對一道解析幾何題的探究

江蘇省淮陰中學教育集團淮安市新淮高級中學 唐甜甜

在新課程標準的要求下，筆者認為，能夠使學生在學會知識的同時，自己發現問題、提出問題、分析問題并解決問題的課，堪稱一節好課。數學學習首先要學會研究題，因為很多習題的背后都有著非常豐富的研究價值，都應該是促進學生能力提升的道具，而不僅僅是去追求一個答案。能立足于學生的發展，引導學生主動發現問題、研究問題，才是教師促進學生提升能力的關鍵。本文從江蘇省淮陰中學和姜堰中學2019～2020 學年第二學期期中試卷的第22 題談起。

（1）求拋物線方程。

（2）過直線y=x-2上一點P（t，t-2）作拋物線的切線，切點為A，B。

①設直線PA，AB，PB 的斜率分別為k1，k2，k3，求證：k1，k2，k3成等差數列；

②若以切點B 為圓心，r 為半徑的圓與拋物線C 交于D，E 兩點，且D，E 關于直線AB 對稱，求點P 橫坐標的取值范圍。

當t=0 時，拋物線上不存在兩點關于直線AB 對稱；

拓展：由以上圖像，我們還可以研究什么問題？

生：隨著點P 的變化，直線AB 也在變化，但是從以上圖像可以發現直線AB 過定點（2，2）。

師：參考答案中已經給出直線AB 的方程，是否還有其他方法求得直線AB 的方程？

師：是否存在點P 使得∠APB=90°？

生：當直線PA，PB 有一條直線斜率不存在時，不存在這樣的點P 使得∠APB=90°。

筆者繼續移動點P，引導學生發現問題，發現題目的價值。

生：還可以求得△PAB 面積的最小值。