T型三撐桿索穹頂預應力計算方法與參數分析

張愛林， 武超群， 張艷霞

(1.北京建筑大學 土木與交通工程學院，北京 100044；2.北京建筑大學 北京未來城市設計高精尖創新中心，北京 100044)

索穹頂結構基于美國建筑大師FULLER[1]在20世紀40年代提出的張拉整體體系，他設想在結構中盡可能地減少受壓構件，從而使結構處于連續的張拉狀態和間斷的受壓狀態，使“壓力成為拉力海洋中的孤島”。國內外學者提出多種索穹頂構造[2-5]，構造形式多為單一圖形的復制。索穹頂結構網格劃分均勻，但傳力路徑復雜，對索穹頂結構索、桿初始預應力的分析缺少考慮三維方向的理論計算公式[6-8]，還存在缺少對索穹頂結構工程應用考慮的問題。

我國索穹頂結構研究起步雖晚，但近年來，在國家政策的大力倡導下，索穹頂結構研究在國內備受關注，我國學者先后提出Kiewitt型索穹頂、鳥巢型索穹頂和蜂窩四撐桿型索穹頂等[9-10]新型索穹頂結構體系，并提出確定初始預應力分布的簡捷計算方法。在工程實踐應用方面進行了諸多實踐探索及施工技術[11]的創新，2009年成功建造第一座自主設計和施工的24 m跨度的無錫科技交流中心索穹頂，之后中國煤炭交易中心索穹頂和內蒙古伊金霍洛旗體育中心索穹頂相繼竣工，標志著我國索穹頂研究計算理論和實際工程結合的飛速進步。因此，對索穹頂結構的創新研究及性能研究是現代大跨度空間鋼結構領域的重要課題，既符合學科前沿發展趨勢，也符合國家重大工程需求，具有廣泛的應用前景。

基于目前索穹頂結構存在的構造形式單一、環向剛度較差等問題，對索穹頂結構形式改變及環向剛度提升進行創新研究。

1 T型三撐桿索穹頂結構形態分析及構造特點

提出一種新型索穹頂結構——T型三撐桿索穹頂，如圖1所示。T型三撐桿索穹頂結構由環索、脊索、斜索、撐桿及剛性環梁組成。與傳統Geiger型、Levy型索穹頂相比，T型三撐桿索穹頂將豎直的撐桿變為三根斜向撐桿，由三根斜撐桿組成的四面體單元重心靠近索穹頂內側，由索穹頂中心到外圈布置三撐桿單元，增加了結構穩定性。內圈三撐桿單元緊密相連，在環向上形成撐桿環，外圈三撐桿布置在內圈2個三撐桿單元相連方向，外圈三撐桿單元由交錯的雙撐桿單元相連，且與內圈由多根脊索相連，提高了結構的環向剛度和徑向剛度，增加結構抵抗非均布荷載的能力。圖1(b)中可見，該結構網格劃分均勻，可劃分為6個單元，結構整體性好。相較于傳統的索穹頂結構，T型三撐桿索穹頂撐桿環向連接緊密，結構環向剛度大，結構網格劃分均勻，施工難度小。該結構避免了Geiger型索穹頂環向剛度不足的情況，同時也避免了Levy型索穹頂由于結構構件數量多、施工張拉難度大、節點設計困難的問題。

注：1.撐桿；2.脊索；3.斜索；4.環索；5.剛性環梁

2 T型三撐桿索穹頂預應力分析

2.1 計算單元選取

T型三撐桿索穹頂結構為沿30°角的對稱結構，即沿平面圖中內圈脊索的延長線對稱，取1/6結構單元進行分析，如圖2(a)所示，其沿內圈脊索角平分線對稱，對稱面兩側索桿布置相同預應力以及外荷載，因此僅需研究其1/6結構的半榀即可，取1/12結構作為計算單元，如圖2(b)所示。索穹頂結構外圍設置有足夠大剛度的剛性環梁，其與索穹頂的連接可按固定鉸支座考慮，結構計算簡圖如圖2(c)所示。

圖2 1/12計算單元簡圖

T型三撐桿索穹頂結構平面與剖面計算簡圖如圖3所示，圖中各參數含義為：Ci、Ji(Ji′)、Xi(Xi′)、Hi分別為撐桿、脊索、斜索和環索內力，i(i′)為節點編號，αi為脊索與水平面的夾角，βi為斜索與水平面的夾角，ξi為經過交點的撐桿與水平面形成的夾角，ψi,i-1為由節點i與節點i-1形成的撐桿或索與對稱軸線的夾角，hi和hi′為節點i和節點i′所在的水平面相對于節點i+1所在的水平面的高度差，Gi為索、桿自重(其值為與節點相連所有構件及節點自重的1/2)。

2.2 初始預應力計算公式推導

根據圖3所示的幾何關系，可求得各索、桿與水平面的夾角，以及與對稱軸線之間的夾角等。以索穹頂中心撐桿的實際內力C0為基準，利用節點平衡法(其中按照壓力方向計算，所有的力均為正值)推導0、0′節點對應的各索、桿的內力，見式(1)和式(2)：

圖3 T型三撐桿索穹頂結構平面與剖面計算簡圖

節點0：

6J0sinα0+6X0sinξ0=C0-G0

(1)

節點0′：

6X0′sinβ0=C0+G0′

(2)

由于在節點0、0′處1個節點均最多有2個未知力，可運用節點平衡法求解，斜索X0由式(9)求得，但在節點存在多個未知力，鉸接于節點1的構件有2根撐桿、3根脊索、1根斜索，共6個構件，之前節點平衡求得脊索J0、斜索X0′，已知節點自重G1，剩余4個未知量無法直接求解，屬于超靜定問題。結合求解平面超靜定剛架內力的方法，采用結構力學位移法進行索、桿預應力求解，以節點位移作為基本未知量，通過位移方程和已知外力，求出節點位移，進而推出索、桿內力。

(3)

式中：kxx、kyy、kzz分別為分析單元在x、y、z方向上產生單位位移時索需要的力；kx(y,z)、ky(x,z)、kz(x,y)分別為當一個方向產生位移時，對另外一個方向的影響；Δ1x、Δ1y、Δ1z為已知索、桿在沿x、y、z軸方向上的單位位移；F1x、F1y、F1z為已知索、桿預應力沿軸、軸、z軸上的分力，求解見式(4)(其中斜索X4′由節點4’求得，此處視為已知力)。式(3)僅適用于對稱結構受均布荷載。

(4)

由于結構在成形后剛度足夠大，節點1在外力作用下產生的節點位移較小，可忽略當x(y,z)方向產生位移時對y(x,z)、z(x,y)的影響，即kx(y,z)=ky(x,z)=kz(x,y)=0。式(5)為索、桿剛度，式(6)為單元剛度。

(5)

(6)

將式(4)～(6)代入式(3)可得節點1的沿x軸、y軸、z軸的位移，見式(7)。

(7)

則索、桿的實際內力為式(8)。

(8)

在節點1′處，有2根撐桿、3根斜索、1圈環索與節點1′相連，已知節點自重G1′和撐桿C1，因環索H1為水平力且二力平衡，則利用節點平衡法即可求得斜索X0、斜索X1內力，見式(9)：

(9)

節點2′同理，可由z軸方向的節點平衡求得，則利用節點平衡法即可求得斜索X2、環索H1內力，見式(10)：

(10)

節點2屬于超靜定問題，需采用位移法求得各索、桿內力，見式(11)～(15)：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

節點可利用節點平衡法求得撐桿C5、脊索J3內力，見式(16)：

(16)

節點3′同理，斜索X3可由z軸方向的節點平衡求得，則利用節點平衡法即可求得斜索X3、環索H2內力，見式(17)：

(17)

節點4′可利用節點平衡法即可求得斜索X4、斜索X5、斜索X4′內力，見式(18)：

(18)

通過以上各公式即可求出T型三撐桿索穹頂中的所有索、桿內力。

3 影響初始預應力的參數分析

3.1 矢跨比的影響

理想預應力下與實際預應力下索穹頂索、桿預應力變化趨勢一致，僅考慮理想預應力，采用控制變量法改變索穹頂結構撐桿高度、矢跨比，分析索穹頂初始預應力變化情況。

T型三撐桿索穹頂結構簡化半榀平面桁架如圖4所示。撐桿下節點在水平面的投影分別在脊索水平面投影的1/3和2/3處且交替布置，各環索在水平面投影的間距相等均為Δ，為簡化計算令hα=hβ。由幾何關系可求得αi，βi，ξi等，具體計算見式(19)，改變矢跨比，取f/L0值為1/20、2/25、1/10、3/20，對撐桿C0施加單位內力，賦值為6，將式(19)帶入式(1)～(18)可得到各索、桿內力，求得初始預應力的計算結果見表1。

圖4 結構簡化半榀平面桁架簡圖

(19)

3.2 撐桿高度的影響

固定結構矢跨比為1/10，研究撐桿高度對索穹頂結構內力分布的影響。保持脊索在x0y平面投影依然為Δ，其他幾何參數與不同矢跨比下參數保持一致。hα已由式(19)求出，則撐桿高度由hβ控制。分別取hβ=Δtan 10°、hβ=Δtan 15°、hβ=Δtan 20°，對撐桿C0施加的單位內力賦值為6，由式(1)～(18)可得各索、桿預應力分布情況，其計算結果見表2。

對比表1、表2可知，在一定范圍內，矢跨比越大，索、桿初始預應力越小；撐桿高度越大，索、桿初始預應力越小，即T型三撐桿索穹頂索、桿初始預應力與矢跨比、撐桿高度均成反比，并且內圈桿件初始預應力變化幅度小于外圈。通過計算推導可知，在理想狀態下(不考慮自重)，當hβ>tan 20°或f/L0>3/20時，部分構件會出現失效，則T型三撐桿索穹頂結構適宜矢跨比為1/20～3/20，適宜撐桿高度為斜索角度tan10°～tan20°時的取值。

表1 不同矢跨比下T型三撐桿索穹頂初始預應力

表2 不同撐桿高度下T型三撐桿索穹頂初始預應力(hβ)

4 結 論

本文針對傳統索穹頂構造形式缺乏創新及受力性能中環向剛度弱的問題，提出一種T型三撐桿索穹頂。對于新型索穹頂索、桿初始預應力計算缺乏考慮三維方向的推導計算公式，基于結構力學求解超靜定問題的方法，提出一種索穹頂索、桿初始預應力計算方法，并通過控制變量法研究矢跨比、撐桿高度對T型三撐桿索穹頂初始預應力的影響。其結果表明：

1)T型三撐桿索穹頂由索穹頂中心到外圈共布置2層三撐桿單元，增加了結構穩定性。內圈三撐桿形成的單元緊密相連，在環向上形成撐桿環，外圈三撐桿單元與雙撐桿單元交錯相連，且與內圈由多根脊索相連，提高了結構的環向剛度，增加了結構抵抗非均布荷載的能力。T型三撐桿索穹頂結構有效改善索穹頂構造形式單一的問題，并且具有較高的承載能力。

2)提出索穹頂索、桿初始預應力計算方法，考慮三維方向，將索、桿投影到x0y平面、y0z平面、x0z平面，結合求解平面超靜定剛架內力的方法，采用位移法進行索、桿預應力求解，以節點位移作為基本未知量，通過位移方程和已知外力，求出節點位移，進而計算得到索、桿內力。

3)矢跨比及撐桿高度對于T型三撐桿索穹頂索、桿初始預應力的影響均為負向，即增大矢跨比或增加撐桿高度，都會使索、桿初始預應力減小，并且內圈索、桿初始預應力變化幅度小于外圈。T型三撐桿索穹頂結構適宜矢跨比為1/20～3/20，適宜撐桿高度為斜索角度tan10°～tan20°時的取值。