優化試驗設計方法的比較研究

李歡歡

(內蒙古科技大學 經濟與管理學院，內蒙古 包頭 014000)

優化試驗設計方法是當今科技和工程人員必須掌握的一種優化技術方法，其方法旨在以最少的人力物力在較短的時間內中取得了更好的科研成果。國內大多學者認為早期經濟發展就是靠的試驗設計優化技術引進的推動。已有的試驗設計方法包括正交設計、優選法、均勻設計法、回歸分析法及響應面設計等方法。現在已有部分學者嘗試對不同的試驗方法進行了對比研究但相對不夠寬泛。

鑒于此，筆者主要對以上所提到的幾種常用方法的相關概念進行系統梳理，其次對應用范圍進行歸納，然后對比分析各種方法的優劣，以期為相關學者提供參考和借鑒。

1 試驗設計方法

當前試驗設計方法包括有多且發展成熟。已有的試驗設計方法包括正交設計法、優選設計法、均勻設計法、析因設計法、回歸分析及響應面設計等方法。筆者主要針對正交設計法、均勻設計法、響應面設計方法展開討論。

表1 多因素試驗方法的比較

1.1 正交設計

1.1.1 正交設計相關理論。 正交設計是目前最成熟、應用最廣的試驗設計方法之一，旨在解決多水平及多因素試驗問題。作為優化一種常用技術，它是建立在概率論、數量統計和實踐經驗的基礎上，運用標準化正交表安排試驗方案，并對結果進行計算分析，從而快速找到最優試驗方案的一種設計方法[1]。通常試驗是為了解決多因素試驗問題而設計。其中常用的方法有：全面試驗法、簡單比較法及部分試驗法又稱為正交試驗法，各試驗方法的優缺點(見表1)。

1.1.2 正交設計方法步驟及表示。①確定指標——需要得到的結果；②確定因素——可的控制因素；③確定水平——每一因素的狀態；④確定試驗方案——正交表頭設計和選取正交表；⑤進行試驗并對結果分析——確定主次效應，找出最有組合。

正交表用Ln(mr)表示，L是正交表的代號；r是因素數或者是縱列數；m是水平數也是字碼數；n是試驗次數也是橫行數(見表1)。

圖1 正交表符號含義

1.1.3 正交設計的應用。 正是由于正交試驗設計的試驗點具有代表性，同時試驗次數少且不需要重復試驗就可以估計誤差，可以利用數理統計相關方法處理試驗結果等諸多優點而被廣泛應用于各個領域當中。

賈小波等人利用正交試驗分析出一種新的方法，稱作二次統計法推動了統計方法的廣泛使用和發展[2]。華中生等人將正交試驗設計方法應用到汽車制動系統中去并規范化了試驗步驟和要求[3]。周玉珠利用正交試驗的矩陣分析法計算出各因素對試驗結果影響權重[4]。王宇平等人將正交設計同遺傳算法以及均勻設計相結合提出一種目標優化的新方法并取得良好的優化效果[5]。薛志明等人基于正交試驗設計的最優性加上微粒群的記憶特性提出一種新型的微粒群算法，最后達到可行解在空間上探索的目的[6]。以上是我國學者在正交設計方面的改進成果，實際當中正交設計被應用到了各個方面，例如，早些年間，祖國強等人利用正交表來解決醫藥學方面的多因素多水平問題[7]。隨著不斷地正交設計的不斷完善和發展，正交設計已經應用到了很多領域，例如，鄔金等人利用正交試驗對鐵礦地質進行設計試驗方案，對參數進行模擬研究取得良好的效果[8]。

綜上所述，正交試驗設計憑借著效率高、投入少等一系列特點應用廣泛，它不僅僅可以分析影響因子的影響程度也能分析指標結果，從而達到生產工藝優化和提高生產效率和質量的最終目標。

1.2 均勻設計法

1.2.1 均勻設計法相關理論。 均勻設計法是我國數學家經歷數月共同研究出的新試驗方法，也是目前較為流行的方法，它相對于正交試驗次數大大減少，更具有代表性，取得事半功倍的效果。

每個因素只在每一個層面上進行一次測試，任意兩個因素的測試點都在平面的網格子點上，每行每列有且僅有一個測試點，任意兩列組成的實驗方案一般不等價。試驗的代表性很強但是缺點是均勻設計方法的結果沒有整齊可比性，不可以用數理方法處理分析結果，所以采用一般的方差分析方法是不可行的，常要用到逐步回歸分析。

1.2.2 均勻設計方法步驟及表示。①根據試驗目的，選擇合適的因素和相應的水平；②選擇合適的均勻設計表，安排試驗；③進行試驗并對結果分析。

圖2 均勻設計表符號含義

1.2.3 均勻設計法的應用。 均勻設計法基于數理統計推導出來并得以推廣。方開泰教授曾說如果試驗次數過多而且試驗費用很高的情況下，我們需要用其他方法去減少試驗次數便提出均勻設計法。2005年，唐啟義等人應用最小二乘法建立均勻試驗設計，并將其建模技術作為均勻設計的技術支持[9]；何大闊等人通過均勻設計的等價準則提出簡化計算的近似值來達到獲取均勻初始種群的方法并驗證了方法的可行性[10]。在方法的具體應用方面，均勻設計不僅僅只在飛航導彈設計發揮著重要作用，國內學者也將其拓展到其他不同領域。2011年，權變利基于均勻試驗設計方法確定合成活性碘化銠的最佳因素水平數[11]。2020年，劉紅杰等人基于均勻設計法篩選藥物的劑量配比并驗證獲得最佳配比處方[12]。隨著高科技不斷發展，計算機仿真試驗的需求變得強烈，迫切要求高質量的試驗設計。這就使得均勻設計的應用變得日益廣泛并走向國際，例如美國福特汽車公司推行6 Sigma用的正是正均勻設計。

綜上所述，均勻設計經過不斷發展已取得很多好的成果，但是均勻設計并不像正交試驗設計那樣在試驗范圍內選具有代表性的點，而是只考慮試驗范圍內具有均勻分布的試驗點，每一個點只做一次實驗，這就使得試驗的工作量大大減少。均勻設計它不僅僅保留了正交設計的均勻性還保留了分散性，但是不具備其正交性。

1.3 響應面分析法

1.3.1 響應面分析相關理論。 響應面分析法(RSM)是在單因素分析法上延伸來的，是解決多變量問題的一種統計方法。RSM是通過合理的試驗安排得到一定數據結果，采用多元二次回歸方程擬合自變量與響應值之間的函數關系并對回歸方程進行分析求得最佳工藝參數。

1.3.2 響應面設計步驟及表示。響應面設計的前提是對因變量Y與x1，x2，…，xn之間的關系未知，其關系式設為：Y=f(x1，x2…，xn)。然后利用試驗設計方案做試驗得到試驗結果來分析自變量與響應之間的關系。試驗設計步驟如下：①確定試驗因素和取值范圍；②確定試驗方案進行試驗；③建立數學模型評估相關性；④預測響應值，找出最優參數組合。

若利用常用的Box-Behnken設計來最大化某一個不明顯因變量對響應的影響程度，可以用二次方程來解釋：

(1)

Y是估計的響應，n，β0、βi、βii和βij分別是變量數、截距、線性、二次回歸方程以及交互項的系數，而xi和xj是獨立的變量。

1.3.3 響應面分析法。 響應面設計方法作為數理方法和統計方法結合的產物，常見的三種試驗設計方案有中心組合設計、Box-Behnken和均勻外殼設計，其中中心復合設計和Box-Behnken設計是最為經典的二階響應面設計。1999年，Myers對RSM的發展做了進一步總結，闡述了當時RSM的發展狀況，并指出了RSM的發展方向[13]。

RSM可以解決多目標優化問題使得其用途越來越廣泛。2009年，安治國等人針對流行算法精度和效率上的不足，提出徑向基函數響應面法的板料沖壓成形過程可靠性設計方法并建立模型，分析目標的響應值得出工藝參數范圍驗證了方法的有效性[14]。2012年，馬少健等人針對碳酸錳吸收微波的性能，考察多種因素對其的影響，采用響應面法進行試驗設計最終達到較好的預測分析效果[15]。2014年，趙見軍等人通過響應面設計和正交設計的對比分析，確定核桃粕中蛋白質提取工藝和優化的最佳方法[16]。可以看出，響應面法在食品、生物、化工等多個領域都有廣泛的應用，是優化設計中最常用的方法之一。

1.4 其他設計方法

1.4.1 優選法。 優選方法應用于兩個因素以下，旨在用最少的人力物力達到最好的效果，其基本步驟：①選定優化依據(試驗指標)，確定影響因素； ②優化依據與影響因素之間的關系寫為目標函數； ③結果計算——優化計算、同步計算、循序試驗法。

1.4.2 回歸分析方法。 回歸分析法是確定變量之間的關系的常用方法。常見的變量關系有確定關系和相關關系，相關關系很難有精確的方法表達出來，但是回歸分析方法便可以通過尋找定量關系表達式以及觀察大量的客觀事物去探索相應的關系來判定變量與變量之間的相關關系。其中關系表達式是一種函數關系也就是求解相關關系的一個特殊數學表達式。

常見的回歸分析有一元線性回歸、一元非線性回歸、多元線性回歸和多元非線性回歸。所構建的回歸方程是否有效，經常通過三種等價檢驗方法來檢驗：T檢驗、F檢驗、R檢驗，其中F檢驗最為通用。值得注意的是回歸方程偏回歸系數要標準化并對其進行顯著性檢驗。雖然通過回歸方程可以反映出變量的主次關系但是不能反映自變量的相對重要的重要程度。無論哪一類回歸，我們在計算過程中所使用到的回歸分析原理是相同的，但是隨著自變量增多的同時相關關系的復雜程度增大會使得計算變得復雜。

2 試驗設計方法的比較

通過前面對不同方法的理論及應用的分析，可以得到其優缺點和適用領域，具體見表2。

表2 常見試驗方法的比較

3 結束語

通過研究發現，每一個方法都得到了國內學者在不同領域的廣泛應用。不同的優化試驗設計方法在不同程度上提高試驗效率、優化產品設計、改進工藝技術以及強化質量管理，這就督促著我們將其不斷普及，讓每一位工程師對試驗設計方法都能了如指掌。

優化試驗設計方法在工業生產和工程設計及科學研究中都占據一定的地位，最為明顯的優點是減少新產品試驗時間同時也節約了成本。通過文獻梳理可以發現優化試驗設計尚未解決的問題是并沒有考慮因素之間的協同作用而且方法過于單一，多為靜態的分析方法。這就引導今后的研究應向動態、復合等角度進行拓展，深刻把握研發新方法的機會，提高分析優化結果的準確性。