某體育館張弦梁結構屋蓋設計

朱 奇 姚開明 戚向明

（浙江綠城建筑設計有限公司，杭州310007）

0 引 言

張弦梁結構是一種半剛性結構，其通過在下弦桿施加初張力讓上弦桿產生反拱，從而減小荷載作用下結構的撓度；同時上下弦桿之間的撐桿相當于上弦桿的彈性支撐，使得上弦桿的彎矩較小。此外上弦與下弦桿的軸力是一對平衡的力，不會對支座產生額外的水平推力，整個結構形成了一個自平衡體系［1］。張弦梁面外的穩定性通過屋面檁條和縱向支撐構件來保證［2］。

圖1 張弦梁結構Fig.1 Beam string structure

1 工程概況

某學校體育館上方屋蓋采用張弦梁結構，主體鋼結構共包括7 榀張弦梁，跨度32.8 m，柱距8.4 m，為提高屋面整體穩定性，上弦平面設置水平系桿。張弦梁為雙鋼管梁單索體系，上弦為φ245 mm×18 mm 的弧形雙鋼管梁，下弦設置一根LS-ZnAl-1670-7.0-55 的平行鋼絲束，撐桿尺寸102×6，除拉索外，其他鋼構件均采用Q355B 級鋼。張弦梁結構平面和立面如圖2 所示，計算模型如圖3所示。

圖2 張弦梁結構布置圖（單位：mm）Fig.2 Layout of beam string structure（Unit：mm）

圖3 計算模型Fig.3 Calculation model

2 理論分析

2.1 張弦梁曲線確定

確定合理的張弦梁曲線是結構建模計算的第一步，國內許多工程均采用迭代法進行預應力張弦梁結構的形態分析及張拉力的確定［3-5］。本文通過理論推導得到張弦梁的曲線形狀和初張力。

屋面結構在自重和屋面恒載作用下結構會下撓，通過在下弦中施加預應力，使得上弦桿產生反拱，合理的張弦梁曲線可以使得二者變形正好抵消讓結構張拉完成后，恒載作用下基本沒有變形。

截取半邊張弦梁結構進行分析，如圖4 所示。張弦梁跨中矢高為h3+ h5，張弦梁的跨度L為2（L1+L2+L3），下弦桿的初張力為T。

圖4 半跨張弦梁分析示意圖Fig.4 Schematic diagram of half-span beam string structure

上下弦桿采用折線，在轉折點位置左右弦桿內力的合力均會產生向上的分力，該分力提供上弦桿的支承力。為使得上弦桿在撐桿位置豎向位移為0，該支承力需等于等效多跨連續梁（受均布荷載，上下弦桿承擔的均布荷載為q2、q1）在此處的支座反力。選取撐桿1位置進行分析。

圖5 撐桿1位置受力分析Fig.5 Force analysis at position of bracing 1

對于一般情況，張弦梁的跨度遠大于張弦梁跨中的矢高，則h1＜＜L1，因而可以近似的認為：

式中，λ1為等效多跨連續梁相應支座的反力系數。

根據式（1）、式（2）可得：

同理對于撐桿2、撐桿3位置進行分析可得：

式中，λ2、λ3含義與λ1類似。

結合式（3）、式（4）、式（5）可得：

根據式（6）、式（7）即可得到下弦桿的曲線形狀，同理對上弦桿進行類似分析得到上弦桿的曲線形狀。對于其他跨數分布的張弦梁亦可類似分析得到合理的張弦梁曲線形狀。

2.2 初張力確定

對撐桿1位置上弦桿進行類似分析可得：

由于上下弦桿的軸力是一對平衡，則有N=T，結合式（3）可得：

令Q=q2+q1（等效連續梁的均布荷載），可得：

根據式（10）可以得到下弦桿的初張力。表1給出了幾種常見腹桿分布情況下的h1、h2、λ1的數值，根據表1 即可得出相應的張弦梁曲線和預張力。

表1 常見腹桿分布的h1、h2、λ1Table 1 h1，h2，λ1 Values for common distributions of web members

2.3 誤差分析

進一步驗證理論分析結果，采用SAP2000 進行模型分析。模型中上弦桿、腹桿采用Q345的鋼管。對下弦桿采用降溫法進行張拉，張拉完成后腹桿1 位置豎向位移為0，腹桿2、腹桿3 位置豎向位移Δ2、Δ3，軟件計算得到初張力為T1，根據式（10）理論計算得到初張力為T0，結果對比如表2所示。

表2 SAP2000計算結果與理論解對比Table 2 Comparison between SAP2000 results and theoretical solutions

根據表3 可知，不同跨度的張弦梁SAP2000的計算結果與根據式（10）求出的初張力結果相比誤差在5%以內，且腹桿處的位移很小，說明上述理論推導求解得出的結果是符合真實情況的，能夠滿足一般工程的需要。

3 計算結果分析

根據上述理論分析得到的張弦梁的曲線建立整體分析模型，進行結構計算設計。根據上述公式（10）計算得到該張弦梁的預張力為385 kN，經SAP2000 計算得到的預張力為392.7 kN，二者相差1.85%。

3.1 屈曲分析

由于本屋蓋較輕，在風吸荷載作用下，張弦梁的下弦拉桿可能會受壓而退出工作，經計算得到結構在滿跨均布風吸荷載標準值作用下的彈性屈曲因子為1.93，屈曲模態為下弦桿的壓曲，如圖6所示。結構在半跨均布風吸荷載標準值作用下的彈性屈曲因子為3.54，屈曲模態為下弦桿的壓曲，如圖7 所示，該結構對于半跨風吸荷載作用不敏感。

圖6 滿跨均布風吸荷載作用下的彈性屈曲Fig.6 Elastic buckling under full-span uniform wind suction load

圖7 半跨均布風吸荷載作用下的彈性屈曲Fig.7 Elastic buckling under half-span uniform wind suction load

上弦桿在平面內由腹桿提供支撐，平面外由橫向系桿提供支撐，屋面為不上人屋面活荷載較小。因此上弦桿在活荷載作用下彈性屈曲因子較大，經過計算得到上弦桿在滿跨均布活載作用下的彈性屈曲因子為61.8，屈曲模態為上弦桿的壓曲，屈曲模態如圖8 所示。上弦桿在半跨均布活載作用下的彈性屈曲因子為69.3，屈曲模態為上弦桿的側向壓曲，屈曲模態如圖9所示。

圖8 滿布活荷載作用下的彈性屈曲Fig.8 Elastic buckling under full-span uniform live load

3.2 極限承載力分析

圖9 半跨活荷載作用下的彈性屈曲Fig.9 Elastic buckling under half-span uniform live load

本工程張弦梁兩端采用球形鋼支座與主體結構相連，一端為固定支座，一端為滑動支座。為了防止張弦梁跌落需要對滑動端的位移進行限制。分析表明結構在初始狀態進行初張拉后，張弦梁上弦桿中彎矩較小（如圖10 所示，最大彎矩43 kN·m），張弦梁滑動端的水平位移僅為-2 mm。結構在恒載+1.5倍滿布風吸荷載標準值作用下滑動端水平位移為-17 mm。結構在1.3 倍恒載+1.5倍滿布活載作用下，支座的水平位移為13 mm。綜合考慮滑動端水平位移限值為±50 mm。

圖10 初張拉后上弦桿彎矩圖Fig.10 Bending moment of top chord after initial stretching

為了研究整個結構的極限承載力，需要對結構進行荷載-位移全過程跟蹤分析。對于支座的模擬采用SAP2000 中的hook 連接單元，該單元的非線性力-變形關系如下：

式中：k為彈簧常數；open為初始縫寬。

張弦梁結構在風吸荷載作用下，各弦桿的軸力-荷載曲線如圖11所示，張弦梁滑動端的荷載-位移曲線如圖12 所示，支座水平反力如圖13 所示，上弦桿中彎矩如圖14所示。

結合圖11、圖12 可知，在0-A 階段，滑動端支座的水平位移逐漸增大，兩根上弦桿合力逐漸減小，下弦桿拉力減小，三者成線性關系。在1.6 倍風吸荷載標準值作用下，下弦桿拉力減為0 而退出工作，此時豎向的恒載正好與風吸荷載抵消。在1.0倍風吸荷載標準值作用下，張弦梁的跨中豎向向上位移為0.070 m（1/460）。

在A-B 階段，滑動端的位移逐漸增加至其限制位移50mm，此過程上弦桿的合軸力變化不大，主要靠上弦桿受彎來承受增加的風荷載，如圖14所示。

圖11 風吸荷載作用下荷載-軸力曲線Fig.11 Load-axial force curve under wind suction load

圖12 風吸荷載作用下滑動端荷載—位移曲線Fig.12 Load-displacement curve for sliding end under wind suction load

在B-C 階段，滑動端的位移達到其限值，使得上弦桿的軸向位移受限制，因而上弦桿的軸拉力迅速增大，此時上弦桿靠軸拉力的水平分力來抵抗增加的風荷載，此過程彎矩變化不大。從B點開始，支座的水平變形受限，支座出現水平拉力，此時對應1.8倍風荷載標準值。此外支座設計水平力限值為200 kN，由圖13可知，對應2.3倍風吸荷載標準值，因此可認為，該結構最大能承受2.3倍風吸荷載標準值，此時張弦梁跨中的豎向位移為0.306 m（1/100）。

圖13 風吸荷載作用下荷載-支座反力曲線Fig.13 Load-support reaction curve under wind suction load

圖14 風吸荷載作用下上弦桿荷載-彎矩曲線Fig.14 Load-bending moment curve for top chord under wind suction load

張弦梁結構在1.3 倍恒載+n 活荷載作用下，各弦桿的軸力—荷載曲線如圖15 所示，張弦梁滑動端的荷載—位移曲線如圖16所示。

圖15 活荷載作用下荷載-軸力曲線Fig.15 Load-axial force curve under live load

圖16 活荷載作用下滑動端荷載-位移曲線Fig.16 Load-displacement curve for sliding end under live load

根據圖15 可知隨著活荷載增大上弦桿合力逐漸增大，下弦桿拉力逐漸增大，三者接近線性關系。根據圖16，滑動端支座的水平位移隨著活荷載增加而增大，二者為非線性關系。作用12 倍活載標準值時張弦梁跨中豎向位移為22 mm（1/1490），滑動端水平位移為45 mm，亦未達到支座位移限值50 mm，此時張弦梁上弦桿未進入塑性，張弦梁之間的水平系桿部分進入塑性，塑性鉸分布如圖17所示。

圖17 1.3恒+12活荷載作用下塑性鉸分布圖Fig.17 Distribution of plastic hinges under 1.3 dead load+12 live load combination

3.3 節點分析

上弦桿與下弦桿相交處，由于受力復雜，需要進行節點分析，采用有限元軟件建立分析模型。模型采用4 結點殼單元，材料選用理想彈塑性模型，彈性模量取為2.06×105MPa，屈服強度取為335 MPa，一般部位單元劃分網格的尺寸為0.02/m，構件的約束條件如圖18 所示。兩上弦桿遠端約束，下弦桿銷軸孔處施加1.3恒載+1.5活載工況下下弦桿的拉力，支座端位置施加向上的支座反力。

圖18 節點有限元分析模型Fig.18 Finite element analysis model of joint

對節點進行屈曲分析得到其一階彈性屈曲因子為16.7，屈曲模態如圖19 所示，為平面內屈曲。

圖19 節點一階屈曲模態Fig.19 1st buckling mode of joint

對節點進行極限承載力分析，在設計荷載作用下，節點的Mises應力分布如圖20所示。

根據圖20 可知，在設計荷載作用下，節點區最大應力為150 MPa，節點區處于彈性狀態，節點區應力最大處為下弦桿銷軸孔位置。節點滿足設計荷載作用下的承載能力要求。

4 結 論

本文通過理論推導，得到張弦梁結構的曲線形狀及下弦桿的初張力大小，這種曲線形狀可以使得張弦梁在初張拉后，恒載作用下的豎向位移接近零。

對張弦梁屋蓋進行了屈曲分析及極限承載力分析表明：結構在恒載+滿布1.6 倍風吸荷載標準值作用下，下弦桿壓曲；結構在恒載+滿布2.3 倍風吸荷載標準值作用下支座水平力達到設計限值；結構在1.3 恒載+12 活載作用下，張弦梁之間的水平系桿部分進入塑性。

節點分析表明，在設計荷載作用下，節點區最大應力為150 MPa，節點區處于彈性狀態，節點區應力最大處為下弦桿銷軸孔位置。