結構力學中位移法的探討

楊小鈺

（山西工商學院，山西 太原 030062）

位移法是除力法外計算超靜定結構的又一種基本的、有效的計算方法。在結構力學位移計算的兩種方法中，一種是利用基本體系建立典型方程，它是以力法為基礎，以獨立結點位移為基本未知量的結構計算方法；一種是直接利用桿端力平衡條件建立位移法基本方程，這種方法同樣是以結構獨立結點位移相應的平衡條件建立位移法方程，以結點角位移為基本未知量建立結點力矩平衡方程，以結點線位移建立截面的投影平衡方程。位移法平衡方程和位移法典型方程既有相同點也有不同點，這二者本質上是相同的，前者便于理解和手算，后者便于與力法及以計算機計算為基礎的矩陣位移法對比，從而加深對內容的理解。在學習時，要了解它們的共性，還要掌握它們的不同。這樣才能有效地提高學習效率，更透徹地把握兩種方法的計算步驟和基本原理。

1 位移法典型方程和平衡方程的探討

在課本中，位移法是在力法之后學習。通過對力法的了解，學生對超靜定結構的原理和解題方法有了初步的認識，即超靜定結構的內力計算僅由平衡條件不能完全確定，還必須考慮變形協調條件建立補充方程才能求出。在已具備力法相關知識的基礎上學習位移法基本原理時，可以通過與力法基本思路對比進行學習。

下面通過一個具體的示例說明位移法典型方程（如圖1），該結構含有兩個基本未知量：結點B 的轉角Z1和結點C 的水平位移Z2。

圖1

位移法典型方程的基本體系如上圖所示，該剛架的基本體系是在結構剛結點B 處加控制結點B 轉動但不控制其移動的約束，稱為附加剛臂，在結點C 處加水平支桿控制結點C的水平位移稱為附加鏈桿。這就增加了與基本未知量相應的人為約束，由于增加了人工控制的約束，原來的整體結構被分割成許多單體桿件，從而結構由整體計算變為單個桿件的計算，簡化了計算。為使基本體系的變形與原結構一致，則需使基本體系中的附加剛臂發生與原結構相同的轉角，附加鏈桿發生與原結構相同的位移，對于此例，附加剛臂則需轉動Z1，附加鏈桿水平移動Z2，此時，基本體系各桿的內力也和原結構完全相同，故附加剛臂上產生的反力矩R1和附加鏈桿上產生的反力R2均為零。即：R1=0、R2=0，由此即可以推出位移法典型方程：

建立位移法典型方程后，接下來求解方程時，首先使結點產生單位位移，由形常數得各桿受力，作彎矩圖；其次，考慮外因作用，由載常數得各桿受力，作彎矩圖Mp；最后，利用結點平衡條件求出各系數及自由項，解方程從而求出結點位移基本未知量，最終求得各桿件的內力。

我們同樣以上面的例子分析位移法平衡方程，取結點B的角位移Bθ和結點C 的水平位移ΔBC為基本未知量，然后考慮變形協調條件并根據轉角位移方程寫出用基本未知量表示的各桿桿端彎矩和剪力表達式，在結點角位移B 處，建立結點的力矩平衡方程；在結點線位移C 處，建立截面的投影平衡方程，利用這些結點的平衡條件和結構中某一部分的平衡條件（通常為橫梁部分的剪力平衡條件）建立方程組進而求得基本未知量，最終求得各桿桿端力。

2 通過實例計算對兩種位移法進行比較

我們根據以上所說的計算方法，將圖2 所示的實例采用不同的方法分別比較計算：

方法1：采用位移法典型方程

基本未知量Z1，Z2，Z3。

圖2

位移法方程

求系數及自由項

圖3圖

方法2：采用位移法平衡方程

（1）基本未知量θ1，，Δ。

（2）桿端彎矩。

（3）位移法方程。

由結點B 平衡∑MB=0 得

結點C 平衡∑MC=0 得

取圖4 所示部分隔離體，建立Y 向投影平衡方程，其中含有未知軸力FNBC，將B 點桿端剪力沿兩桿軸向分解如圖5所示，由∑FY=0 得

對圖2 所示隔離體，建立水平投影方程，得

由（1）、（2）、（3）聯立求出基本未知量，然后，將其代入各桿桿端彎矩中求得各桿內力。

圖4

圖5

3 結語

從上面分析可以看出，兩種方法基本未知量的選取相同，且最終方程都是平衡方程，整理后形式均為。

不同點主要有兩方面：首先，位移法典型方程是先利用平衡條件分別討論各未知量和荷載的影響（即剛度系數和自由項），再進行疊加以得到典型方程，和力法一樣，是在基本體系和原結構完全相同的基礎上建立的，是一個和建立力法典型方程相對應的過程，所以直接對結構按統一格式處理，最終結果由疊加得到。而位移法平衡方程是先用疊加原理列出基本未知量的桿端力表達式，再利用平衡條件得到基本方程。其次，位移法平衡方程適用于全部由水平、豎直桿系組成的結構，當結構為具有多個斜桿的復雜剛架時，各結點線位移之間的關系不易判斷，而且隔離桿件列平衡方程時會有軸力出現，需要將斜桿的軸力與剪力往水平方向投影，增加了求解方程難度，所以，建立方程求解相對較麻煩且易出錯，所以，此種結構一般用位移法典型方程來求解。