSMC)方法，使系統在受到干擾的情況下具備更強魯棒性，同時避免系統的超調量過大，但是同樣未考慮控制方法的自適應性，且只給出了仿真結果。

從球形機器人直線運動控制方法的研究現狀來看，大部分研究都采用了球形機器人直線運動的理想化或者經過線性化處理的動力學模型，以及適用于欠驅動系統的分層滑模控制器(hierarchical sliding mode controller,HSMC)，即使融入模糊或者自適應控制方法來應對無法通過傳感器或數學模型描述的不確定因素，依然面臨超調量過大、有限時間收斂性差以及抖振嚴重等情況，但由于球形機器人運動速度較低，所以對直線運動精度影響不明顯。面對高速運動狀態下的球形機器人，實際運動環境中的大量不確定因素以及控制算法在低速運動狀態下的缺陷對球形機器人精準穩定運動產生的影響會迅速放大，導致上述控制器很難實現預期的運動精度。

HSMC能夠對兩個不同輸出量同時實現控制，并且魯棒性強、克服外界干擾以及參數攝動能力強。基于上述優勢，針對高速運動狀態下球形機器人控制方法對響應與收斂速度、抖振與超調量控制方面的要求，通過引入前饋補償、積分項、分數階微積分以及自適應律，本文提出了一種分數階自適應分層積分滑模控制器(fractional adaptive hierarchical integral sliding mode controller,F-AIHSMC)，以獲得高系統響應與收斂速度、強魯棒性、對抖振能夠有效抑制的高精度運動控制，實現高速運動狀態下球形機器人精準穩定直線運動。

1 球形機器人直線運動的標準動力學模型

基于重擺式偏心力矩驅動機制的球形機器人示意圖如圖1所示。通過主框架上垂直安裝的長軸電機和短軸電機共同驅動，球形機器人能實現全方位運動。當球形機器人長軸電機或短軸電機單獨驅動時，球形機器人能沿著X軸方向或Y軸方向分別進行直線運動。

圖1 基于重擺式偏心力矩驅動機制的球形機器人示意圖Fig.1 The spherical robot driven by the eccentric torque driving mechanism based on weight pendulum

以沿X軸方向直線運動作為研究對象，球形機器人直線運動簡化模型如圖2所示，球形機器人在長軸電機理論輸出力矩τ的作用下在XOZ平面內沿X軸滾動。其中：球殼質量和轉動慣量分別為m1和I1；主框架質量和轉動慣量分別為m2和I2；重擺質量和轉動慣量分別為m3和I3；球殼半徑為R；重擺擺長為L；球殼相對初始位置滾過角度為θ；球心沿X軸方向的位移為x，且x=θR；重擺相對垂直方向擺起角度為φ；球形機器人總質量為M，且M=m1+m2+m3。

圖2 球形機器人直線運動的簡化模型Fig.2 Simplified model of linear motion of the spherical robot

基于拉格朗日法建立球形移動機器人直線運動的理想動力學模型為[15]

(1)

由式(1)所示的動力學模型，能夠得到球形機器人在直線運動時受到的非完整約束為

(2)

其中，

h2(φ)=m3RLcosφ-(m3L2+I2+I3)

針對球形機器人的大部分研究都基于如上所示的理想狀況下動力學模型展開。在實際應用中，球形機器人機構存在多種復雜摩擦問題以及外界擾動，摩擦與擾動產生的多項未知量使球形機器人的動力學模型復雜化，尤其是在高速運動狀態下，摩擦與擾動問題無法忽略。針對高速運動狀態下的球形機器人，本文建立了如式(3)所示的球形機器人標準動力學模型。

(3)

式中：τm為電機的輸出力矩；τf為運動過程中受到的摩擦項；τd為運動過程中受到的外界擾動。

根據擾動是否可控，將τd分為可控擾動τdv與不可控擾動τdu。同樣的，將τf分成線性τfx與非線性τfn兩部分。因此，標準動力學模型可寫為

(4)

高速運動狀態下可控擾動主要來自運動過程中地面對球殼的滾動摩阻力偶矩，其能夠嚴重影響球形機器人的精準運動。根據“滾動摩阻力偶矩定律”，球形機器人在滾動過程中受到的滾動摩阻力偶矩為[16]

(5)

式中：δ為滾動摩阻系數；FN為球形機器人對支撐面產生的正壓力，表達式如(6)所示。

(6)

高速運動狀態使球形機器人受到的摩擦更復雜。球形機器人高速直線運動過程中，重擺相對于球殼發生相對轉動，軸承的黏性阻尼導致轉動關節中產生的摩擦力矩是線性摩擦的主要來源，其大小與關節轉動速度成正比，方向與關節轉動方向相反，表達式為

(7)

式中，?為黏性摩擦因數。

令可控補償力矩表達式為

(8)

其中，

將不可控擾動τdu、非線性摩擦τfn等不確定因素用τi表示，則球形機器人的標準動力學模型可寫為

(9)

根據式(9)可知，在設計面向高速運動的球形機器人控制器時，需要綜合考慮以下3點重要因素：①與球形機器人自身相關參數；②高速運動過程中的可控因素；③高速運動過程中的不確定性因素。

用ξ(t,u(t))表示包含不可控的有界未知擾動以及非線性摩擦等不確定因素的不確定項。將直線運動的標準動力學模型轉換為式(10)所示的等式，進一步表示為式(11)所示兩個子系統的狀態空間表達式。

(10)

(11)

其中，

由于滾動過程中球形機器人受到滾動摩阻力偶矩的影響，滾動過程中的球形機器人處于動態平衡狀態時，重擺擺起平衡角的動態變化是設計系統控制器時不容忽視的問題，否則無法對球形機器人實現精準控制。根據文獻[17]中對重擺擺起平衡角的描述，平衡狀態下的擺起平衡角可用式(12)進行確定。

(12)

本文提出的控制方法目的是設計合理的電機輸出扭矩控制律，使高速運動狀態下的球形機器人運動軌跡x(t)和重擺的擺動位置φ(t)均能收斂到各自的期望值xd(t)和φd(t)，運動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)與重擺擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)盡可能小，以實現高速運動狀態下球形機器人精準直線運動。

2 分數階自適應分層積分滑模控制器

面對高速直線運動球形機器人的精準控制問題，基于式(10)所示的狀態空間表達式，通過引入前饋控制的思想，在理想狀態下的力矩τ作用于球形機器人系統的同時，將具有近似精確模型的影響因素τfc提前對高速運動控制系統進行補償，能夠降低系統遲滯給高速運動精準性帶來的影響，使球形機器人運動誤差降低，同時改善系統的動態特性。

2.1 第一層滑模面的構建

與SMC相比，積分滑模控制(integral sliding mode control,ISMC)通過引入積分項，以提高控制系統響應速度與魯棒性。針對球形機器人這種欠驅動系統控制問題中常用的HSMC方法，本文通過將ISMC與其進行融合，并且基于球形機器人的標準動力學模型，建立分層積分滑模控制器(integral hierarchical sliding mode controller,IHSMC)。

由于HSMC的總控制律需要將由第一層滑模面得出的滑動控制律包含在內，同時需要包含第二層滑模面的趨近控制律，以保證控制系統的漸進穩定以及第二層滑模面可達。因此，IHSMC的控制律如式(13)所示

u(t)=ue(t)+usw(t)

(13)

式中：ue(t)為滑動控制律，能夠通過系統的第一層滑模面求得；usw(t)為趨近控制律。

球形機器人兩個子系統的動力學方程均為二階非線性函數，因此本文將積分算子融入第一層滑模面中。考慮到積分項能夠加快系統響應，同時也能夠使系統響應的超調量增加，因此需要加入微分項來降低系統超調量。分別設計針對球殼位移和重擺擺角的第一層滑模面S1(t)和S2(t)，如式(14)所示[18]。

(14)

式中：k1>0；k2>0。

為了使球形機器人直線運動控制器具有高系統響應速度、有限時間快速收斂以及精確控制性能，將Riemann-Liouville分數階微積分融入IHSMC控制器第一層滑模面中，設計了F-AIHSMC的第一層滑模面[19]

(15)

令控制目標期望值qd=(xdφd)T。對式(15)求關于時間的二階微分，結合式(11)可得[19]

(16)

f1-ξ1]

f2-ξ2]

(17)

子系統中的不確定項ξ1和ξ2本質為具有物理邊界的未知函數。根據式(11)可知，不可控擾動能夠分別作用于兩個子系統，導致第一層滑模面中產生誤差。為了對第一層滑模面中的誤差進行有效約束，需要在子系統控制律中融合對不可控擾動的自適應反饋控制來抵消其影響，進而增強系統魯棒性。根據積分滑模控制原理，式(17)所示的每個子系統控制律uei只能使子系統到達第一層滑模面上。將穩定控制律uei-s作為反饋控制部分加入子系統控制律中，能夠從子系統層面提高球形機器人系統對外界擾動以及系統抖振現象的魯棒性。子系統控制律uei可更新為

f1-ξ1]+ue1-s(t)

f2-ξ2]+ue2-s(t)

(18)

本文選取如式(19)所示的穩定控制律表達式。

(19)

式中，μi和ηi為穩定增益參數。

基于式(18)與式(19)，可得子系統控制律為

(20)

理想情況下，當式(20)所示的穩定增益大于未知影響因素的上界時，控制器具有很強的魯棒性。但是實際應用時，只能通過將穩定增益參數設置到非常大來應對未知影響因素上界不明確的情況[20]。由于實際應用中穩定階段控制器具有不可避免的缺陷以及控制過程中存在延時，上述處理方法能夠導致控制系統發生異常震蕩，對球形機器人系統產生很大危害。面對分層滑模控制，子系統在控制過程中的缺陷最終會在系統總控制律部分發生疊加與耦合，如果在第二層滑模面再對其進行處理，會增大處理難度，最終導致球形機器人系統控制誤差加大。因此，針對子系統穩定控制律uei-s(t)的穩定增益參數μi和ηi，本文提出對其一階導進行自適應估計

(21)

因此，F-AIHSMC的自適應子系統控制律分別為

(22)

2.2 第二層滑模面的構建

構建第二層滑模面S(t)

(23)

式中：c1>0；c2>0。

基于式(22)所示的自適應子系統控制律，將式(23)對時間求一階微分，得到

(24)

為使第二層滑動變量S(t)快速收斂于零，本文使用如式(25)所示的指數趨近律設計F-AIHSMC。

(25)

式中，ε1，ε2均為大于0的常數。根據式(24)與式(25)，能夠求得趨近控制律usw(t)為

(26)

將其代入式(13)，可求得F-AIHSMC的控制律為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(27)

F-AIHSMC的結構示意圖如圖3所示。針對F-AIHSMC，我們能夠得出以下定理：

圖3 F-AIHSMC結構示意圖Fig.3 The structure of the F-AIHSMC

證明選取Lyapunov函數

根據式(21)可得V關于時間的一階導為

(28)

將式(27)代入式(28)得V關于時間的一階微分為

-ε1·S2-ε2|S|

(29)

因此，第二層滑模面S是漸進穩定的，在F-AIHSMC中，第一層滑模面同樣需要漸進穩定。

定理2假設球形機器人直線運動的期望運動軌跡在[0 +∞)內是連續的且有界的函數。對于具有式(9)所示動力學方程的球形機器人系統，在控制律式(27)的作用下，第一層滑模面S1與S2是漸近穩定的。

證明對式(29)進行積分，能夠得到

(30)

(31)

由式(29)可得，滑模面S是否穩定與ε1和ε2無關。因此假設如式(32)所示的兩個不同的滑模面SA與SB，參數cA1，cB1與c2均為正實數。

(32)

令SA(t)>SB(t)，可得

(33)

因此，S1漸進穩定。運用同樣的證明方法可得S2漸近穩定。定理2證明結束。

針對式(27)中提出的控制律，如果穩定增益參數增大，符號函數(sign)能夠導致系統抖振增大。因此，為了避免該情況發生，將F-AIHSMC控制律修改為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(34)

F-AIHSMC的自適應子系統控制律修改為

(35)

其中，

3 實驗研究

為了驗證F-AIHSMC對高速直線運動狀態下球形機器人精準控制的有效性，以BYQ-GS型球形機器人為實驗平臺，運用F-AIHSMC進行高速直線運動控制實驗，并且運用傳統的HSMC與Yue等研究中提出的AHSMC進行相同的高速直線運動控制作為對比實驗。

3.1 實驗對象

BYQ-GS球形機器人的三維模型與實物如圖4所示，性能參數如表1所示。與傳統球形機器人相比，BYQ-GS球形機器人面向高速運動任務需求，基于輕量化設計原則，將玻璃纖維增強聚合物材質球殼與基于3D打印的光敏樹脂材質框架相結合，內部結構經過拓撲優化設計，將重擺與電源系統進行功能性融合，在總體質量大幅降低的前提下，能夠保證重擺質量相對總體質量的高占比，因此可以使球形機器人實現高速靈活運動。通過采用帶有絕對編碼器的直流無刷電機、Xsens MTi-300慣性航姿測量系統、Trimble BD992-INS多星多頻高精度定位測向板卡相結合的方式，BYQ-GS球形機器人能夠實現對運動過程的控制與測量。

1.重擺；2.主框架；3.慣性航姿測量系統；4.長軸電機；5.短軸電機；6.主控制板；7.高精度定位測向板卡。圖4 BYQ-GS型高速運動球形機器人的三維模型與實物圖Fig.4 The 3D model and physical prototype of the BYQ-GS spherical robot

表1 BYQ-GS型高速運動球形機器人性能參數Tab.1 Performance parameters of BYQ-GS spherical robot

實驗場地示意圖如圖5所示。實驗場地45 m處設置15°雙向短坡道，47 m處設置2 m長、30 mm厚海綿軌道，52 m處設置15°單向短坡道，以對實際工況中由于多種路面狀況引起的復雜擾動進行模擬。

圖5 實驗場地示意圖Fig.5 Schematic diagram of experimental field

3.2 F-AIHSMC最優參數確定

為了確定F-AIHSMC的最優參數，本文基于BYQ-GS球形機器人對F-AIHSMC開展仿真研究。在不考慮分數階微積分的情況下，即式(15)中的α為1，使用軟件Matlab中的全局優化工具箱(global optimization toolbox)通過模式搜索對控制參數(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)以及自適應律參數(ρ1,ρ2,κ1,κ2)最優值進行確定，可得對F-AIHSMC收斂速度以及控制性能最優的參數選擇為

(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)=(0.697,2.187,5.896,3.434,10.103,0.117)
(ρ1,ρ2,κ1,κ2)=(17.3,21.8,12.2,14.9)

基于上述最優值，使用軟件Matlab中的分數階建模和控制工具箱(FOMCON)，通過試差法對分數階微積分的α參數進行調整，可得分數階微積分的α參數的最優值為α=0.65。

對分數階微積分進行離散化是分數階在實驗中的主要實現方法。本文運用了文獻[22]中提出的Al-Alaoui+CFE離散化方法，在計算過程中將分數階算子離散化為式(36)所示的近似形式。

(36)

式中：T為采樣周期；CFE{u}為連分式展開；Pp(·)和Qq(·)為變量s-1的互質多項式，通常設定Pp(·)的階次P與Qq(·)的階次Q均等于迭代次數n。

迭代次數越多，計算越復雜。在實驗中，我們選取迭代次數n=3。參考徐智超研究中表3-2，當n=3時，選取如式(37)所示的表達式。

Pp(s-1)=(-288α2+27)s-3+(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2+2 520αs-2-

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

Qq(s-1)=(-288α2+27)s-3-(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2-2 520αs-2+

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

(37)

3.3 實驗過程和結果

針對不同的期望狀態，本文設置了3組實驗，在每組實驗中，分別將三種不同的控制方法作用于BYQ-GS球形機器人的高速直線運動，作為每組實驗的3個子實驗。為了保證實驗數據的可靠，同時更直觀的對實驗結果進行對比，在子實驗過程中，我們都重復進行10次并取其數據的平均值，再運用Savizkg-Golag平滑算法(30點2次)對數據進行預處理，作為該次子實驗的最終實驗數據。基于所得實驗數據，我們對本文提出的F-AIHSMC、Yue等中提出的AHSMC以及傳統的HSMC的控制效果進行對比。本文將每組實驗中BYQ-GS球形機器人初次收斂到期望狀態的控制過程定義為初始控制階段，受到擾動后收斂到期望狀態的控制過程定義為擾動控制階段。

本文運用了收斂時間tr、運動位置誤差的最大絕對值emax以及位置誤差的均方根誤差(RMSE)值三項指標，對BYQ-GS球形機器人在三種控制器下的直線運動控制效果進行清晰的展示。實驗場景如圖6所示。

1.擾動模擬區域；2.初始狀態；3.BYQ-GS通過雙向短坡道；4.BYQ-GS通過海綿軌道；5.BYQ-GS通過單向短坡道。圖6 實驗場景圖Fig.6 The experimental scene

實驗1球形機器人初始狀態為(x0,φ0)=(0,0)，設期望狀態為(xd,φd)=(3t,τr/m3gL)。圖7為球形機器人運動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機器人速度變化圖。

圖7 實驗1的子實驗相關數據變化對比圖Fig.7 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 1

定義實驗1的初始控制階段為0～10 s，擾動控制階段為10～20 s。BYQ-GS球形機器人在三種控制器下的直線運動控制效果如表2所示。

表2 實驗1中球形機器人在三種控制器作用下直線運動效果Tab.2 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 1

實驗2球形機器人初始狀態為(x0,φ0)=(0,0)，設期望狀態為(xd,φd)=(3.5t,τr/m3gL)。圖8為球形機器人運動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機器人速度變化圖。

圖8 實驗2的子實驗相關數據變化對比圖Fig.8 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 2

定義實驗2的初始控制階段為0～12 s，擾動控制階段為12～20 s。在三種控制器作用下的BYQ-GS球形機器人直線運動控制效果如表3所示。

表3 實驗2中球形機器人在三種控制器作用下直線運動效果Tab.3 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 2

實驗3球形機器人初始狀態為(x0,φ0)=(0,0)，設期望狀態為(xd,φd)=(4t,τr/m3gL)。圖9為球形機器人運動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機器人速度變化圖。

圖9 實驗3的子實驗相關數據變化對比圖Fig.9 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 3

實驗3中運用HSMC進行球形機器人直線運動控制時，在遇到擾動1前BYQ-GS球形機器人未能初次收斂到期望狀態，因此以到達擾動1的期望時間為兩個階段分界點，即定義實驗3初始控制階段為0～11.25 s，擾動控制階段為11.25～20 s。球形機器人在三種控制器下的直線運動控制效果如表4所示。

表4 實驗3中球形機器人在三種控制器作用下直線運動效果Tab.4 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 3

3.4 實驗結果分析

基于上述實驗數據，運用綜合定量評價法對F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個控制階段的綜合控制效果分別展開對比。實驗指標分為三種類型：tr，emax，eRMSE，總共涉及到五個指標：tr，ex-max，ex-RMSE，eφ-max，eφ-RMSE，因此綜合定量評價公式為

(38)

其中：c為指標的權重系數，每個指標權重系數均為c=0.2；(vi)a為指定控制器(AHSMC或HSMC)第i個指標值；(vi)b為F-AIHSMC第i個指標值。

由于初始控制階段部分控制方法未收斂，此時

在擾動控制階段，由于存在三個擾動，因此擾動控制階段的tr又可劃分為tr-1，tr-2，tr-3，此時

同理，在擾動控制階段，部分控制方法在面對第i個擾動時未收斂，此時

根據式(38)可得F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個控制階段控制效果的綜合對比。對比結果如表5所示。

表5 F-AIHSMC與其余兩種控制方法的控制效果對比結果Tab.5 Comprehensive comparison of F-AIHSMC and the other two control methods %

根據三組實驗數據以及綜合控制效果對比結果，F-AIHSMC的tr,emax以及eRMSE三項指標均為最優。在三組實驗的初始控制階段，F-AIHSMC與AHSMC均能收斂，但運行速度的期望值為4 m/s時，HSMC未能實現收斂。在三組實驗的擾動控制階段，當BYQ-GS球形機器人面對3個固定位置的擾動時，F-AIHSMC均能實現迅速收斂；在第二組與第三組實驗中，即期望運行速度達到3.5 m/s以上時，AHSMC無法實現對3個擾動的同時收斂；HSMC在三組實驗中均無法實現對3個擾動的同時收斂。通過對三組實驗的tr進行對比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F-AIHSMC在加快系統響應速度和收斂速度方面具有明顯優勢。通過對三組實驗的ex-max與eφ-max進行對比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F-AIHSMC在減小系統超調量方面具有明顯優勢；通過對三組實驗的ex-RMSE與eφ-RMSE進行對比，結合三組實驗中基于不同控制方法的球形機器人運行速度變化趨勢可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F-AIHSMC在增強系統穩定性方面具有明顯優勢；通過對三組實驗的擾動控制階段收斂情況進行對比可以得出，在面對未知擾動時，與AHSMC以及HSMC相比，F-AIHSMC能夠使系統具有更強的魯棒性。因此，與AHSMC以及HSMC相比，F-AIHSMC的控制效果最好，且隨著期望運行速度從3 m/s提升至4 m/s，F-AIHSMC的控制優勢越來越明顯。

圖10 三種控制方法的總滑模面變化對比圖Fig.10 Comparison of the total sliding surface change of the three control methods

4 結 論

本文以球形機器人高速直線運動問題作為研究對象，通過理論與實驗相結合的方式，開展面向球形機器人高速直線運動自適應控制方法的研究：通過建立適用于高速直線運動狀態下的標準動力學模型，并且基于該模型，將前饋控制、積分項與分數階微積分以及自適應控制融入傳統的分層滑模控制方法中，提出了一種分數階自適應分層積分滑模控制器F-AIHSMC，并且基于BYQ-GS球形機器人對F-AIHSMC進行了直線運動控制實驗。結果表明，在球形機器人高速運動狀態下，與傳統的HSMC以及具有自適應功能的AHSMC相比，該方法實現了高系統響應速度與收斂速度，并且具有更好的穩定性和魯棒性。

系統的不確定性以及外部環境的未知擾動能夠對球形機器人的精準運動產生影響，并且與低速運動狀態相比，該影響在高速運動狀態下會成倍增加，這是導致球形機器人在高速運動狀態下運動精度降低的重要原因。通過對球形機器人高速直線運動控制方法的研究，使球形機器人實現了高速精準的直線運動，為開展球形機器人高速精準的全方位控制研究打下了堅實的基礎，該研究對球形機器人的應用推廣方面有重要的指導意義和促進作用。