關于一道高考題的兩種解法

內蒙古阿拉善盟第一中學 王嘉琦

解法一（分離參數法）

當x=0 時，f（0）≥0 成立；

記m（x）=2xcosx+（x2-2）sinx，

則m'（x）=2cosx-2xsinx+2xsinx+（x2-2）cosx=x2cosx。

x π+0-↑極大值 ↓ 0

因此a 的取值范圍是(-∞，0]。

點評：分離參數法相對易于想到，但是學生在具體的解答過程中，對新設函數求導不容易做對。

解法二（分類討論法）

x ∈（0，π]時，f（x）≥ax 成立，

即f（x）-ax ≥0 成立。

記h（x）=f（x）-ax，則只需h（x）min≥0，

則h'（x）=f '（x）-a=cosx+xsinx-1-a。

記r（x）=cosx+xsinx-1-a，則r'（x）=xcosx。

所以h（x）在[0，2π]上遞減，

所以x ∈[0，x1）∪（x1，π]時，r（x）＜0，

x ∈（x1，x2）時，r（x）＞0。

所以x ∈（0，x0）時，r（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）遞增，

x ∈（x0，π]時，r（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）遞減，

h（0）=0，h（π）=-aπ ≥0 成立。

當a ≤-2 時，r（x）≥0，h'（x）≥0，h（x）遞增，

h（x）min=h（0）=0 成立。

因此a 的取值范圍是（-∞，0]。

點評：分類討論法對于學生而言是有一定難度的，但是部分不追求高分的孩子可以嘗試用這種方法，一般得分會相對高一些。