基于模糊評價樹的中藥材定級估價模型

雷立, 魚先鋒

(1.商洛職業技術學院 公共基礎部， 陜西 商洛 726000； 2.商洛學院 數學與計算機應用學院， 陜西 商洛 726000)

0 引言

中藥材質量標準是中藥材產、供、銷、儲、用和監督管理過程中的基本準則和法定依據[1]. 由最早記載的《神農本草經》和《雷公炮制論》，到《本草綱目》，新中國成立后，1959 年頒布了《36 種藥材商品規格標準》、1964 年頒布了《54種藥材商規格標準》、1984 年部頒布《七十六種藥材商品規格標準》，再到2015年的《中國藥典》. 經過不斷的研究和完善，為中藥材能安全有效的使用奠定了基礎[2]. 中藥材安全有效與臨床療效相統一是中藥材質量標準化的前提，而標準和法規的一致性也有利于中藥材的國際化發展[3]. 因此，根據國際市場需求和現有基礎，建立合理有效的中藥材質量評價方法，形成適應中藥材特點的現代化中藥材質量標準顯得尤為重要. 總體來看，中藥材商品規格等級標準研究工作相對緩慢，還處于摸索探究階段，缺少科學的研究模式. 就文獻報道，現已制定的中藥材商品規格等級標準只有川芎[4]、陽春砂[5]、厚樸[6]、金銀花[7]、大黃[8]、太子參[9]6 個品種，而其他中藥材均未形成適應當前產地和市場需求的規格等級標準, 且這些標準都是文件形式的并沒有實現中藥材定級估價的智能化、自動化。

中藥材外觀大小、色澤、質地等 感官特征對評價藥材優劣是最直觀和重要的。尤其是在制定商品規格等級標準中，傳統的感官評價方法大多是主觀描述性指標，這種指標準確性相對較差、經驗傳承困難、評判結 果重現性差，而量化指標對于市場商品藥材流通來說，直觀、 方便、具體，又易于理解。感官評價包括定性與定量信息，化學評價一般是定量信息。因此，感官評價與化學評價相結合是當前中藥材商品規格等級標準研究的重點。

模糊集[10]理論和直覺模糊集理論[11]，是結合定量與定性信息的一種強大建模工具。筆者將其應用在模糊評價評價、模糊控制等領域已經取得眾多的理論和應用成果[12-20]。文章將基于模糊理論建立了一個模糊評價樹模型； 用節點刻畫評價指標記錄評價數據，用樹上的邊記錄評價權重；并在節點和邊上定義合理的模糊評價算子，進行多級綜合評價對中藥材定級估價。評價過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高； 評價結果科學合理且信息量大。討論了該模型的計算復雜度。

1 模糊評價樹模型

先介紹模糊數學和模糊評價的幾個基本概念。

定義1：模糊集[20]

集合X上的模糊集合(Fuzzy set)是一個映射A:X→[0,1], 也稱為模糊集合X的隸屬函數, 常記為μA，?x∈X,μA(x)稱為x屬于模糊集A的隸屬度。

定義2:模糊權重[14]

定義3:模糊評價算子

設在某一級模糊評價中有n個評價指標，評價數據是模糊向量R=(r1,r2,…rn)，?ri∈R,ri∈[0,1]為評價對象對第i個指標的隸屬度；對應模糊權重為模糊向量W=(w1,w2,…,wn)，?wi∈W,wi∈[0,1]，則評價函數定義，如式(1)。

(1)

現在約定一些符號。若綜合評價有m級，m∈N，評價等級標號之集(Grade Order Set)記為GOS={1,2,…,m}。實際上?i∈GOS將用來表示評價樹中的節點在樹中的層數。在某一級模糊評價中有n個評價指標，n∈N+，評價指標標號之集(Index Order Set)記為IOS={1,2,…,n}。

定義4:模糊定級估價樹

模糊定級估價樹模型( Fuzzy grading evaluation tree model) FGET是一個4元組,如式(2)。

FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)

(2)

式中,ODN表示葉子節點之集，記錄初級評價數據，EGN為中間內部節點記錄評價數據，EPN為根節點，記錄估價結果。E為邊集，刻畫模糊評價函數。模糊定級估價樹的框架示意圖，如圖1所示。

圖1 模糊評價樹框架示意圖

在圖1中用圓圈表示葉子結點ODN，用矩形表示內部節點EGN，用圓矩形表示根節點EPN,用箭頭代表邊集E。

FGET中各種節點和邊具體定義如下。

定義5：葉子節點

葉子結點(Original Date Node )是一個3元組ODN=(GC,OD,EO)，其中:

(1) GC=(c1,c2,…,cn)為n個評價指標的標簽或特征值；

(2) OD=(o1,o2,…,on)為n個評價指標的原始數據；

(3) 模糊函數EO:GC→[0,1]OD將每一個指標ci的原始評價數據oi模糊化得到葉子層評價數據eoi∈EO∈ODN。

定義6：內部節點

內部節點為中間評價節點(Evaluation Node for Grade)是一個3元組EGN=(EGNC,WG,GC,EG)遞歸定義如下。

(1) 記EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節點；則EGNC[i]為EGN[i]的子節點之集遞歸定義,如式(3)。

EGNC[i]={EGN[i+1][j]|j∈IOS}

(3)

其中,EGN[i+1][j]表示EGN[i]的第j個孩子節點。

(2) WG=(w1,w2,…wn)為n個評價指標的權重，?wj∈W,wj∈[0,1]，表示第EGN[i+1][j]個指標對評價結果的權重；

(4) GC=(c1,c2,…cn)為n個評價指標的標簽或特征值，?cj∈GC表示第EGN[i+1][j]個指標的標簽或特征值；

(3) 評價函數EG為模糊映射,如式(4)。

EG:WG×EGNCT→[0,1]GC

(4)

即EG(EGN[i])=WG·EGNC[i]T這里“·”為定義3定義的模糊評價算子。

這里是一個EGNC[i]T是n×m的模糊評價矩陣，對應于指標EGN[i]的n個子節點也就是n個子指標，每個桌子指標劃分|GC|=m個評價等級。EG(EGN[i])是一個|GC|=m維的模糊向量，為i-1級評價數據滿足正規性，一般要將EG(EGN[i])做歸一化處理，如式(5)。

EG(EGN[i])[m]/si)

(5)

定義7:定級節點

一級評價節點有且只有一個，即EGN[1]，該節點刻畫多級評價的最終值。

例1.一級節點在中藥材評價中將表示被評價藥材融合多種信息的終級等級或評價得分。

定義8:根節點

根節點為估價節點(Evaluation Node for Price )是一個2元組EPN=(EGN[1],EP)其中，EGN[1]為定級節點，映射EP:EGN[1]×GC[1]→R+為估價函數。一般的計算品級與其評價值的加權平均，如式(6)。

EP(EPN)=EGN[1]·GC[1]T=

(6)

定義9:評價函數

評價函數集,E={EO,EG,EP}是模糊化函數EO、模糊評價函數EG和估價函數EP的集合。

以下定義10和定義11是為了自然的參照經典樹理論的術語描述FGET的性質。經典樹理論的其他概念像滿k叉樹，完全k叉樹等概念也可以很容易拓展到FGET，而本文不會用到這些概念所以這里不再累述。

定義10:樹高, 層高

設FGET是一個模糊定級估價樹，將要做被評價對象的m級評價。定義根節點EPN所處為層數為0，記為hight(EPN)=0; 定級節點EGN[1]所處層數1，記為，hight(EGN[1])=1; ?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節點則稱EGN[i]所處的層數為i，記為hight(EGN[i])=i。 并定義FGET的高度hight(FGET)=m。

定義11:樹杈，子樹

設FGET是一個模糊定級估價樹，?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節點，則稱以EGN[i]為根節點的樹記為ST(EGN[i])為FGET的一顆子樹。其葉子節點之集為EGNC[i]，若|EGNC[i]|=k∈N+則稱EGN[i]節點分了k叉。進一步，若在FGET中FGET有|EGNC[i]|≤n∈N+，則稱FGET為一棵n叉樹。

定理12:FGET的規模

設,FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則有如下:

(1) |EPN|=1,|EGN[1]|=1;

(2) |ODN|≤nm-1;

(3) |EGN|≤(nm-1-1)/(n-1);

(4) |E|=|EPN|+|EGN|+|ODN|-1≤(nm-1)/(n-1), 邊數比節點數少1。

證明：用數學歸納法在FGET上按層歸納得到各層節點數是關于層數的等比數列，公比為n，再用等比數列求和公式很容易證得定理1中的結論。

定理13:空間復雜度

設，FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則FGET的節點數為，|ODN|+|EGN|+|EPN|邊數為|E|； FGET的空間復雜度為O(nm-1)。

證明：將定理12的結果定理13是顯然的。

定理14:時間復雜度

設,FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則用FGET做定級估價需要做|E|+|ODN|+|EGN|次運算，FGET的時間復雜度為O(nm)。

定理15:需要指出的是雖然FGET的計算復雜度形式上為樹杈數n關于樹高m的指數形式O(nm)。但慶幸的是現實中樹高m也就是評價等級一般比較小，m≤4，最多數情況是m=3或m=2；所以用FGET做定級估價是高效的，不會出現狀態爆炸。

2 評價實例

參照《七十六種藥材商品規格標準》，和《中國藥典》結合中藥材貿易多名專業人士和知名中醫專家的經驗，依據特爾斐法建立了表1所示的一個天麻評價定級的3級評價指標體系并給出相應指標權重。并根據10位專家對一批天麻的評價數據，如表1所示。

表1 天麻評價定級指標體系與權重

見表1后面三列評價等級得票數，用FGET做定級估價。需要指出的是表中空白的地方是因為這一級指標缺失，比如“形狀”是2級指標，沒有分解的3級指標；對應到FGET上沒有3級分叉。下面用用FGET做次批天麻定級估價。

(1) 葉子節點計算

每一個3級指標對應3個葉子節點，若沒有3級指標則每一個2級指標對應3個葉子結點。1組3個葉子結點對應1, 2, 3個等級。例如3級指標“長度”(GND[長度])對應3個葉子GNDC[長度]={GNDC[長度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[長度])=0/1+0.4/2+0.6/3

類似地有:

GNDC[厚度]={GNDC[厚度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[厚度])=0/1+0.7/2+0.7/3

GNDC[寬度]={GNDC[寬度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[寬度])=0/1+0.4/2+0.6/3

GNDC[個重]={GNDC[個重][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[個重])=0/1+0.2/2+0.8/3

他葉子結點如法炮制，不再累述。

(2) 內部節點計算

由“長度”“寬度”“厚度”“個重”4個3級指標模糊合成其對應的2級指標“大小”。權重為，WG[大小]=(0.223 1,0.247 0,0.231 1,0.298 8)，2級指標“大小”的評價矩陣如下。

“大小”的評價計算如下。

EG(WG[大小],EGNC[大小]T)=

(0.0,0.35,0.65)。

此結果反映了在評鑒專家們認為，這一批天麻0.35%的可能為“二等品”，0.65%的可能為“三等品”。

類似的可以求得，

EG(WG[表面特征],EGNC[表面特征]T)=

EG(WG[感官],EGNC[感官]T)=

(0.133 40.237 50.165 60.143 80.203 10.115 6)·

此評價結果說明專家認為這批天麻“感官”6%的可能為“一等品”，33%的可能為“二等品”，61%的可能為“三等品”。

這是一級評價結果說明專家認為這批天麻”4%的可能為“一等品”，26%的可能為“二等品”，70%的可能為“三等品”。

(3) 根節點計算

在商洛市市場調研后給出的不同品級天麻收購價格，現在計算根節點,如表2所示。

表2 商洛市2020年1月天麻價格

估價結果，EP(EPN)=106.8∈[100,110]?[95,115]，說明這批天麻的理論收購價格為106.8(元/kg)，建議可以在圍繞在這以價格的一個價格區間比如100～110或95～115(元/kg)；收購這一批天麻。

3 總結

基于模糊數學理論建立了一個用于中藥材定級估價的模糊評價樹模型(定義4-定義9)； 用節點刻畫評價指標記錄評價數據(定義5-定義8)，用樹上的邊記錄評價權重；并在節點和邊上定義合理的模糊評價算子(定義3, 定義9)。討論了該模型的計算復雜度(定理12-定理14)。給出了中藥材—天麻定級估價的一個實例，結果表明該評價模型客觀高效。

建立的FGET模型評價過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高；評價結果科學合理且信息量大。不同評價指標建立的不同指標體系框架，都可以靈活高效的形式化為一個FGET，這以模型為實現中藥材定級估價的自動化提供了重要的原型支撐。筆者后續研究工作將考慮將FGET的框架用于其他中藥材定級估價建模。考慮在FGET的評價算子中添加其他一些模糊計算和模糊控制算子，使得擴充后的FGET模型可以用來做模糊智能決策和控制，比如用于中醫對患者病情的智能診斷等。