利用牛頓迭代法計算雙圓弧齒輪傳動弦齒厚和弦齒高方法

王雪玲，劉鐵夫，徐征

（1.中國石油渤海石油裝備公司采油裝備分公司河北華油一機抽油機有限公司，河北 青縣 062658；2.中國石油渤海石油裝備公司石油機械廠華油一機(河北)鉆井裝備有限公司，河北 青縣 062658）

1 概述

我國從20 世紀60 年代中期就開始研究雙圓弧齒輪，但進入實質性的研究、試驗和應用是在1975 年以后。經過一系列的分析和工業使用驗證，證明雙圓弧齒輪的承載能力比單圓弧齒輪有較大的提高。雙圓弧齒輪是集凸、凹弧于一體，在輪齒根部有較寬的齒厚，提高了輪齒根部的彎曲強度。在相同條件下，雙圓弧齒輪同時接觸的點數要多于單圓弧齒輪，減小了每個接觸點上的平均載荷。

臺架承載能力試驗證明，雙圓弧齒輪的彎曲強度和接觸強度分別比單圓弧齒輪提高60%和40%。其綜合承載能力比單圓弧齒輪提高40% 以上。在工藝上，雙圓弧齒輪只需一把滾刀就可以加工一對嚙合齒輪。雙圓弧齒輪的這兩個優點正好克服了單圓弧齒輪的兩點不足。另外，非硬齒面的雙圓弧齒輪無論是按彎曲強度或按表面接觸強度所計算的承載能力，都高于同樣條件的漸開線齒輪。雙圓弧齒輪在我國的應用十分廣泛，主要應用于冶金、礦山、石油化工等行業。我國石油工業抽油機用的減速器，幾乎全部采用雙圓弧齒輪。

在雙圓弧齒輪加工中，加工誤差是造成齒輪基本齒廓位移的主要原因。它直接影響齒輪的嚙合傳動質量和承載能力。因此，在加工現場，常用控制齒根圓直徑（或斜徑）、凸齒公法線長度、凸齒弦齒厚和弦齒深極限偏差的方法，來間接地控制齒輪基本齒廓的位移量。

一般只測量其中一項尺寸的誤差控制加工精度。測量公法線長度, 對于斜齒圓柱齒輪將受到齒寬條件的限制；對于大模數齒輪, 測量也有困難；此外, 還不能用于檢測錐齒輪和蝸輪。在這種情況下, 通常改測齒輪的分度圓弦齒厚。

過去，多采用近似方法計算弦齒厚和弦齒深的尺寸，缺點是當齒數較少、螺旋角較大時，計算誤差較大。其精確計算需用數值方法解超越方程，比較麻煩。現在，隨著計算機的發展和普及，利用計算機程序精確地計算弦齒厚和弦齒深，已不再成為難事。

圖1 弦齒厚尺寸計算圖

2 雙圓弧齒輪弦齒厚和測量弦齒高的計算原理

法向弦齒厚即為輪齒左、右齒面上，兩條理論接觸跡線（空間螺旋線）之間的最短距離，見圖1 弦齒厚尺寸計算圖。

由齒面接觸跡線方程式：

兩條螺旋線之間的距離為

由于弦齒厚是AB 距離的最小值，所以AB 為弦齒厚時，上式中的值由的條件確定。

將下列各參數值代入式(4)、（5）進行計算, 計算出弦齒厚和測量弦齒高

2.1 牛頓迭代法原理簡介

迭代法是一種重要的逐次逼近的求解法，它是采用某個固定的公式把所選定的方程的根的初值代入，以校正根的近似值，使之逐漸精確化，最后得到滿足要求的解。牛頓迭代法是一種常用的迭代方法，其基本方法是把非線性方程轉化為某個線性方程求解。

設已知方程f(x)=0 的一個近似根為x0,則函數f(x)在x0附近可用一階泰勒多項式來近似表示。

因 此， 方 程f(x)=0 在 點x=x0可 近 似 的 表 示 為f(x0)+f′(x0)(x-x0)=0,設f′(x0)≠0,則線性方程的解為x=x0-f(x0)/f′(x0)。

若將以上求得的x 作為原方程f(x)=0 的一個新解代換原來的根x0,重新代入方程，可得到一系列新根x2xn+1,故得到迭代公式為xn+1=xn-f(xn)/f′(xn)。

在實際迭代中，只要前后兩次迭代值之差不超過允許的誤差，即滿足xn-xn+1＜ε，則xn與方程的真實根xn誤差不會超過ε，即可取xn為方程的根。

2.2 牛頓迭代法計算流程如圖2 所示

圖2 牛頓迭代法計算流程圖

3 實際應用

基于以上分析，對我廠生產的73 型雙圓弧減速器的大齒輪的弦齒厚和測量弦齒高進行了計算，如表1 所示為雙圓弧齒輪的基本參數。

表1 齒輪參數

計算精度ε取值為1″,執行程序，計算結果如下。

4 結語

基于牛頓迭代法進行圓弧齒輪弦齒厚、弦齒高計算方法，借助計算機，比手工計算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好的保證，為生產提供了方便，此方法已在多家機械廠推廣應用。